Pile ou face

face = nombre de H dans la séquence · pile = lancers − face · plus longue série = plus long bloc de résultats identiques · probabilité de ce partage exact = C(n, face) / 2ⁿ

lancers

Le nombre de fois que la pièce est lancée. La séquence contient un H ou un T par lancer, et tous les autres résultats sont comptés sur exactement ce nombre de lancers

graine aléatoire

La séquence à tirer du générateur. La même graine produit toujours les mêmes faces et les mêmes piles, donc un tirage peut être rejoué à l’identique ; elle ne rend aucune des deux issues plus probable pour autant

H

Face, l’un des deux côtés également probables. La séquence affiche H et T plutôt que des mots, parce que ces lettres sont la notation utilisée dans le reste de la page et qu’elles restent les mêmes dans toutes les langues

T

Pile, l’autre côté. Une pièce équilibrée n’a pas de mémoire : une série d’un même côté est une coïncidence de la séquence, pas un penchant de la pièce

probabilité de ce partage exact

La probabilité qu’une pièce équilibrée donne exactement ce nombre de faces sur ce nombre de lancers — la probabilité de ce partage précis, qui est une question différente de la proportion réellement obtenue

Utilisez-la quand vous voulez voir une suite de lancers de pièce sans pièce, ou quand une séquence de faces et de piles doit être comptée plutôt que lue à l’œil. La plus longue série est la partie qui ne se lit pas à l’œil dans la séquence, et c’est aussi celle qui est le plus souvent mal jugée : une série de sept sur deux cents lancers est banale, et non une preuve que la pièce est biaisée. La probabilité du partage répond à la question voisine — non pas quelle proportion est tombée sur face cette fois, mais avec quelle probabilité une pièce équilibrée produisait un tel partage. La page ne teste pas si une pièce est équilibrée ; elle suppose qu’elle l’est et montre à quoi ressemble l’équilibre.

1. Dix lancers : sept faces, trois piles, plus longue série de trois

   1. Tirez dix résultats du générateur : H, T, H, H, H, T, H, H, T, H
   2. Comptez les H : il y en a 7, donc les piles valent 10 − 7 = 3
   3. La proportion est de 7 / 10 = 70 %
   4. Parcourez la séquence une fois pour trouver le plus long bloc d’un même côté : HHH aux positions 3 à 5, puis H H en 7 et 8 — le plus long est 3
   5. La probabilité d’obtenir exactement 7 faces sur 10 lancers équilibrés est C(10,7) / 2¹⁰ = 120 / 1 024 = 11,72 %

   Lisez les deux derniers nombres côte à côte, car c’est la paire sur laquelle cette page est le plus souvent mal lue. 70 % est ce qui est arrivé cette fois ; 11,72 % est la fréquence à laquelle une pièce équilibrée produit un partage 7–3. Ni l’un ni l’autre ne contredit l’autre, et 70 % n’est pas une reformulation de 11,72 % : le premier décrit ce tirage, le second décrit toute la famille des tirages de dix lancers qui contiennent sept faces.

2. Les mêmes dix lancers avec une autre graine : cinq et cinq

   1. La graine 7 tire une séquence différente : T, T, H, H, H, T, T, T, H, H
   2. Cinq faces et cinq piles, donc la proportion est de 50 %
   3. Le plus long bloc est de nouveau 3 — TTT aux positions 6 à 8, et HHH en 3 à 5
   4. Un partage 5–5 a une probabilité C(10,5) / 2¹⁰ = 252 / 1 024 = 24,61 %

   Les deux tirages tombent sur un plus long bloc de 3, et c’est le résultat ordinaire à dix lancers, pas une coïncidence à interpréter. Ce qui a bougé, c’est la probabilité du partage : 5–5 est plus de deux fois plus probable que 7–3, parce qu’il y a bien plus de façons de répartir cinq faces sur dix positions que sept. C’est aussi pourquoi la graine est un champ et non un détail caché : recharger la même page ne doit pas donner silencieusement une autre réponse, et un tirage qui mérite discussion doit pouvoir être rejoué.

3. Un seul lancer, la borne inférieure

   1. Tirez un seul résultat : H
   2. Une face, aucune pile, donc la proportion est de 1 / 1 = 100 %
   3. Le plus long bloc de résultats identiques est ce lancer unique, donc 1
   4. La probabilité d’obtenir une face sur un lancer équilibré est C(1,1) / 2¹ = 1/2, soit 50 %

   Un lancer est la plus petite entrée que la page accepte, et il montre pourquoi la proportion et la probabilité doivent être deux lignes distinctes. Un lancer isolé tombe d’un côté, donc la proportion vaut 100 % — un nombre qui ne dit rien de la pièce. La probabilité du partage vaut 50 %, et c’est elle qui parle de la pièce. Sur un lancer, les deux lignes semblent presque se contredire ; sur deux cents, elles se rapprochent, et l’écart entre elles aux petits effectifs est tout le sujet de l’échantillonnage.

4. Deux cents lancers et une série de neuf

   1. Tirez deux cents résultats du générateur — la ligne de séquence les contient tous
   2. Comptez les faces : 95, donc les piles valent 200 − 95 = 105
   3. La proportion est de 95 / 200 = 47,5 %, soit 2,5 points d’écart avec l’équilibre
   4. Le plus long bloc d’un même côté est de 9 — neuf résultats identiques d’affilée
   5. La probabilité d’obtenir exactement 95 faces sur 200 lancers équilibrés est d’environ 4,39 %

   La série de neuf est le nombre sur lequel il faut s’arrêter. On lit volontiers une série de neuf comme la preuve que quelque chose ne va pas avec la pièce, alors que sur deux cents lancers équilibrés elle est banale : le plus long bloc grandit avec la longueur de la séquence, lentement mais sans plafond. Notez aussi dans quel sens tirent les deux lignes : la proportion est à un confortable 47,5 %, assez proche de l’équilibre pour sembler juste, tandis que la probabilité du partage n’est que de 4,39 %, parce que tomber exactement sur 95 est une issue précise parmi beaucoup d’autres qui se ressemblent toutes.

Les lancers ne sont pas physiques. Chacun est tiré d’un générateur aléatoire à graine : ce que la page montre est donc une séquence qui se comporte comme une pièce équilibrée, et non l’enregistrement d’une vraie pièce — la même graine tire la même séquence à chaque fois, ce qui est l’intérêt du champ et aussi sa limite. Trois autres limites méritent d’être dites. D’abord, la page ne teste jamais si une pièce est équilibrée ; elle suppose une probabilité d’un demi à chaque lancer et rapporte ce qui en découle, si bien qu’une pièce réellement biaisée produirait une séquence que la page décrirait quand même comme équilibrée. Ensuite, 200 lancers est le plafond, hérité de la limite de tirage du noyau aléatoire partagé plutôt que choisi pour cette page, et à 200 la ligne de séquence est assez longue pour occuper plusieurs lignes. Enfin, la page affiche un résultat mais ne le juge pas : une plus longue série de neuf, ou une part de 70 % de faces, est imprimée sans aucun commentaire sur son caractère surprenant ou non, et c’est en lisant la probabilité du partage à côté qu’il faut porter ce jugement.

Pourquoi la même graine donne-t-elle toujours la même séquence ?

Parce que les lancers viennent d’un générateur aléatoire à graine et non d’une vraie pièce, et que la graine décide quelle séquence est tirée dans le flux de ce générateur. Saisissez la graine 1 deux fois et vous obtenez les mêmes dix faces et piles ; passez à 7 et vous obtenez un autre tirage de même longueur. C’est délibéré : une page qui retirerait sa réponse à chaque visite ne pourrait pas être vérifiée, un résultat ne pourrait pas être cité, et les tests automatiques derrière cette page n’auraient rien à comparer. La graine est aussi la seule entrée qui ne soit pas une grandeur : elle sélectionne une séquence, elle ne pondère aucun des deux côtés, donc aucune graine ne rend face plus probable.

Quelle est la différence entre la part de faces et la probabilité du partage ?

La part décrit le tirage que vous avez sous les yeux ; la probabilité du partage décrit tous les tirages de cette longueur qui tombent sur ce partage. Dix lancers qui donnent sept faces affichent une part de 70 %, et la probabilité qu’une pièce équilibrée produise exactement sept faces sur dix lancers est de 11,72 %. Ce ne sont pas deux façons de dire la même chose, et elles peuvent aller en sens inverse : à 200 lancers, la part peut se situer confortablement près de 50 % alors que la probabilité du partage est sous les 5 %, parce que tomber sur un effectif exact est une cible étroite même quand le voisinage est dense. Lisez la part comme le résultat et la probabilité du partage comme le budget de surprise.

Une série de neuf faces d’affilée est-elle le signe que la pièce n’est pas équilibrée ?

Non, et sur 200 lancers ce n’est même pas inhabituel. Le plus long bloc de résultats identiques grandit avec la longueur de la séquence — lentement, mais sans aucun plafond —, si bien qu’une longue série est ce qu’une pièce équilibrée finit par produire. Ce qu’une pièce équilibrée ne fait pas, c’est se souvenir : après huit faces, le neuvième lancer vaut encore une chance sur deux, et c’est exactement pourquoi des séries de cette longueur apparaissent dans des séquences aussi longues. Lire une série comme une preuve de biais revient à prendre la seule partie de la séquence qui grandit avec sa longueur pour une constante ; la ligne de la plus longue série est justement imprimée pour que cette intuition soit vérifiée au lieu d’être crue.

Pourquoi ne puis-je pas lancer plus de 200 fois ?

Parce que 200 est la limite de tirage du noyau aléatoire partagé que cette page, le lanceur de dés et le générateur de nombres aléatoires utilisent tous les trois — elle est héritée et non choisie ici, et la garder garantit qu’une graine signifie la même chose sur les trois pages. La conséquence se voit : à 200 lancers, la ligne de séquence est assez longue pour occuper plusieurs lignes, ce qui résulte directement du plafond et non d’un défaut d’affichage. S’il vous faut une séquence plus longue, la réponse honnête est que la page n’est pas le bon outil : il vous faut un programme, pas une séquence imprimée que vous devriez compter à l’œil.

Pourquoi n’y a-t-il pas de tableau de résultats sous la calculatrice ?

Parce que le tableau qui vaudrait la peine ici est votre propre séquence, et que le code qui construit les tableaux de référence ne voit pas ce que vous avez saisi : il s’exécute au moment de la construction à partir de la seule structure de la calculatrice, sans accès aux entrées. Un tableau de cotes et de probabilités génériques se tiendrait sous le panneau en donnant l’impression de répondre à votre question alors qu’il en traite une autre. La page imprime donc la séquence elle-même, dans la dernière ligne du panneau, et laisse les tableaux aux pages dont le sujet est réellement un ensemble fixe de nombres plutôt qu’un tirage unique.

Que veulent dire les lettres H et T, et pourquoi pas des mots ?

H est face et T est pile, imprimés un par lancer dans l’ordre du tirage. Elles restent des lettres dans toutes les langues parce que la séquence est une notation et non du texte : le même tirage doit rester lisible comme la même chaîne quelle que soit la langue de la page, et une séquence traduite serait en plus impossible à comparer aux nombres qui l’accompagnent. Cette ligne existe pour que l’effectif, la part et surtout la plus longue série puissent être vérifiés à la main : la plus longue série, en particulier, ne se lit dans une séquence par aucun autre moyen.

• Coin Tossing — from Wolfram MathWorld (the idealised coin: two sides with equal probability, written H and T) — Wolfram MathWorld
• Run — from Wolfram MathWorld (a run as a sequence of consecutive identical outcomes, and the probability that a run of a given length appears in a given number of tosses) — Wolfram MathWorld
• 3.1 Terminology — Introductory Statistics 2e (the law of large numbers: the relative frequency of heads on a fair coin approaches one half as the number of tosses grows) — OpenStax (Rice University)