Calculatrice d’erreur type

ET = s / √n s = √( Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) ) s = √(p(1 − p)) × 100

ET

L’erreur type — l’écart type de l’estimation, et le résultat principal de la page. Elle répond à une question sur l’estimation et non sur les données : de combien une moyenne d’échantillon s’écarterait typiquement de la moyenne de la population si l’échantillonnage était répété. C’est le nombre à partir duquel se construit un intervalle de confiance et par lequel se divise une statistique de test, raison pour laquelle il vaut la peine de le calculer pour lui-même

s

L’écart type de l’échantillon, avec le dénominateur n − 1. C’est de lui que l’erreur type est tirée en mode moyenne, et il est imprimé sur sa propre ligne pour que la division se vérifie. Le n − 1 plutôt que n est ce qui en fait une estimation sans biais de la dispersion de la population — employer n sous-estimerait légèrement la variabilité, et cette sous-estimation est maximale précisément là où les échantillons sont les plus petits

n

Le nombre d’observations que contient l’échantillon — l’effectif, lui aussi imprimé sur sa propre ligne. Il apparaît sous une racine carrée, ce qui explique que l’erreur type diminue lentement : dix fois plus de données achètent une erreur type environ trois fois plus petite. En mode proportion, c’est le champ de la taille d’échantillon et non un effectif déduit d’une liste, parce qu’un pourcentage ne porte aucune liste avec lui

x̄

La moyenne de l’échantillon, imprimée pour que l’arithmétique de l’écart type ait un centre visible. Elle ne joue aucun rôle dans l’erreur type elle-même — l’erreur type est une propriété de la dispersion et de la taille d’échantillon, pas de l’endroit où se situent les données — ce qui explique qu’un jeu de données puisse être décalé d’une constante quelconque sans que l’erreur type change

p

La proportion observée, fraction dans la formule et pourcentage sur le panneau. En mode proportion, elle remplace entièrement l’écart type : pour une question par oui ou non, la variabilité est fonction du pourcentage, maximale quand le partage est égal et s’amenuisant jusqu’à rien à mesure que le pourcentage approche de 0 ou de 100. Le × 100 ramène le résultat en points de pourcentage pour qu’il se lise à côté du pourcentage dont il vient

Servez-vous-en quand vous avez les données en main et que vous voulez l’erreur type d’une estimation — pour construire un intervalle de confiance à la main, pour vérifier un nombre dans un rapport, ou pour voir quelle part de la largeur d’un résultat vient de la dispersion des données et quelle part vient de la taille d’échantillon. Imprimer l’écart type et l’effectif à côté rend cette répartition des rôles visible : changez les données et la ligne de l’écart type bouge, changez uniquement la taille d’échantillon et la ligne de l’erreur type bouge pendant que l’écart type ne bouge pas. Les deux modes existent parce que les deux estimations les plus courantes demandent des entrées différentes. Une moyenne a besoin de l’échantillon, puisque rien ne prédit de combien les mesures seront dispersées ; une proportion n’en a pas besoin, puisque sa dispersion découle de sa propre valeur, ce qui explique qu’une enquête puisse annoncer une marge d’erreur à partir de la seule taille d’échantillon. Aucun des deux modes ne vérifie que l’échantillon est assez grand pour que l’estimation soit à peu près normale. Cela dépend de l’asymétrie de la distribution sous-jacente, et pour le mode proportion il existe une règle empirique plus précise portant sur n·p et n·(1 − p) que la page n’impose pas.

1. Le cas par défaut : huit nombres dont l’écart type vaut environ 2,14

   1. Effectif : huit nombres. Moyenne : (2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9) / 8 = 40 / 8 = 5
   2. Les écarts au carré par rapport à 5 totalisent 32, la variance de l’échantillon vaut donc 32 / 7 = 4,5714
   3. Écart type : √4,5714 = 2,1381
   4. Erreur type : 2,1381 / √8 = 2,1381 / 2,8284 = 0,7559

   Les nombres se répartissent de part et d’autre de 5 sans qu’aucun ne soit très éloigné, ce qui en fait une valeur par défaut utile : la moyenne est un nombre rond et l’écart type ne l’est pas, les deux dernières lignes ne peuvent donc pas être confondues l’une avec l’autre. Lire le panneau de haut en bas est tout l’intérêt — 2,1381 est un fait sur les données, et 0,7559 un fait sur l’estimation, et la seule chose entre les deux est la division par √8. Le champ de la taille d’échantillon et celui du pourcentage restent inutilisés dans ce mode.

2. Neuf nombres choisis pour que l’erreur type vaille exactement 1

   1. Moyenne : (3 × 4 + (−3) × 4 + 0) / 9 = 0
   2. Écarts au carré : quatre 9, quatre 9 et un 0, soit un total de 72
   3. Variance de l’échantillon : 72 / 8 = 9, l’écart type vaut donc 3
   4. Erreur type : 3 / √9 = 3 / 3 = 1

   Neuf observations, c’est assez peu pour que le dénominateur n − 1 se voie : diviser par 9 au lieu de 8 donnerait une variance de 8 et un écart type de 2,8284, et l’erreur type ressortirait à 0,9428 au lieu de 1. C’est la correction qui fait son travail — sur un petit échantillon, la dispersion observée sous-estime légèrement celle de la population, et diviser par un de moins que l’effectif compense cet écart. Le couple n = 9 et s = 3 est celui qu’utilise la page de l’intervalle de confiance, et son intervalle tombe exactement à ±2,306 parce que la valeur de Student à 8 degrés de liberté vaut 2,306.

3. Une proportion n’a besoin d’aucune liste de données

   1. Proportion sous forme de fraction : 60 % = 0,6
   2. Écart type en points de pourcentage : √(0,6 × 0,4) × 100 = 0,4899 × 100 = 48,9898
   3. Erreur type : 48,9898 / √100 = 48,9898 / 10 = 4,899
   4. La liste de données est entièrement ignorée — la ligne de l’effectif rapporte le champ de la taille d’échantillon à la place

   Le champ des données est toujours à l’écran et contient toujours une liste, et rien dans la réponse ne s’en sert : dans ce mode la variabilité vient du pourcentage, et l’effectif vient de son propre champ. C’est pourquoi la ligne de l’écart type affiche 48,99 — un nombre d’apparence inhabituelle pour une question binaire. C’est l’écart type d’une variable oui/non codée en 0 et 100, et son seul rôle ici est d’être divisé par √n. La même structure apparaît sur la page de la taille d’échantillon, où le cas le plus défavorable p = 0,5 sert à planifier une étude avant que le moindre pourcentage soit connu.

4. Deux observations, là où le dénominateur n − 1 travaille le plus

   1. Moyenne : 5
   2. Écarts au carré : 25 et 25, soit un total de 50
   3. Variance de l’échantillon : 50 / 1 = 50, l’écart type vaut donc √50 = 7,0711
   4. Erreur type : 7,0711 / √2 = 7,0711 / 1,4142 = 5

   Avec deux observations, l’écart type vaut simplement la moitié de la distance qui les sépare — le dénominateur n − 1 ne laisse qu’un seul degré de liberté, et la formule se réduit à quelque chose qui se voit plutôt qu’il ne se calcule. L’erreur type est alors l’écart type divisé par √2, soit 5 ici. C’est le plus petit échantillon que la page accepte en mode moyenne, et cela vaut la peine d’essayer une fois pour voir à quel point une estimation issue de deux nombres est large : l’erreur type ressort à la moitié de l’étendue des données.

La page rapporte l’erreur type de l’estimation et s’arrête avant de la transformer en intervalle ou en test. Cette frontière est délibérée : un intervalle demande une valeur critique, qui dépend d’un niveau de confiance et du fait que la dispersion ait dû être estimée à partir de l’échantillon, et un test demande une seconde statistique à laquelle se comparer. Les deux se trouvent sur les pages voisines, et l’arithmétique d’ici est l’entrée de l’une comme de l’autre plutôt qu’un substitut à l’une ou l’autre. Le mode moyenne suppose que les observations sont indépendantes, ce qui tombe en défaut pour des mesures répétées sur le même sujet, pour des paires appariées et pour des données en grappes comme des élèves au sein d’écoles ; dans les trois cas, la taille d’échantillon effective est plus petite que l’effectif et l’erreur type ressort trop petite. La page suppose aussi que la liste contient bien toutes les observations que vous vouliez inclure — l’erreur type est calculée sur ce qui est saisi, et laisser échapper une valeur aberrante la resserre. Le mode proportion porte une réserve propre : sa formule est une approximation de grand échantillon qui se comporte mal quand le nombre de succès ou d’échecs est petit, si bien qu’un pourcentage proche de 0 ou de 100 issu d’un échantillon modeste est mieux servi par un intervalle exact que par cette erreur type. Aucun des deux modes ne juge si l’estimation est biaisée, ce qu’aucune erreur type ne permet de détecter.

Quelle différence entre l’écart type et l’erreur type ?

L’écart type décrit de combien les valeurs individuelles s’écartent de leur moyenne ; l’erreur type décrit de combien une moyenne d’échantillon s’écarte de la moyenne de la population. La seconde est la première divisée par √n, et cette division est toute la relation — raison pour laquelle les deux sont imprimées. L’écart type est une propriété des données et ne change pas à mesure que vous en collectez davantage, tandis que l’erreur type continue de diminuer quand l’échantillon grandit. Un contrôle utile sur le panneau : modifiez les nombres et les deux lignes bougent ; changez uniquement l’effectif et l’écart type reste où il était pendant que l’erreur type baisse.

Pourquoi la page divise-t-elle par n − 1 plutôt que par n ?

Parce que c’est la moyenne de l’échantillon lui-même qui sert de centre pour mesurer la dispersion, et que cette moyenne est plus proche des données que ne l’est la vraie moyenne de la population — la moyenne naïve des écarts au carré est donc systématiquement un peu trop petite. Diviser par un de moins que l’effectif compense cet écart. L’effet est maximal sur les petits échantillons : avec deux observations il double la variance, et à cent observations c’est un ajustement de 1 %. Diviser par n n’est pas faux pour décrire l’échantillon que vous avez ; c’est faux pour estimer la dispersion de la population dont il vient, ce à quoi sert une erreur type.

Comment calculer l’erreur type d’une proportion sans aucune donnée ?

La proportion fournit sa propre variabilité, aucune liste n’est donc nécessaire — seulement la taille d’échantillon et le pourcentage. Codez les deux issues en 0 et 100 et l’écart type vaut √(p(1 − p)) × 100, maximal quand le partage est égal et tendant vers zéro à mesure que le pourcentage approche de l’une ou l’autre extrémité. Pour 60 % sur 100 personnes, cela donne √(0,6 × 0,4) × 100 = 48,9898, et diviser par √100 donne une erreur type de 4,899 points de pourcentage. C’est le même couple d’entrées que celui qu’utilise la page de la marge d’erreur, où l’erreur type est multipliée par une valeur critique pour donner un plus ou moins.

L’erreur type diminue-t-elle à mesure que j’ajoute des données ?

Oui, mais proportionnellement à la racine carrée de la taille d’échantillon seulement. Passer de 100 observations à 400 divise l’erreur type par deux ; obtenir une nouvelle division par deux en coûte 1 600. C’est pourquoi l’erreur type est le nombre à surveiller quand on planifie une étude, et pourquoi le gain d’un très grand échantillon sur un échantillon simplement grand est facile à surestimer. La ligne de l’écart type, elle, reste à peu près où elle est — plus de données ne rend pas la population sous-jacente moins dispersée, cela rend seulement plus précise l’estimation de son centre.

Que signifie une erreur type nulle ?

Soit que toutes les observations de l’échantillon étaient identiques, soit que la proportion valait 0 % ou 100 % — dans les deux cas la formule ne trouve aucune variation à exploiter et renvoie zéro. Lu au pied de la lettre, une erreur type nulle dit que l’estimation est exacte, et c’est une affirmation que les données ne peuvent pas porter : un échantillon de quatre mesures identiques est une indication que la dispersion est faible, pas une preuve qu’elle est nulle. La page renvoie le zéro plutôt qu’une erreur, parce que l’arithmétique est correcte et que la raison est visible sur les autres lignes, mais une erreur type exactement nulle doit être traitée comme le signe que l’échantillon est trop petit ou trop uniforme pour dire quoi que ce soit sur la variabilité.

Est-ce la même chose que la calculatrice du théorème central limite ?

Les deux calculent la même grandeur à partir d’entrées différentes, et celle qu’il vous faut dépend de ce que vous avez. Cette page prend l’échantillon — une liste de nombres, ou un pourcentage et un effectif — et c’est celle dont on se sert une fois les données en main. La page du théorème central limite prend l’écart type de la population et une taille d’échantillon, c’est-à-dire les valeurs qui existent avant toute collecte, et c’est celle à utiliser pour planifier une étude ou pour voir comment l’erreur type réagit à n. Les deux diffèrent exactement par l’étape d’estimation qui les sépare, ce qui explique que leurs résultats coïncident chaque fois que l’écart type de l’échantillon se trouve égaler la valeur de la population.

• 1.3.5.6. Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods (the sample standard deviation and the n − 1 denominator the standard error is built from) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the sampling distribution of a statistic, whose spread is what the standard error measures) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 1.3.5.1. Measures of Location — e-Handbook of Statistical Methods (the sample mean printed alongside the spread, and why the two are reported together) — National Institute of Standards and Technology (NIST)