Calculatrice d’addition posée

column k: total = digit_k(a₁) + … + digit_k(aₙ) + carry_in written digit = total mod 10 carry out = floor(total ÷ 10)

a₁ … aₙ

Les termes de l’addition : entre deux et dix nombres entiers, chacun inférieur ou égal à un billion. La première colonne est la colonne des unités de tous les nombres à la fois, et c’est pourquoi il faut les écrire avec leurs chiffres alignés pour que cette procédure ait un sens.

colonne k

Le k-ième rang en partant de la droite, la colonne des unités portant le numéro zéro. Chaque colonne contient un chiffre de chaque terme, et un nombre trop court pour aller jusque-là apporte un zéro au lieu d’être sauté : la valeur d’un chiffre est décidée par la colonne où il se trouve, et non par le nombre dont il vient.

carry

La quantité reportée dans la colonne suivante vers la gauche. C’est ce qui reste une fois le chiffre écrit retiré, autrement dit la part des dizaines du total. Une colonne peut retenir au plus 9, et la colonne la plus à gauche peut encore ouvrir un rang au-delà de la largeur du plus long des termes, ce qui fait de 9 + 9 une réponse à deux chiffres.

sum

Le total, et aussi le repère auquel se mesure la chaîne des retenues : celle-ci compte une entrée par colonne, donc sa longueur égale le nombre de chiffres de la somme. Les zéros de tête ne s’écrivent jamais, si bien que 007 est la réponse 7.

Utilisez cette page quand l’addition doit être montrée plutôt que simplement donnée : pour enseigner le passage de la retenue, pour contrôler un total fait à la main, ou pour additionner plusieurs nombres à la fois quand ce sont les reports intermédiaires qui se perdent. Additionner plusieurs nombres pour en trouver la moyenne est la question suivante, et la page de la moyenne accepte la même liste. C’est aussi la bonne page pour additionner colonne par colonne des nombres dont on veut voir la valeur positionnelle de chaque chiffre.

1. 1 234 + 567 + 89

   1. Colonne des unités : 4 + 7 + 9 = 20, on écrit 0 et on retient 2
   2. Colonne des dizaines : 3 + 6 + 8 + 2 = 19, on écrit 9 et on retient 1
   3. Colonne des centaines : 2 + 5 + 0 + 1 = 8, on écrit 8 et on retient 0
   4. Colonne des milliers : 1 + 0 + 0 + 0 = 1, on écrit 1 et on retient 0
   5. Les chiffres écrits, du rang le plus élevé vers le plus bas, sont 1, 8, 9 et 0
   6. La somme vaut 1 890 et la chaîne des retenues est 2, 1, 0, 0

   Les trois termes comptent quatre, trois et deux chiffres : les deux plus courts s’arrêtent donc dans les rangs élevés et n’y apportent rien. La chaîne compte quatre entrées et la somme quatre chiffres — cette correspondance est l’assertion sur laquelle la page est construite, et elle tient pour toutes les entrées, y compris celles où rien ne se retient.

2. 9 + 9, où une colonne supplémentaire apparaît

   1. Colonne des unités : 9 + 9 = 18, on écrit 8 et on retient 1
   2. Il ne reste plus de colonne, donc la retenue en ouvre une : on écrit 1 et on retient 0
   3. Les chiffres sont 1 et 8
   4. La somme vaut 18, donc la chaîne des retenues est 1, 0

   Deux termes d’un seul chiffre et une réponse à deux chiffres. La chaîne des retenues possède une entrée pour la colonne que les termes n’avaient jamais eue, et c’est pourquoi elle est plus longue d’un cran que le plus large des termes. Lire 1, 0 comme une soustraction appliquée au résultat serait une erreur : les entrées partent de la colonne des unités et remontent, la première est donc la retenue des unités.

3. Un total sans aucune retenue

   1. Colonne des unités : 0 + 0 + 0 = 0, on écrit 0, on retient 0
   2. Colonne des dizaines : 0 + 0 + 0 = 0, on écrit 0, on retient 0
   3. Colonne des centaines : 1 + 2 + 3 = 6, on écrit 6, on retient 0
   4. La somme vaut 600 et la chaîne des retenues est 0, 0, 0

   Rien ne se retient ici, et les zéros sont tout de même affichés. Une chaîne qui s’arrêterait à la première entrée non nulle serait illisible en face des colonnes, alors que tout l’intérêt de la lecture est la correspondance entre les entrées et les rangs. Cet exemple sépare aussi ses termes par des espaces plutôt que par des points-virgules : les deux sont acceptés, et l’espace évite la virgule, que certains pays lisent comme un séparateur décimal.

Seuls les nombres entiers sont acceptés. Un séparateur décimal exigerait d’aligner d’abord les termes dessus, en complétant par des zéros jusqu’à obtenir des longueurs égales, ce qui est une tout autre procédure que d’ajouter des colonnes ; les décimaux sont donc refusés plutôt que traités comme des entiers à l’insu de l’utilisateur. Les termes négatifs sont refusés pour une raison du même ordre : un signe moins n’est pas un chiffre et réclamerait une colonne et une règle propres. Entre deux et dix termes sont acceptés ; un nombre seul n’a aucune colonne où s’écrire, et au-delà de dix l’arithmétique se traite mieux par une somme sur une liste. Chaque terme est plafonné à un billion et la somme au plus grand entier représentable exactement, parce que les chiffres sont lus rang par rang et qu’au-delà les chiffres écrits cessent de correspondre au résultat. Le vocabulaire et la disposition sont ceux de l’école française : la retenue s’écrit en petit au-dessus de la colonne suivante et le calcul part de la colonne des unités. Enfin cette page additionne ; elle ne soustrait, ne multiplie et ne divise pas, chacune de ces opérations ayant sa propre procédure en colonnes.

Qu’est-ce qu’une addition posée ?

C’est l’addition faite comme on l’écrit à la main : on aligne les chiffres par rang, on travaille de la colonne des unités vers la gauche, et l’on retient ce qui dépasse dans la colonne suivante. C’est la même somme qu’une calculatrice, mais avec les étapes intermédiaires conservées au lieu d’être jetées.

Pourquoi commencer par la colonne des unités ?

Parce que la retenue voyage vers la gauche. Chaque colonne a besoin de la retenue qui entre, laquelle vient de la colonne située à sa droite : la colonne des unités doit donc être réglée avant celle des dizaines. Commencer ailleurs obligerait à revenir en arrière dès l’arrivée de la retenue.

Que m’apprend la chaîne des retenues ?

Elle liste ce que chaque colonne a reporté dans la suivante, en partant des unités. Sa longueur est le nombre de chiffres de la somme, ce qui en fait aussi un contrôle : si une retenue a disparu ou si une colonne a été oubliée, les deux longueurs cessent de coïncider.

Pourquoi la réponse peut-elle avoir plus de chiffres que le plus long des termes ?

Parce que la dernière colonne peut encore retenir. Additionner 9 et 9 remplit la colonne des unités et laisse une retenue sans destination, si bien qu’une nouvelle colonne s’ouvre pour l’accueillir : 9 + 9 donne 18 et non 8. Cette colonne supplémentaire est la raison pour laquelle la chaîne des retenues peut compter une entrée de plus que le plus large des termes.

Puis-je additionner des nombres décimaux ?

Pas sur cette page. Les décimaux s’additionnent aussi en colonnes, mais seulement après avoir été alignés sur le séparateur décimal et complétés par des zéros, ce qui change la signification même d’une colonne : elle cesse d’être une valeur positionnelle pour devenir une position après la virgule. La page refuse l’entrée plutôt que de lire 1,5 comme 15.

L’ordre des termes a-t-il une importance ?

La somme est la même dans tous les ordres. La chaîne des retenues, non : un ordre différent change le chiffre que reçoit chaque colonne, et une colonne dont les chiffres totalisent exactement 9 se retiendra dans un arrangement et pas dans un autre. Le détail du calcul dépend donc de l’ordre, même si le résultat n’en dépend pas.

• Base — how a digit's worth comes from the column it sits in, which is what makes the ones column the right place to start — Wolfram MathWorld (United States)
• Binary — the identical carry procedure in base two, where a single 1 + 1 already carries and the chain is easiest to watch — Wolfram MathWorld (United States)
• Additive Inverse — the opposite of a number, and the reason a negative addend cannot simply be written into the column — Wolfram MathWorld (United States)