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CalcMax

Calculatrice d’ellipse

Intervalle : 0 cm – 1 000 000 000 cm

Intervalle : 0 cm – 1 000 000 000 cm

Résultat

47,1239 cm²

Aire

Périmètre
25,5270 cm
Excentricité
0,8000

Une calculatrice d’ellipse prend les deux axes d’un ovale et renvoie trois valeurs : l’aire qu’il couvre, la distance qui en fait le tour et de combien il s’écarte d’un cercle. Les deux premières reviennent en centimètres — au carré pour l’aire, simples pour le périmètre — et la troisième est un nombre nu, sans aucune unité, pour des raisons que la page explique plus bas. Une ellipse est ce que devient un cercle lorsqu’on l’étire davantage dans une direction que dans l’autre, et les deux axes sont ces deux directions. Le grand axe est le plus long : il traverse le centre d’un bout à l’autre ; le petit axe est le plus court, perpendiculaire au premier. La moitié de chacun s’appelle un demi-axe, et la distinction compte ici parce que les formules usuelles s’écrivent en demi-axes alors que cette page demande les longueurs entières : les deux champs prennent ce qu’un mètre ruban vous donnerait en travers d’un plateau de table ou d’une piste, et la division par deux se fait à l’intérieur. L’aire est la seule des trois valeurs dont la formule soit à la portée de tout le monde. Elle vaut pi multiplié par les deux demi-axes, ce qui est exactement l’expression de l’aire d’un cercle dès qu’on remarque qu’un cercle n’est qu’une ellipse dont les deux axes sont égaux. Si vos deux mesures sont égales, cette page et celle de l’aire du cercle tomberont d’accord au chiffre près, et la longueur du contour ici s’accordera de même avec la circonférence là-bas — la première ligne du tableau est là pour être vérifiée contre les deux. Le périmètre est la valeur qui mérite un avertissement. Contrairement à l’aire, la distance qui fait le tour d’une ellipse n’a aucune formule qu’on puisse écrire en un nombre fini d’opérations ordinaires : c’est une intégrale elliptique, et le seul moyen pratique d’obtenir un nombre est une approximation. Celle utilisée ici est la seconde de Ramanujan, assez précise pour que l’erreur ne se voie jamais dans les quatre décimales affichées, quelle que soit l’ellipse que vous pourriez mesurer — mais c’est une approximation, et elle se comporte d’une façon particulière aux deux extrêmes. Quand les deux axes sont égaux elle est exacte, parce que les deux extrémités de la formule s’annulent. Quand le petit axe se réduit vers zéro, l’ellipse s’aplatit vers un segment, et l’approximation tombe légèrement trop bas : un grand axe de 10 avec un petit axe de 0 devrait donner un contour de 20 le long du demi-axe doublé, et cette page affiche 19,992. L’excentricité est la troisième valeur, et celle que personne n’attend. C’est un nombre unique compris entre 0 et 1 qui dit de combien l’ellipse s’écarte d’un cercle : 0 est un cercle, et plus il approche de 1, plus l’ellipse est plate. Il n’a pas d’unité parce que c’est un rapport — c’est le même nombre que vous mesuriez en centimètres ou en miles — et la page l’affiche donc sans unité. Les trois valeurs ne changent pas d’échelle de la même façon, et le tableau le rend visible sur une seule paire de lignes. Doublez les deux axes et l’aire est multipliée par quatre, le contour seulement par deux, et l’excentricité ne bouge pas du tout, parce qu’une ellipse plus grande et de mêmes proportions est la même forme. C’est pourquoi une photographie peut être agrandie sans que change ce qu’elle montre, et pourquoi l’excentricité suffit à décrire la forme d’une orbite tandis que les axes sont nécessaires pour en décrire la taille. Une chose que la page ne fera pas : remettre vos deux mesures dans le bon ordre à votre place. Si le plus petit axe est saisi dans le plus grand champ, elle le signale et s’arrête au lieu de les échanger discrètement — une page qui réordonne vos nombres mettrait la valeur affichée en désaccord avec l’étiquette d’à côté, et vous n’auriez aucun moyen de le savoir.

Ellipses courantes : aire, périmètre et excentricité à partir des deux axes

Grand axe (cm)Petit axe (cm)Aire (cm²)Périmètre (cm)Excentricité
101078.539831.41590
10862.831928.36170.6
10647.123925.5270.8
2012188.495651.0540.8
10431.415923.01310.9165
10215.70821.010.9798
1017.85420.31960.995
100019.9921

Huit ellipses et cinq colonnes, avec les deux axes en entrée et trois valeurs en sortie. La première ligne est le cercle, et c’est celle qu’il faut confronter aux autres pages : une ellipse de 10 par 10 est un cercle de rayon 5, donc son aire de 78,5398 est celle qu’affiche la page de l’aire du cercle et son périmètre de 31,4159 celle qu’affiche la page de la circonférence. La deuxième ligne est un ovale plus doux, 10 par 8, d’excentricité 0,6 — la forme de bien des objets réels, d’une piste à une table ovale. La troisième ligne est le couple avec lequel la page se charge, 10 par 6, dont l’excentricité vaut exactement 0,8. La quatrième ligne est la même ellipse avec les deux axes doublés, et les trois valeurs y réagissent de trois façons différentes — l’aire quatre fois plus grande, le périmètre deux fois plus grand, l’excentricité inchangée —, ce qui est toute la raison pour laquelle l’excentricité se cite séparément de la taille. Les cinquième et sixième lignes aplatissent encore le même grand axe de 10, jusqu’à 4 puis jusqu’à 2, et montrent l’excentricité grimper vers sa limite pendant que le périmètre ne bouge presque pas. La dernière ligne est le cas dégénéré où l’ellipse s’est réduite à un segment : l’aire est nulle, l’excentricité a atteint sa limite de 1, et la colonne du périmètre affiche 19,992 là où la valeur exacte vaut 20 — la plus grande erreur que commette l’approximation dans tout le tableau. À noter que les deux dernières lignes ont un périmètre presque identique — 20,3196 et 19,992 — alors que l’une est une ellipse mince et l’autre un segment de droite, parce qu’une longueur de contour cesse de réagir au petit axe dès que la forme est assez mince. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (78.5398 plutôt que 78,5398), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte.

Formule

A = πab P ≈ π(a + b)·(1 + 3h ÷ (10 + √(4 − 3h))) e = √(1 − b² ÷ a²)

a
La moitié du grand axe — le demi-grand axe. Cette page demande le grand axe entier et le divise par deux, parce que c’est ce qu’un mètre ruban vous donne ; la formule est écrite en demi-axes parce que c’est toujours ainsi qu’on l’écrit
b
La moitié du petit axe. Quand b est égal à a, l’ellipse est un cercle, et la formule de l’aire se réduit au fameux πr², où r désigne l’un ou l’autre des demi-axes
πab
L’aire. Elle est exacte, contrairement au périmètre ci-dessous : multipliez les deux demi-axes, multipliez par π, et vous tenez la réponse avec autant de décimales que vous voulez bien en calculer
h
Une mesure de l’inégalité entre les deux demi-axes, calculée comme le carré de leur différence divisé par leur somme. Elle vaut 0 pour un cercle et tend vers 1 à mesure que l’ellipse s’aplatit vers une droite, et c’est la quantité sur laquelle repose l’approximation du périmètre
P
Le périmètre d’une ellipse, en centimètres. Il n’admet aucune forme close élémentaire, il s’agit donc de la seconde approximation de Ramanujan : exacte quand les deux axes sont égaux, et légèrement trop faible quand le petit axe tend vers zéro
e = √(1 − b² ÷ a²)
L’excentricité, un nombre pur compris entre 0 et 1 et dépourvu d’unité. Elle vaut 0 pour un cercle et monte vers 1 à mesure que l’ellipse s’aplatit ; c’est la mesure que citent les astronomes et les opticiens lorsque seule la forme importe, et non la taille
Quatre décimales
La largeur avec laquelle les valeurs sont affichées. L’aire est exacte en dessous, le périmètre est une approximation, et l’excentricité est un rapport : sur une ellipse presque circulaire, ses premiers chiffres portent donc l’essentiel de l’information

Tout ce qui est ovale et doit être mesuré constitue le cas le plus évident : une table ronde qui se révèle ne pas l’être, un miroir ou un tapis ou une vasque de forme ovale, une piste de course ou d’athlétisme dont les deux lignes droites et les deux virages se décrivent par leurs axes, une table de conférence ovale, une piscine aux extrémités arrondies, et un cadre ou un passe-partout découpé en ovale. Dans chacun de ces cas, l’aire est ce dont a besoin un calcul de quantité de matière ou de couverture, et la longueur du contour est ce qui sert à acheter une bordure, un galon, un cerclage ou une bande de finition. L’aménagement paysager et le bâtiment s’en servent pour les massifs ovales, les pavages courbes, les terrasses elliptiques et toute forme tracée à la corde entre deux piquets, qui est la manière habituelle de reporter une ellipse sur le terrain. La fabrication s’en sert pour les poignées de découpe elliptiques, les tubes ovales, les conduits aplatis et la section de tout ce qui est étiré ou estampé en ovale ; l’excentricité y compte parce que deux ovales de même aire peuvent avoir des formes sensiblement différentes et qu’un seul des deux entrera dans un raccord donné. En astronomie, l’excentricité est la valeur la plus importante qui soit : les orbites planétaires sont des ellipses dont le Soleil occupe un foyer, et l’excentricité dit à quel point chacune ressemble à un cercle, la Terre étant à 0,0167 et une comète bien au-delà. L’optique l’emploie pour les miroirs plans elliptiques qui replient un chemin lumineux dans un télescope, où les axes du miroir sont fixés par son angle d’inclinaison, et la médecine pour les sections de vaisseaux et de cavités ainsi que pour les champs elliptiques utilisés en radiothérapie. En statistique, elle donne la forme d’une ellipse de confiance, dont les axes proviennent de deux écarts types et dont l’aire indique une couverture. En classe, c’est la démonstration qu’un cercle est un cas particulier de quelque chose de plus général : plantez deux punaises, passez une boucle de ficelle autour, tracez avec un crayon, et la forme change à mesure que les punaises s’écartent tandis que le périmètre reste exactement la longueur de la boucle, ce qui est en soi un fait digne d’attention. Et dans l’arithmétique de tous les jours, elle répond à la question de savoir si un tapis ovale couvrira un sol, quelle quantité de tissu demande une nappe ovale et quelle longueur de bordure réclame un massif de fleurs ovale.

Exemples détaillés

  1. Une ellipse de 10 dans un sens et de 6 dans l’autre

    1. Divisez les deux par deux : le demi-grand axe vaut 5, le demi-petit axe vaut 3
    2. Aire : π × 5 × 3 = 47,1239 centimètres carrés
    3. Excentricité : √(1 − 3² ÷ 5²) = √0,64 = 0,8
    4. Périmètre : h = ((5 − 3) ÷ (5 + 3))² = 0,0625, d’où π × 8 × 1,0157… = 25,527 centimètres

    Le couple avec lequel la page se charge, choisi parce que l’excentricité tombe exactement sur 0,8 — un nombre qu’un lecteur peut vérifier à la main et une illustration nette de ce que la valeur signifie. Les étapes commencent par la division par deux, qui est l’étape que les deux champs dissimulent : multiplier 10 par 6 puis par π donnerait quatre fois l’aire, et c’est l’erreur la plus fréquente sur cette page.

  2. La même ellipse doublée : 20 par 12

    1. Divisez les deux par deux : 10 et 6
    2. Aire : π × 10 × 6 = 188,4956 — quatre fois l’exemple précédent
    3. Excentricité : √(1 − 36 ÷ 100) = 0,8, inchangée
    4. Périmètre : 51,054 — deux fois l’exemple précédent

    Chaque axe doublé, et les trois valeurs qui réagissent de trois façons différentes. L’aire est multipliée par quatre, le contour seulement par deux, et l’excentricité ne bouge pas du tout. Rien n’a changé dans la forme, et c’est exactement ce que dit l’excentricité : elle décrit une proportion et non une taille, ce qui explique qu’on s’en serve pour comparer des orbites.

  3. Un cercle déguisé : 10 par 10

    1. Divisez les deux par deux : les demi-axes valent 5 et 5
    2. Aire : π × 5 × 5 = 78,5398 centimètres carrés
    3. Excentricité : √(1 − 25 ÷ 25) = 0
    4. Périmètre : l’approximation devient π × 10 × 1 = 31,4159 centimètres

    Une ellipse dont les axes sont égaux est un cercle, et cette ligne se vérifie contre deux autres pages. Une ellipse de 10 par 10 est un cercle de rayon 5 : 78,5398 est l’aire qu’affiche la page de l’aire du cercle pour ce rayon, et 31,4159 est la circonférence que la page de la circonférence et celle de la conversion dans les deux sens affichent toutes deux. L’approximation du périmètre est d’ailleurs exacte ici, et non seulement proche, ce qui est l’une des deux raisons pour lesquelles elle a été retenue.

  4. Une ellipse très plate : 10 par 2

    1. Divisez les deux par deux : 5 et 1
    2. Aire : π × 5 × 1 = 15,708 centimètres carrés
    3. Excentricité : √(1 − 1 ÷ 25) = 0,9798
    4. Périmètre : 21,01 centimètres — environ un vingtième de plus que les 20 d’un aller-retour le long du grand axe

    Une excentricité de 0,9798 est proche de la limite, et cette ligne montre que l’excentricité n’est le pourcentage de rien. Un contour de 21,01 autour d’une forme dont la plus grande dimension vaut 10 montre le peu de distance qu’une ellipse très plate ajoute au segment vers lequel elle s’aplatit : cinq pour cent, et non la moitié.

  5. Complètement aplatie : 10 par 0

    1. Divisez les deux par deux : 5 et 0
    2. Aire : π × 5 × 0 = 0 — la forme s’est réduite à un segment et ne couvre plus rien
    3. Excentricité : √(1 − 0 ÷ 25) = 1, la limite
    4. Périmètre : 19,992 centimètres — et c’est ici que l’approximation montre son unique défaut

    L’extrême sur lequel la page ne triche pas. Un petit axe nul fait de l’ellipse un segment de longueur 10, si bien que le contour exact vaut 20 — deux fois le demi-grand axe, à l’aller et au retour. L’approximation affiche 19,992, soit un manque de 0,008. C’est tout le prix d’une formule employée à la place d’une intégrale elliptique, et c’est la plus grande erreur que l’approximation commette n’importe où sur cette page.

Limites

Cette page calcule une ellipse à partir de ses deux axes et rien d’autre : elle ne prend ni une aire ni un périmètre pour en retrouver les axes, elle ne donne pas les foyers ni la distance focale, elle ne donne ni la tangente ni la normale en un point, et elle ne trace rien. Les deux axes sont obligatoires, et le plus court doit être saisi dans le champ du petit axe ; si vous y mettez la plus grande des deux mesures, la page signale que la plus longue va dans le champ du grand axe au lieu de les échanger discrètement. Les deux ont le droit d’être égales, ce qui donne un cercle, et toutes deux ont le droit d’être nulles, ce qui donne un point. Aucune des deux ne peut être négative. Le périmètre est une approximation et non une valeur exacte — la seconde approximation de Ramanujan, exacte quand les deux axes sont égaux et légèrement trop faible à mesure que le petit axe approche de zéro, où un grand axe de 10 avec un petit axe de 0 donne 19,992 au lieu de 20. Pour une ellipse que vous pouvez réellement mesurer, l’erreur n’atteint jamais la quatrième décimale, et il n’existe aucun moyen d’obtenir un chiffre plus précis sur cette page, parce que le périmètre exact est une intégrale elliptique. L’excentricité n’a pas d’unité, parce qu’elle est le rapport de deux longueurs et qu’elle ressort identique quelle que soit l’unité de mesure ; tout affichage qui lui adjoindrait une unité serait faux. Les deux axes acceptent les centimètres, les mètres, les millimètres, les pouces ou les pieds, et les deux sorties en centimètres reviennent dans cette unité quoi qu’il ait été saisi, parce que la conversion se fait à l’entrée ; une aire mesurée en pouces se convertit par le carré du facteur de longueur, soit 6,4516 et non 2,54. Les quatre décimales sont une largeur d’affichage et non une prétention de précision, et il faut se souvenir que sur une ellipse presque circulaire l’excentricité est petite et que ses premiers chiffres portent presque toute l’information. Rien ici ne traite une ellipse inclinée, ni un ovale qui n’est pas une véritable ellipse — une forme d’œuf et une forme de stade ont l’une et l’autre l’air ovale et aucune des deux n’en est une.

Questions fréquentes

Les deux champs attendent-ils les axes entiers ou les demi-axes ?
Les axes entiers — ce qu’un mètre ruban vous donne d’un bout de l’ovale à l’autre. Les formules utilisent la moitié de chacun, si bien que la page fait la division pour vous ; écrire cette division dans les champs reviendrait à vous demander de diviser vos propres mesures par deux avant de les saisir. C’est la seule étape du calcul qui reste cachée, et c’est pourquoi chaque exemple commence par la nommer.
Pourquoi le périmètre n’est-il pas exact ?
Parce que la distance qui fait le tour d’une ellipse n’a aucune formule qu’on puisse écrire avec les opérations ordinaires : c’est une intégrale elliptique, et il n’y a pas de contournement. La page emploie la seconde approximation de Ramanujan, exacte quand les deux axes sont égaux et un peu trop faible à mesure que l’ellipse s’aplatit ; à l’extrême, un grand axe de 10 avec un petit axe de 0 donne 19,992 là où la réponse exacte est 20. Pour toute ellipse mesurable à la règle, l’écart n’atteint jamais la quatrième décimale affichée.
Que me dit exactement l’excentricité ?
De combien l’ellipse s’écarte d’un cercle, sous la forme d’un nombre unique compris entre 0 et 1. Zéro est un cercle parfait, et le nombre monte à mesure que la forme s’aplatit. Il n’a pas d’unité parce qu’il est le rapport de deux longueurs : c’est donc le même chiffre que vous ayez mesuré en centimètres ou en miles, et c’est la raison pour laquelle il sert à comparer la forme des orbites planétaires, dont les tailles sont extrêmement diverses et les formes beaucoup moins.
Pourquoi l’aire a-t-elle changé quand j’ai doublé les axes, alors que l’excentricité n’a pas bougé ?
Parce que l’excentricité décrit la forme et que l’aire décrit la taille, et que doubler les deux axes ne change que l’une des deux. Doublez les deux et l’aire est multipliée par quatre tandis que le contour ne fait que doubler, l’excentricité restant exactement où elle était. Une ellipse agrandie garde la même forme, et le nombre qui dit quelle forme c’est n’a aucune raison de se déplacer.
J’ai saisi la plus grande mesure dans le plus petit champ. Pourquoi une erreur plutôt qu’un échange ?
Parce qu’un échange mettrait à l’écran une valeur en désaccord avec l’étiquette du champ d’où elle vient, et vous n’auriez aucun moyen de vous en apercevoir. La page vous indique dans quel champ va la plus grande mesure et vous laisse la décision : il ne reste qu’une correction à faire, et la mesure reste la vôtre au lieu de devenir celle de la page.
Est-ce la même chose que la page de l’aire du cercle ?
Pour une ellipse dont les deux axes sont égaux, elle tombe exactement d’accord avec elle, et la première ligne du tableau est ce cas : une ellipse de 10 par 10 est un cercle de rayon 5, et les deux pages affichent 78,5398 pour l’aire et 31,4159 pour la distance qui en fait le tour. Pour toute autre ellipse, la page du cercle ne s’applique pas du tout, parce qu’un cercle n’a qu’une mesure et qu’une ellipse en a deux.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice de cercleRayon, diamètre, circonférence et aire depuis un seul.Calculatrice d’aire de cercleAire d’un cercle à partir du rayon ou du diamètre.Calculatrice de sphèreRayon, diamètre ou circonférence donnent volume et aire.Calculatrice de périmètrePérimètre des figures usuelles à partir de leurs côtés.