Calculatrice de radicaux

c√r → (c × m)√(r ÷ m²), où m² est le plus grand carré qui divise r termes semblables : k₁√r + k₂√r = (k₁ + k₂)√r

√r

Le radical : la racine carrée d’un nombre entier r. Chaque terme de cette page est un multiple de l’un d’eux, et deux termes sont semblables exactement quand leur r est le même — c’est le coefficient placé devant qui s’additionne.

c

Le coefficient : le nombre entier qui multiplie le radical, égal à 1 quand rien n’est écrit. Il compte combien de copies de √r sont additionnées, donc 3√2 plus 2√2 en font cinq, et 3√2 moins 3√2 n’en laisse aucune.

r

Le radicande : le nombre sous la racine. Simplifier un radical isolé consiste à trouver le plus grand carré m² qui divise r et à faire sortir m, ce qui laisse derrière un radicande plus petit. Le plus petit radicande qu’un terme puisse atteindre est 1, et √1 vaut simplement 1.

m²

Le plus grand carré qui divise le radicande — 36 pour 72, 25 pour 50, 4 pour 8. Prendre le plus grand est ce qui fait de la réponse la forme radicale simplifiée plutôt qu’une forme seulement plus petite : 72 divisé par 4 donne 18, et 18 contient encore un facteur carré.

termes semblables

Les termes dont les radicandes coïncident après simplification. Additionner des radicaux n’est jamais qu’additionner des termes semblables : le radicande est l’unité que l’on compte, et il ne change pas quand on en additionne deux. C’est pourquoi 6√2 et 3√2 donnent 9√2 et non 9√4.

Utilisez cette page quand une expression avec radicaux — une somme de racines carrées — doit être écrite sous sa forme radicale simplifiée : pour vérifier un exercice, pour ranger un résultat avant de l’injecter dans une formule, ou pour voir si deux radicaux d’apparence différente sont en fait le même nombre. Il faut aussi parfois additionner des radicaux pour regrouper les termes semblables avant de conclure. L’addition de radicaux ne porte jamais que sur des termes dont le radicande coïncide après simplification. Le contrôle qui va avec consiste à élever le coefficient au carré et à le remettre sous la racine : 6√2 vaut 36 × 2 = 72, donc 6√2 et √72 sont bien le même nombre.

1. √72 + 3√2 - √8

   1. √72 : 72 = 36 × 2, donc le plus grand facteur carré 36 sort en 6, ce qui laisse 6√2
   2. 3√2 : le radicande 2 n’a aucun facteur carré, donc ce terme est déjà sous sa forme la plus simple
   3. √8 : 8 = 4 × 2, donc 4 sort en 2, ce qui laisse -2√2
   4. Les trois termes sont maintenant 6√2 + 3√2 - 2√2 — tous multiples de √2, donc le radicande ne bouge pas et les coefficients s’additionnent
   5. 6 + 3 - 2 = 7, donc la somme vaut 7√2
   6. 7√2 vaut 9,899495 à six décimales

   Le cas par défaut, et la raison d’être de cette page plutôt que de trois simplifications séparées : les trois radicaux commencent par sembler étrangers l’un à l’autre (72, 2 et 8) et se révèlent être le même radical compté 6, 3 et 2 fois. Le radicande ne change jamais pendant qu’on les additionne — seul le compte placé devant lui change.

2. √50 + 5 - √18

   1. √50 : 50 = 25 × 2, donc 25 sort en 5, ce qui laisse 5√2
   2. √18 : 18 = 9 × 2, donc 9 sort en 3, ce qui laisse -3√2
   3. 5 est déjà un nombre entier — il n’y a rien sous une racine à simplifier
   4. Les termes radicaux donnent 5√2 - 3√2 = 2√2
   5. Le nombre entier reste où il est, donc la réponse est 5 + 2√2
   6. 5 + 2√2 vaut 7,828427 à six décimales

   Un nombre entier et un radical ne sont pas des termes semblables : ils se posent côte à côte au lieu de se fondre en un seul nombre. Ils sont tout de même imprimés dans un ordre fixe, le nombre entier d’abord, ce qui fait de 5 + 2√2 la réponse ici et de 2√2 + 5 la réponse à la même somme écrite dans l’autre sens.

3. √2 + √3, où rien ne se regroupe

   1. √2 : le radicande 2 n’a pas d’autre facteur carré que 1, donc rien ne sort
   2. √3 : 3 n’a pas non plus de facteur carré, donc rien ne sort
   3. Les deux radicandes valent 2 et 3 — différents, donc les termes ne sont pas semblables
   4. La somme s’écrit telle quelle, √2 + √3
   5. √2 + √3 vaut 3,146264 à six décimales

   Rien n’est fait ici, et c’est la réponse : des radicaux dont les radicandes diffèrent ne peuvent pas être réunis en un seul radical, car aucun nombre n’a pour carré 5 et ne pourrait tenir la place de √2 + √3. La valeur décimale est tout de même donnée, puisque la valeur est parfaitement définie — elle n’a simplement pas de forme exacte plus courte.

Uniquement des racines carrées. Les racines cubiques et les suivantes se regroupent par exactement la même règle — on compare les radicandes et on additionne les coefficients — mais les écrire demande un symbole qui porte l’indice, et la notation de cette page n’a pas de place pour lui ; la calculatrice de racine n-ième traite les indices supérieurs, un terme à la fois. Seuls des nombres entiers sont acceptés, dans le coefficient comme sous la racine : 2,5√2 a pour forme exacte (5√2)/2, qui exige une fraction, et √2,5 vaut √10 ÷ 2 pour la même raison. Un radicande négatif est refusé parce qu’aucun nombre réel n’a pour carré un nombre négatif. Huit termes au maximum sont pris en compte, et chaque coefficient comme chaque radicande est plafonné à un million. Les décimales de la réponse sont arrondies à six rangs : ce sont des approximations d’une valeur exacte, non la valeur elle-même.

Que veut dire simplifier un radical ?

Cela veut dire faire sortir chaque facteur carré de sous la racine et le placer devant en coefficient. √72 devient 6√2 parce que 72 = 36 × 2 et que 36 est un carré parfait. La valeur ne change pas — 6√2 vaut 8,485281, et √72 aussi — mais la forme obtenue est celle qu’un calcul ultérieur peut utiliser.

Quand deux radicaux sont-ils des termes semblables ?

Quand les nombres sous les racines sont égaux après simplification. 6√2 et 3√2 sont semblables et donnent 9√2 ; √2 et √3 ne le sont pas, et leur somme ne peut pas s’écrire comme un radical unique. Seuls les coefficients s’additionnent — le radicande est l’unité que l’on compte, il reste donc en place.

Pourquoi la réponse est-elle donnée sous forme exacte plutôt que décimale ?

Parce que la plupart des radicaux sont irrationnels, et qu’une valeur décimale ne peut que les approcher. 7√2 est la valeur exacte ; 9,899495 est le même nombre arrondi à six décimales, et il est faux à la septième. Conserver la forme exacte est ce qui permet de réutiliser la réponse dans une étape suivante sans que les arrondis s’accumulent.

Puis-je saisir une racine cubique ?

Pas sur cette page. ∛8 + ∛2 se regroupe par exactement la même règle que les racines carrées, mais la notation exige un indice écrit dans le signe radical, et cette page imprime un √ nu. Utilisez la calculatrice de racine n-ième, un terme à la fois, avec n’importe quel indice de 2 à 12.

Pourquoi un nombre entier est-il admis à côté des radicaux ?

Parce qu’un nombre entier est un radical dont le radicande est descendu jusqu’à 1 — √25 vaut 5, et 5 vaut 5√1. Le traiter ainsi fait que les nombres entiers et les radicaux se regroupent par une seule règle, et donne l’ordre fixe dans lequel la réponse est imprimée : 5 + √2, le nombre entier en premier.

Comment vérifier la réponse ?

Élevez le coefficient au carré et remultipliez-le sous la racine. 7√2 se contrôle par 49 × 2 = 98, qui n’est pas la somme de départ : il faut donc contrôler terme par terme. 6√2 vaut 36 × 2 = 72, 3√2 vaut 18 et 2√2 vaut 8, et 72 + 18 - 8 = 82. C’est la somme des radicandes tels qu’ils étaient écrits, raison pour laquelle le contrôle se fait avant de regrouper les termes.

• Quadratic Surd — the canonical form a√b with b square-free, which is exactly what the simplified radicand column is — Wolfram MathWorld (United States)
• Radical — the radical sign and the operation it names, including why two radicals can only be added when their radicands agree — Wolfram MathWorld (United States)
• Like terms — what makes two terms addable, which for radicals is decided by the number under the root — SplashLearn (United States)