Lanceur de dés

façons(somme) = coefficient de x^somme dans (x + x² + … + x^faces)^nombre de dés → probabilité = façons(somme) / faces^nombre de dés

nombre de dés

Le nombre de dés lancés, jusqu’à 20. Un seul dé donne une loi plate où chaque face est également probable ; à partir de deux, les totaux du milieu s’accumulent, et c’est toute la raison d’afficher la probabilité d’un total

faces

Le nombre de faces de chaque dé, de 2 à 100. Le classique d6 est ici, mais aussi le dé à vingt faces et celui à cent faces

façons(somme)

Le nombre d’issues possibles qui donnent ce total. Le nombre de façons est l’unité honnête aux dés — un total de 7 a six façons sur 36 avec deux dés à six faces, et ce rapport est la probabilité elle-même

graine aléatoire

Le point de départ du lancer, un nombre entier quelconque de 0 à 4 294 967 295. La même graine avec le même jeu donne les mêmes faces, ce qui fait d’un lancer quelque chose que l’on peut rejouer et vérifier

somme

La somme des faces. Elle va de nombre de dés (tous des 1) à nombre de dés × faces (toutes les faces du haut), donc le nombre de totaux qu’un jeu peut produire est nombre de dés × faces − nombre de dés + 1

Utilisez-le quand le total compte et que les faces individuelles sont un détail : savoir si un jet de 3d6 a des chances de battre un seuil, vérifier les cotes d’une somme de 2d6 avant une partie, ou produire un tirage à graine pour rejouer une session à l’identique. Le tirage à graine est ce qui en fait autre chose qu’une curiosité : les programmes qui génèrent des niveaux, les groupes qui rejouent un scénario et les personnes qui testent une règle ont tous besoin d’un lancer reproductible, et une graine est ce qui transforme un lancer en un lancer que n’importe qui peut reproduire. Ce n’est pas un simulateur de dés équilibrés au sens d’un hasard physique : les nombres viennent d’une petite suite déterministe, donc tout usage où un joueur ne doit pas pouvoir prédire les faces sort du cadre.

1. Deux dés à six faces, graine 1 : 4 et 1, pour un total de 5

   1. Le jeu est composé de deux dés à six faces, donc il y a 6 × 6 = 36 paires de faces également probables
   2. La graine 1 fixe la paire à 4 et 1, et le total vaut 4 + 1 = 5
   3. Un total de 5 s’obtient par 1+4, 2+3, 3+2 et 4+1 — quatre façons sur 36
   4. 4 / 36 = 0,1111…, donc la probabilité est de 11,11 %

   Les 11,11 % sont toute l’utilité de placer le lancer à côté des cotes : un total de 5 paraît anodin, et c’est bien le troisième total le plus probable à égalité, mais il ne sort quand même qu’environ une fois sur neuf. Les totaux de 2 et de 12 sont les plus rares à 2,78 % chacun, parce qu’il n’existe qu’une seule façon de les obtenir, tandis que 7 en a six et vaut 16,67 %. Avec un seul dé, aucune de ces structures n’existe — chaque face vaut 1/faces —, et c’est pourquoi la taille du jeu est la première chose à regarder quand la probabilité vous surprend.

2. Trois dés à six faces, graine 5 : 5, 5 et 2, pour un total de 12

   1. Trois dés à six faces donnent 6 × 6 × 6 = 216 issues également probables
   2. La graine 5 donne les faces 5, 5 et 2, dont la somme vaut 12
   3. Le jeu peut produire 3 × 6 − 3 + 1 = 16 totaux différents, de 3 à 18
   4. Un total de 12 a 25 façons sur 216, donc la probabilité est de 11,57 %

   Trois dés rendent le milieu de la plage bien plus dense que deux : 10 et 11 sont les totaux les plus probables à 12,5 % chacun, et 12 est un troisième très proche à 11,57 %. Le même total de 12 est une tout autre affaire avec deux dés, où il est le résultat le plus rare de tous à 2,78 % — une probabilité annoncée pour un total n’a donc aucun sens si le jeu de dés n’est pas annoncé avec elle. Les 16 totaux possibles montrent aussi pourquoi ce nombre n’est pas simplement le nombre de faces : avec trois dés les totaux vont de 3 à 18 et ils sont 16, ni 18 ni 6.

3. Un seul dé à vingt faces, graine 7

   1. Un dé seul ne peut pas combiner de faces, donc chaque face est également probable
   2. La graine 7 donne la face 1
   3. Une face sur 20 vaut 1 / 20 = 5 %

   C’est le cas où la loi est plate : rien ne s’accumule au milieu puisqu’il n’y a qu’un dé, donc un 1 et un 20 sont exactement aussi probables que n’importe quoi d’autre. C’est la façon la plus claire de voir ce que font les dés supplémentaires — avec 2d6 les totaux extrêmes sont rares, avec 1d20 rien n’est rare, et le mécanisme tient entièrement au nombre de façons d’obtenir chaque total. Le générateur de nombres aléatoires voisin dit la même chose par l’autre bout : un tirage uniforme unique n’est pas la même chose qu’une somme de tirages.

4. La graine à sa borne supérieure

   1. La graine peut monter jusqu’à 4 294 967 295, soit 2³² − 1 — la plus grande valeur que l’état du générateur puisse contenir
   2. Les deux mêmes dés que dans le premier exemple, mais une autre graine, donc une autre main
   3. 6 et 2 font 8, et un total de 8 a cinq façons sur 36
   4. 5 / 36 = 13,89 %

   Une graine de 4 294 967 295 mérite d’être essayée parce que c’est la seule valeur de graine où une implémentation négligée de l’état du générateur casse d’une manière difficile à voir : l’état est conservé comme un entier non signé de 32 bits, et c’est exactement à la plus grande valeur qu’un décalage d’une unité cesse d’être invisible. Le résultat visible ici est une main ordinaire de 6 et 2 — le panneau n’est pas censé paraître différent —, et c’est précisément pourquoi cette borne est un test et non une fonctionnalité offerte à l’utilisateur.

Les faces ne sont pas imprévisibles. Elles viennent d’une petite suite à graine du genre que tout logiciel courant utilise : quiconque connaît la graine peut reproduire la main, et quiconque voit quelques mains peut retrouver la graine. Cela l’exclut de tout usage où un joueur ne doit pas pouvoir prédire ou reconstituer le lancer — un tirage avec de l’argent en jeu, une clé, un jeton, un code à usage unique —, et pour ces cas une source aléatoire cryptographique est la seule réponse correcte. Les tirages à graine servent à rejouer, à générer et à tester, là où le fait d’être reproductible est justement l’intérêt. Deux autres limites méritent d’être dites sans détour. Le tableau de référence sous la calculatrice décrit deux dés à six faces et ne suit pas les dés que vous saisissez : le tableau est une référence fixe, et c’est la probabilité du panneau de résultats qui correspond à votre jeu. Et la probabilité d’un total suppose des dés équilibrés — un dé physique biaisé ne donnera pas ces nombres, quel que soit le jeu. Les montants éventuels se lisent sans devise, dans la monnaie que vous saisissez.

Pourquoi le tableau sous la calculatrice ne correspond-il pas aux dés que j’ai saisis ?

Parce que le tableau de référence est fixé à deux dés à six faces. Il est calculé à partir d’une constante et non des entrées, il reste donc en place pendant que vous changez le jeu : la probabilité affichée sur le panneau de résultats est celle qui suit vos dés, et c’est elle qu’il faut lire quand les deux diffèrent. Le tableau est là parce que 2d6 est la loi que l’on veut réellement dire quand on pose une question sur les cotes aux dés : 7 au milieu, 2 et 12 aux extrémités. S’il vous faut les cotes d’un autre jeu, le panneau donne la probabilité du total que vous avez obtenu, et vous pouvez relancer la même graine pour vérifier n’importe quel autre total.

À quoi sert la graine, et pourquoi la même main revient-elle à chaque fois ?

La graine est l’état depuis lequel le lancer démarre, donc la même graine avec le même jeu donne toujours les mêmes faces. C’est la fonctionnalité et non un raccourci : un tirage à graine est ce qui permet de rejouer une session à l’identique, de garder un niveau généré identique d’une exécution à l’autre et de tester une règle contre une main fixe. Changez la graine et vous obtenez une autre main à partir du même jeu. Si vous voulez que chaque lancer diffère, changez la graine entre deux lancers — rien dans le panneau ne l’avance à votre place.

Ces lancers conviennent-ils à un jeu où personne ne doit pouvoir prédire le résultat ?

Non, et la distinction compte. Les faces viennent d’une petite suite déterministe : à partir de la graine, toute la main peut être reproduite, et à partir de quelques mains la graine peut être retrouvée. Tout usage où un participant ne doit pas pouvoir prédire ou reconstituer le lancer exige une source aléatoire cryptographique. Rejouer une partie, générer un niveau, tester une règle et échantillonner de façon reproductible conviennent tous — ce sont exactement les cas où pouvoir reproduire le lancer est la raison d’utiliser cette page.

Pourquoi un total de 7 est-il le plus probable avec deux dés, mais pas avec trois ?

Parce que ce qui s’accumule au milieu est le nombre de façons d’obtenir un total, et que ce nombre dépend du jeu. Avec deux dés à six faces il y a 36 paires et 7 en occupe six (de 1+6 à 6+1), plus que tout autre total. Avec trois dés, les totaux les plus probables sont 10 et 11 à 12,5 % chacun, et 7 descend loin dans la liste. Un même total signifie donc des choses différentes selon le jeu, et c’est pourquoi le panneau annonce toujours le total avec la probabilité correspondant au jeu que vous avez réellement réglé.

Combien de totaux un jeu peut-il produire ?

Du plus petit total possible, qui est tous des 1, au plus grand, qui est toutes les faces du haut : avec un nombre de dés et un nombre de faces par dé, cela fait nombre de dés × faces − nombre de dés + 1 totaux différents. Pour 2d6 cela fait 11 totaux allant de 2 à 12 ; pour 3d6, 16 allant de 3 à 18 ; pour 20d100, 1 981. Ce nombre n’est pas le nombre de faces, et les extrémités de la plage sont toujours les totaux les plus rares, parce que chacune ne peut s’obtenir que d’une seule façon.

La probabilité du panneau porte-t-elle sur le total ou sur les faces exactes ?

Sur le total. Deux dés montrant 4 et 1 et deux dés montrant 1 et 4 donnent le même total de 5, et la probabilité annoncée est celle de ce total, en comptant toutes les combinaisons qui y mènent — quatre façons sur 36 pour un 5. La main ordonnée exacte est une probabilité différente et bien plus petite (1/36 pour une paire précise), et ce n’est pas ce que le panneau annonce, parce que le total est le nombre qui décide si un lancer dépasse un seuil.

• Dice — from Wolfram MathWorld (the generating-function form of the sum of dice, and the coefficient that counts the ways each total can be made) — Wolfram MathWorld
• Uniform Sum Distribution — from Wolfram MathWorld (the distribution of a sum of uniform draws, which is what the total of several dice is) — Wolfram MathWorld
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the frequency distribution of a variable, and how a probability is read off the outcomes it counts) — National Institute of Standards and Technology (NIST)