Calculatrice de soustraction

colonne k: brut = chiffre_k(minuend) − emprunt_entrant − chiffre_k(soustrait) emprunt_sortant = 1 si brut < 0, sinon 0 chiffre écrit = brut + 10 × emprunt_sortant

minuend

Le nombre dont on retire, un entier inférieur ou égal à un billion. Il occupe la ligne du haut, et chaque colonne se lit par rapport à ses chiffres — y compris les colonnes où il n’a plus de chiffre, qui comptent pour zéro.

subtrahend

Le nombre que l’on retire, écrit en dessous et aligné sur la colonne des unités. Il peut être le plus grand des deux : le calcul se fait alors dans l’autre sens et la différence reçoit un signe moins.

column k

Le k-ième rang en partant de la droite, la colonne des unités portant le numéro zéro. Une colonne ne peut être réglée qu’une fois celle de droite établie, parce que l’emprunt voyage vers la gauche : c’est la colonne des unités qui décide de tout ce qui est au-dessus d’elle.

borrow

Le 1 pris à la colonne voisine de gauche lorsque le chiffre du haut est plus petit que celui du bas. Il vaut dix dans la colonne qui le reçoit, si bien que 4 − 7 devient 14 − 7, et la colonne d’où il vient perd une unité.

difference

La différence de deux nombres entiers, et aussi le repère auquel se mesure la chaîne des emprunts : celle-ci compte une entrée par colonne du plus grand des deux, donc sa dernière entrée est toujours 0. Les zéros de tête ne s’écrivent jamais, si bien que 099 est la réponse 99.

Utilisez cette page pour retirer un nombre entier d’un autre quand le calcul doit être montré plutôt que simplement donné : pour enseigner l’emprunt au moment où une colonne ne peut pas couvrir le chiffre du dessous, ou pour vérifier une soustraction faite à la main. Le contrôle qui va avec est l’addition : ajoutez la différence au nombre du dessous et vous devez retrouver celui du haut.

1. 1 234 − 567

   1. Colonne des unités : 4 − 7 ne passe pas, on emprunte 1 à la colonne des dizaines et on lit 14 − 7 = 7
   2. Colonne des dizaines : le 3 a déjà perdu une unité pour cet emprunt, donc 2 − 6 ne passe pas non plus : on emprunte encore et on lit 12 − 6 = 6
   3. Colonne des centaines : le 2 a lui aussi perdu une unité, donc 1 − 5 ne passe pas : on emprunte et on lit 11 − 5 = 6
   4. Colonne des milliers : le 1 a perdu une unité, ce qui laisse 0 − 0 = 0
   5. Les chiffres écrits, du rang le plus élevé vers le plus bas, sont 0, 6, 6 et 7
   6. La différence vaut 667 et la chaîne des emprunts est 1, 1, 1, 0

   Le cas par défaut, et celui qui montre pourquoi le calcul s’écrit : chaque colonne qui emprunte laisse la colonne au-dessus d’elle plus petite d’une unité, si bien que l’emprunt arrive avant même que les chiffres de cette colonne soient lus. La dernière entrée vaut 0 parce que la colonne du haut n’a rien au-dessus d’elle à qui emprunter : ce zéro marque l’arrêt de la chaîne, ce n’est pas une étape manquante.

2. 1 000 − 1, avec un emprunt qui traverse les zéros

   1. Colonne des unités : 0 − 1 ne passe pas, on emprunte à la colonne des dizaines
   2. La colonne des dizaines contient un 0 et ne peut rien prêter : elle emprunte d’abord à la colonne des centaines
   3. La colonne des centaines contient un 0 elle aussi, donc elle emprunte aux milliers, ce qui transforme 1 000 en 990 avec dix aux centaines
   4. En prêtant une de ces dizaines à la colonne des dizaines, il reste 9 là et dix à la colonne des unités
   5. Colonne des unités : 10 − 1 = 9. Colonne des dizaines : 9 − 0 = 9. Colonne des centaines : 9 − 0 = 9
   6. La différence vaut 999 et la chaîne des emprunts est 1, 1, 1, 0

   La chaîne compte les quatre mêmes entrées que dans l’exemple par défaut, et c’est tout l’intérêt : l’emprunt parcourt toute la largeur du nombre et la réponse est le complément à neuf. Un zéro au milieu n’est pas un rang qui peut prêter : il doit d’abord emprunter à sa gauche, et sur le papier c’est cette chaîne de ratures que l’on écrit au-dessus de l’opération.

3. 3 − 5, où la réponse devient négative

   1. Le nombre du haut est plus petit que celui du bas, donc la soustraction se fait dans l’autre sens : 5 − 3
   2. Colonne des unités : 5 − 3 = 2, sans rien à emprunter
   3. Les chiffres écrits se réduisent à 2
   4. Comme les deux nombres ont été échangés, la réponse porte un signe moins
   5. La différence vaut −2 et la chaîne des emprunts est 0

   Le calcul se fait toujours du plus grand vers le plus petit, si bien que la colonne des chiffres du tableau ci-dessous ne montre jamais de ligne négative : le signe moins vit sur la réponse et nulle part ailleurs. C’est ce qui rend la chaîne des emprunts lisible : elle compte une entrée par colonne du plus grand des deux nombres, longueur qui ne serait pas fixe si les colonnes pouvaient partir dans l’autre sens.

Seuls les nombres entiers sont acceptés. Les décimaux se soustraient eux aussi en colonnes, mais seulement après avoir été alignés sur le séparateur décimal et complétés par des zéros, ce qui change la signification même d’une colonne : les décimaux sont donc refusés plutôt que traités discrètement comme des entiers. Les entrées négatives sont refusées pour une raison du même ordre : un signe n’est pas un chiffre et réclamerait une colonne et une règle propres. Deux nombres exactement sont pris en compte ; une chaîne de soustractions est une suite de ces opérations. Chaque nombre est plafonné à un billion, parce que les chiffres sont lus rang par rang et qu’au-delà les chiffres écrits cessent de correspondre au résultat. Lorsque le second nombre est le plus grand, la réponse est négative, mais les chiffres montrés dans le calcul sont ceux du plus grand moins le plus petit : le tableau ne se lit donc pas directement sur les nombres saisis. Le vocabulaire est celui de l’école française, où le mot emprunt et le mot retenue désignent tous deux ce mouvement.

Qu’est-ce qu’une soustraction posée ?

C’est la soustraction faite comme on l’écrit à la main : on aligne les chiffres par rang, on travaille de la colonne des unités vers la gauche, et l’on emprunte dix à la colonne suivante chaque fois que le chiffre du haut est trop petit. Le résultat est celui d’une calculatrice, mais avec les étapes intermédiaires conservées au lieu d’être jetées.

Que veut dire emprunter ?

Prendre une unité à la colonne de gauche et la dépenser ici sous forme de dix. 4 − 7 ne passe pas, donc on déplace une dizaine et la colonne se lit 14 − 7 = 7. La colonne d’où elle vient a maintenant une unité de moins, et c’est pourquoi un emprunt touche deux colonnes et non une seule.

Emprunt et retenue, est-ce la même chose ?

Oui. Emprunter, regrouper et échanger désignent le même mouvement sous des noms différents, et le mot retenu dépend de la classe et du manuel. Un emprunt échange toujours une unité du rang voisin de gauche contre dix unités de ce rang-ci : rien n’est créé ni perdu, seulement écrit autrement.

Pourquoi la chaîne des emprunts se termine-t-elle par un zéro ?

Parce que la colonne du haut n’emprunte jamais. Un emprunt n’a lieu que lorsqu’une colonne ne peut pas couvrir le chiffre du dessous, et la colonne la plus élevée du plus grand des deux nombres est toujours supérieure au plus petit tout entier : la chaîne s’arrête donc là. Ce zéro final est cet arrêt, et la chaîne compte une entrée de plus que les emprunts réellement visibles.

Comment contrôler le résultat ?

Ajoutez la différence au nombre du dessous et regardez si vous retrouvez celui du haut. 1 234 − 567 = 667, et 667 + 567 = 1 234. Ce contrôle est exact et coûte une addition en colonnes, ce qui explique que la soustraction et l’addition s’enseignent comme une seule procédure dont on change les signes.

Puis-je retirer un plus grand nombre d’un plus petit ?

Oui, et la réponse revient négative. Le calcul se fait tout de même du plus grand vers le plus petit, parce qu’une procédure en colonnes a besoin que les chiffres du haut soient les plus grands quelque part ; seul le signe de la différence change. 3 − 5 se calcule comme 5 − 3 = 2 et s’écrit −2.

• Subtraction — the operation itself, and the fact that a difference can be checked by adding it back — Wolfram MathWorld (United States)
• Base — how a digit's worth comes from the column it sits in, which is why a borrow is worth exactly ten — Wolfram MathWorld (United States)
• Subtraction with regrouping — the column-by-column procedure taught in schools, and the names it goes by — SplashLearn (United States)