Calculatrice de fonction d’erreur

erf x = (2 ÷ √π) ∫₀ˣ e^(−t²) dt erfc x = 1 − erf x

x

La valeur mesurée, un nombre pur sans unité. Il peut être négatif, auquel cas la fonction d’erreur est impaire et renvoie l’opposé de la réponse positive : erf(−1) vaut −0,842701. La plage utile va de −6 à 6, au-delà de laquelle la courbe s’est aplatie si complètement qu’un nombre en double précision ne distingue plus la valeur de 1.

e^(−t²)

La cloche gaussienne, la courbe que l’on intègre. Sa forme est ce qui donne son importance à la fonction d’erreur : l’aire comprise sous cette courbe entre deux valeurs est une probabilité, et c’est pourquoi la même intégrale se retrouve dans toute question de loi normale, et pourquoi la calculatrice de loi normale est la page qui accompagne naturellement celle-ci.

√π

Le facteur de normalisation placé devant l’intégrale, soit environ 1,772454. Sans lui, la courbe entière aurait pour intégrale √π au lieu de 1, et la fonction d’erreur n’irait pas de −1 à 1. C’est ici une constante et non une variable, ce qui vaut la peine d’être dit tant elle en a l’air.

erf x

La fonction d’erreur elle-même, affichée avec six décimales. Elle va de −1 à 1, passe par zéro à l’origine et atteint 0,842701 en x = 1. Sa valeur est une aire et non une probabilité : pour en faire une probabilité, on ajoute un puis on divise par deux, et c’est ainsi que la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite se construit à partir d’elle.

erfc x

La fonction d’erreur complémentaire, un moins erf, qui part de 1 pour les entrées très négatives et retombe vers zéro. Elle est donnée en notation scientifique parce qu’elle couvre une plage d’ordres de grandeur considérable. Ce n’est pas une seconde mesure mais la même lue par l’autre bout : erfc est l’aire de la queue de distribution, et c’est exactement ce que l’on veut savoir quand x est loin de zéro.

Cette page sert quand la réponse cherchée est la fonction d’erreur ou sa complémentaire telles qu’elles s’écrivent. Si ce que vous voulez est en réalité la probabilité qu’une variable de loi normale tombe sous une valeur donnée, la calculatrice de loi normale prend une moyenne et un écart type et renvoie directement cette probabilité, qui est le même nombre atteint par un chemin plus court. La fonction d’erreur est la primitive qui se trouve dessous, et cette page est l’endroit où la primitive elle-même se lit.

1. La valeur que tout le monde rencontre en premier : x = 1

   1. La série est évaluée en x = 1, où elle converge en quelques dizaines de termes
   2. erf(1) ressort à 0,842701
   3. La complémentaire vaut un moins cela : 1 − 0,842701 = 0,157299
   4. L’addition des deux lectures donne 1,000000, ce qui est la vérification à faire sur n’importe quelle ligne de cette page

   Le fait que les deux lectures fassent un n’est pas une coïncidence d’arrondi, c’est la définition même du mot complémentaire. Lu comme une aire, cela dit que tout ce qui se trouve sous la courbe en cloche est soit à moins d’une unité du centre, soit au-delà. C’est aussi la ligne qui se traduit le plus directement en ce chiffre familier d’environ 68 pour cent à un écart type.

2. Deux, là où la queue s’amincit

   1. erf(2) vaut 0,995322, la courbe a donc presque terminé son ascension
   2. La complémentaire vaut 1 − 0,995322 = 0,0046777, désormais sous le demi pour cent
   3. En notation scientifique, cette queue s’écrit 4,677735 × 10⁻³
   4. Les deux lectures font encore un, la complémentaire étant descendue à quatre chiffres significatifs

   Surveillez la précision de la complémentaire plutôt que celle de la fonction d’erreur. Calculer un moins un nombre très proche de un fait perdre les premiers chiffres, et dès cette ligne la complémentaire en a déjà perdu la plupart — c’est pourquoi la page la donne en notation scientifique avec son propre traitement des chiffres significatifs au lieu d’un nombre fixe de décimales.

3. Quatre, là où la complémentaire commence à manquer de chiffres

   1. La valeur exacte de erf(4) vaut un moins environ 1,54 × 10⁻⁸
   2. En double précision, cela est indiscernable de 1, la colonne de la fonction d’erreur affiche donc exactement 1
   3. La complémentaire est alors calculée comme 1 − erf et renvoie 1,541726 × 10⁻⁸
   4. C’est la soustraction qui coûte la précision : il ne reste qu’une poignée de chiffres justes dans la réponse

   Voilà la limite honnête de la page et la raison pour laquelle la plage d’entrée s’arrête à six. La complémentaire est ici la différence entre deux nombres qui s’accordent jusqu’à la huitième décimale : c’est donc le petit reste d’une annulation, dont la valeur exacte est 1,5417 × 10⁻⁸ et dont seuls quelques premiers chiffres sont fiables. En x = 6, les deux doubles sont égaux et la soustraction renvoie exactement zéro là où la vérité vaut environ 2 × 10⁻¹⁷.

L’entrée est limitée à 6 dans les deux sens. C’est une limite de précision et non de performance : au-delà, la fonction d’erreur est si proche de 1 qu’un nombre en double précision ne peut plus représenter l’écart, et la page n’imprimerait que du bruit. Même à l’intérieur de la plage, il existe une limite qu’il vaut la peine de connaître : la complémentaire est calculée par soustraction, et dès que x dépasse environ 4,5, cette soustraction annule la plupart des chiffres significatifs, si bien que les valeurs de erfc n’y gardent que quelques chiffres justes. Ce n’est pas corrigé ici, et corriger demanderait une seconde implémentation de la complémentaire plutôt qu’une correction de celle-ci. La fonction d’erreur elle-même est exacte à une ou deux unités près sur le dernier rang dans toute la plage. Seules les deux valeurs sont données : la fonction de répartition de la loi normale ne figure pas parmi les sorties, puisqu’elle porte la même information par un autre chemin et que la calculatrice de loi normale la donne sous forme de probabilité, avec une moyenne et un écart type sur lesquels travailler. Aucune unité n’intervient sur cette page ; l’entrée est un nombre pur. Les valeurs sont calculées à partir d’une série écrite pour cette page plutôt que par une bibliothèque de la plateforme, parce que le langage n’en fournit aucune.

À quoi sert la fonction d’erreur ?

À mesurer quelle part d’une courbe gaussienne se trouve entre le centre et un point donné, ce qui revient à une probabilité dans une loi normale centrée réduite. La valeur en x = 1 vaut 0,842701, et en ajoutant un puis en divisant par deux on obtient 0,921351, la probabilité qu’une variable de loi normale centrée réduite tombe à moins d’un écart type de la moyenne, des deux côtés.

Qu’est-ce que erfc et quel est son rapport avec erf ?

C’est la fonction d’erreur complémentaire, définie comme un moins la fonction d’erreur, si bien que les deux lectures de cette page font toujours exactement 1. Elle existe comme fonction à part entière et non comme un accessoire, parce que c’est celle qu’il faut pour les grandes entrées : en x = 4 la fonction d’erreur s’est aplatie sur 1 et seule la complémentaire porte encore l’information.

Pourquoi ne puis-je pas saisir une valeur supérieure à six ?

Parce qu’au-delà de six il n’y a plus rien à mesurer. La valeur exacte en x = 6 vaut un moins environ 2 × 10⁻¹⁷, et un double ne sait pas la distinguer de 1 : la colonne de la fonction d’erreur afficherait 1 et la complémentaire exactement zéro. La limite porte sur ce qui est représentable, non sur la difficulté du calcul — la série y converge en deux cents termes environ.

Pourquoi la complémentaire cesse-t-elle d’être précise pour les grandes entrées ?

Parce qu’elle est obtenue par soustraction. Quand la fonction d’erreur vaut 0,99999999999846256, la retrancher de un ne laisse que quelques chiffres significatifs, tout ce qui précède étant du bruit d’annulation. La complémentaire exacte en x = 5 vaut 1,5374598 × 10⁻¹² et cette page renvoie 1,5364 × 10⁻¹². La fonction d’erreur elle-même ne souffre pas de ce défaut, et c’est pour cela qu’elle constitue la lecture principale.

Puis-je obtenir ici la probabilité de la loi normale à la place ?

Pas directement, et la page ne le propose délibérément pas. La fonction de répartition de la loi normale centrée réduite se construit à partir de la fonction d’erreur en ajoutant un et en divisant par deux, mais la calculatrice de loi normale prend en plus une moyenne et un écart type et donne la probabilité directement — ce qui est une meilleure réponse à cette question qu’un chiffre standardisé.

• Erf — the definition as an integral of the gaussian, the series expansion, and the values at small arguments — Wolfram MathWorld (United States)
• DLMF §7.2: Error Functions — the definition, the symmetry relation, and the series used to evaluate them — National Institute of Standards and Technology (NIST), Digital Library of Mathematical Functions
• DLMF §7.12: Asymptotic Expansions for Error Functions — why the complement loses accuracy and how it is recovered — National Institute of Standards and Technology (NIST), Digital Library of Mathematical Functions