Calculatrice de multiplication

a × b : écrire les chiffres de b sous la forme b₀ + 10·b₁ + …, poser a × b_k sur sa propre ligne, la décaler de k rangs, puis additionner les lignes produit = (a × b) avec la virgule placée à autant de rangs depuis la droite que le total des décimales

a

Le multiplicande, le nombre que l’on multiplie. C’est lui tout entier qui est multiplié par chaque chiffre de l’autre nombre, l’un après l’autre : il reste donc d’un seul bloc pendant que l’autre nombre est démonté.

b

Le multiplicateur, le nombre dont les chiffres sont pris un à un en partant de la droite. Chacun de ses chiffres produit une ligne, y compris un chiffre nul, parce que cette ligne enregistre le rang qu’occupait ce chiffre : un rang où il n’y a rien reste une information.

décalage

Le nombre de rangs vers la gauche dont la ligne est écrite, égal à la position du chiffre du multiplicateur. C’est la valeur positionnelle en action : le chiffre 4 dans 45 vaut quarante, donc son produit partiel est dix fois plus grand que celui que produit le chiffre des unités. Sur le papier le décalage se montre en commençant la ligne plus à gauche ; dans un tableau, il doit devenir un nombre.

décimales

Le nombre de chiffres après la virgule, additionné sur les deux facteurs plutôt que compté sur l’un des deux. 2,3 en a une et 4,5 en a une, donc le produit en porte deux, et 1 035 devient 10,35. Rien dans le travail sur les chiffres n’en dépend : la multiplication se fait entièrement sur des nombres entiers et la virgule est placée après coup.

Utilisez cette page pour multiplier deux nombres à la main en conservant le travail : vérifier un produit calculé sur papier, enseigner l’étape du décalage, ou traiter des décimaux quand c’est la position de la virgule qui rate. La multiplication répétée d’un nombre par lui-même est l’affaire de la page des exposants ; la multiplication de fractions suit sa propre règle, numérateur par numérateur et dénominateur par dénominateur.

1. 23 × 45

   1. Multiplier par le chiffre des unités : 23 × 5 = 115, écrit sans décalage
   2. Multiplier par le chiffre des dizaines : 23 × 4 = 92
   3. Le chiffre des dizaines vaut dix fois plus, donc cette ligne se décale d’un rang vers la gauche et se lit 920
   4. Additionner les lignes : 115 + 920 = 1 035
   5. Aucun des deux facteurs n’a de décimale, donc le produit n’en a pas
   6. Le produit vaut 1 035

   Le cas par défaut. Le 0 à la fin de 920 est le décalage rendu visible : sur le papier cette ligne commence simplement une colonne plus à gauche, et à la lecture il devient un chiffre qu’il faut écrire. Les deux lignes additionnées forment une addition en colonnes ordinaire, qui est la page d’à côté.

2. Les mêmes chiffres, avec des virgules

   1. On ignore les virgules et on multiplie les chiffres : 23 × 45 est l’exemple précédent
   2. Les produits partiels sont 115 et 920, inchangés
   3. On compte les décimales : 2,3 en a une et 4,5 en a une, donc le produit en a deux
   4. On place la virgule à deux chiffres depuis la droite de 1 035
   5. Le produit vaut 10,35

   L’énoncé le plus net du fonctionnement des décimaux ici : le travail sur les chiffres est identique à celui de 23 × 45, et toute la différence tient à l’endroit où tombe la virgule. C’est aussi pourquoi les décimales sont annoncées comme une somme plutôt que comptées sur l’un des facteurs.

3. Un zéro dans le multiplicateur

   1. Multiplier par le chiffre des unités : 23 × 0 = 0, écrit sans décalage
   2. Multiplier par le chiffre des dizaines : 23 × 4 = 92, décalé d’un rang vers la gauche, soit 920
   3. Additionner les lignes : 0 + 920 = 920
   4. Le produit vaut 920

   La ligne du zéro est conservée plutôt que sautée. Écrite à la main, elle est d’ordinaire omise, mais c’est sa position qui est l’information — elle dit que le chiffre des unités de 40 n’a rien apporté — et le contrôle qui veut que les lignes s’additionnent pour donner le produit ne tient que si la ligne est là. C’est le choix inverse de celui de la page de la double distributivité, où un terme qui vaut zéro est supprimé : là-bas le terme vide n’existe pas, alors qu’ici une ligne est bel et bien écrite.

Les deux facteurs peuvent porter au total six décimales au maximum, et c’est leur somme qui est limitée plutôt que l’un ou l’autre. C’est une limite d’affichage et non d’arithmétique : le panneau imprime le produit avec six décimales, si bien qu’un produit qui en demanderait huit s’afficherait 0,000000 — une réponse fausse sous les habits d’une réponse juste. Chaque facteur est limité à un million en valeur absolue, et la forme entière du produit au plus grand entier représentable exactement, parce que les chiffres sont lus rang par rang et qu’au-delà les produits partiels cessent de s’additionner pour donner la réponse. Les facteurs négatifs sont acceptés, et les produits partiels sont imprimés sans signe ; le signe n’apparaît que sur le produit final. Zéro est un facteur légitime, et le produit d’un négatif par zéro s’écrit 0 plutôt que moins zéro. Cette page multiplie ; la division est une procédure distincte, avec ses propres règles de colonnes.

Qu’est-ce qu’une multiplication posée ?

C’est multiplier deux nombres en démontant les chiffres de l’un : chaque chiffre du multiplicateur produit une ligne, les lignes sont décalées vers la gauche selon le rang qu’occupait ce chiffre, puis elles sont additionnées. Le résultat est celui d’une calculatrice, avec les lignes intermédiaires conservées.

Pourquoi les produits partiels sont-ils décalés ?

Parce que la valeur d’un chiffre dépend de l’endroit où il se trouve. Le 4 dans 45 vaut quarante, donc tout ce qu’il multiplie doit ressortir dix fois plus grand que ce qu’a produit le 5, et écrire la ligne un rang plus à gauche est la façon de l’enregistrer. C’est la même règle qui fait s’aligner les colonnes d’une addition.

Comment savoir où placer la virgule ?

On compte les décimales des deux facteurs et on les additionne. 2,3 en a une et 4,5 en a une, donc le produit en a deux et 1 035 devient 10,35. Les chiffres eux-mêmes ne voient jamais la virgule : toute la multiplication se fait sur des nombres entiers, et la virgule est placée à la fin.

Pourquoi garder une ligne de zéros ?

Parce que c’est la position de la ligne qui porte l’information. Quand le chiffre des unités du multiplicateur vaut zéro, cette ligne dit que le rang des unités n’a rien apporté, et la supprimer effacerait le fait que la ligne restante est décalée. La garder garantit aussi que les lignes s’additionnent toujours pour donner le produit, ce qui est le contrôle que cette page est construite pour rendre possible.

Que se passe-t-il avec des facteurs négatifs ?

Le produit est négatif quand un seul des deux facteurs l’est, et positif quand les deux le sont. Les produits partiels sont imprimés sans signe dans les deux cas, comme un calcul écrit garde le signe moins en dehors du travail — et c’est ce qui leur permet de s’additionner pour donner le produit.

Pourquoi un produit entier s’affiche-t-il avec une suite de zéros ?

Parce que le panneau imprime le produit avec un nombre fixe de six décimales, si bien qu’un produit entier ressort suivi de six zéros. L’autre solution serait d’imprimer le produit en texte, ce qui ferait apparaître un point dans la réponse — faux dans les pays où le séparateur décimal est la virgule, et pire que quelques zéros en trop.

• Base — why shifting a partial product one place left multiplies it by ten, which is what the shift column records — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponentiation — multiplication applied to a number and itself, the case where both factors are the same — Wolfram MathWorld (United States)
• Division — the inverse operation, and the reason it needs a different column procedure rather than a variation on this one — Wolfram MathWorld (United States)