Calculatrice de valeur absolue

|x| = x (x ≥ 0) |x| = −x (x < 0) opposé = −x

x

Le nombre que vous saisissez. Tout nombre réel admis par la plage de la page est accepté : positif, négatif, nul, entier ou décimal. Rien n’est restreint à l’entrée, car la valeur absolue est définie pour tout réel — c’est la seule opération de ce site qui n’a aucun domaine à énoncer.

|x|

La valeur absolue, la lecture principale : la distance à zéro du nombre sur la droite numérique, qui n’est jamais négative. Elle s’énonce en deux règles plutôt qu’en une seule, parce que la règle bascule en zéro — pour un nombre positif ou nul on ne retire rien, et pour un nombre négatif on prend son opposé, ce qui rend le résultat positif.

−x

L’opposé, le nombre situé de l’autre côté du zéro à la même distance. Ce n’est pas la même instruction que la valeur absolue : l’opposé de 7 est −7, tandis que la valeur absolue de 7 est 7, et les deux ne coïncident que lorsque l’entrée est nulle ou négative. Lire le signe dans la seconde colonne n’est pas un défaut de la calculatrice ; c’est la définition de l’opération appliquée à un nombre négatif.

1. La valeur absolue d’un nombre positif

   1. 7 n’est pas négatif, c’est donc la première règle qui s’applique : |7| = 7
   2. La valeur absolue est 7, inchangée
   3. L’opposé est −7, la même distance de l’autre côté du zéro
   4. Les deux lectures diffèrent, ce qui est le cas habituel pour une entrée positive

   Le cas par lequel la page s’ouvre, et la façon la plus claire de voir que les deux colonnes répondent à des questions différentes. Retirer un signe et retourner un signe se ressemblent sur le papier, mais sur un nombre positif ils donnent des résultats différents, et aucun lecteur ayant vu cette ligne ne les confondra à nouveau.

2. La valeur absolue d’un nombre négatif

   1. −9 est négatif, c’est donc la seconde règle qui s’applique : |−9| = −(−9)
   2. Soit 9, la distance du zéro à −9
   3. L’opposé de −9 est lui aussi 9
   4. Les deux colonnes affichent 9 — le même nombre deux fois, et ce n’est pas une erreur

   La ligne qui est le plus souvent signalée comme un défaut. Quand l’entrée est négative, les deux opérations coïncident, parce que retirer le signe et retourner le signe mènent au même endroit : −x est exactement ce qu’est la valeur absolue pour un x négatif. Que les colonnes s’accordent est une information et non un calcul dupliqué : cela dit que l’entrée était négative.

3. La valeur absolue d’un nombre compris entre 1 et −1

   1. 0,125 est positif, la valeur absolue est donc 0,125
   2. L’opposé est −0,125
   3. Les deux nombres sont inférieurs à 1, ce qui ne change rien à aucune des deux règles
   4. La valeur absolue reste la distance à zéro

   Les nombres décimaux se comportent ici exactement comme les entiers — les règles portent sur le signe et sur rien d’autre, la taille n’y entre pas. Un nombre compris entre 0 et 1 a une petite valeur absolue et un opposé tout aussi petit, et le couple reste symétrique autour du zéro sur la droite numérique.

La page prend un nombre et renvoie sa valeur absolue et son opposé. Elle ne calcule pas la distance entre deux points, même si cette distance s’écrit elle aussi avec des barres de valeur absolue : la longueur de l’écart entre a et b vaut |a − b|, ce qui demande deux nombres au départ, et la calculatrice de distance vers laquelle renvoie cette page prend les deux coordonnées. Lorsque l’entrée est négative, les deux colonnes affichent le même nombre, et cela découle de la définition et non d’un artefact d’arrondi : pour un x négatif, la valeur absolue et l’opposé sont une seule et même expression, −x. Zéro est le seul nombre égal à son propre opposé, et sa valeur absolue est nulle elle aussi. Les entrées sont limitées à quinze chiffres de magnitude, au-delà desquels la page devrait basculer en notation scientifique plutôt que d’afficher le nombre en clair. Le résultat est arrondi à six décimales pour l’affichage, tandis que le calcul sous-jacent tourne en pleine précision. Il n’y a pas de badge de classement sur cette page, parce que le fait que l’entrée soit positive, négative ou nulle se lit déjà dans les deux nombres eux-mêmes.

Qu’est-ce que la valeur absolue d’un nombre ?

C’est la distance entre ce nombre et zéro sur la droite numérique, et c’est pourquoi elle n’est jamais négative. La valeur absolue de −9 est 9 et celle de 9 est 9 également : les deux nombres se situent à neuf unités de zéro, simplement de part et d’autre. Les deux barres qui encadrent le nombre sont la notation de cette distance, et non une parenthèse ni un crochet.

Pourquoi la calculatrice affiche-t-elle le même nombre deux fois pour une entrée négative ?

Parce que pour un nombre négatif la valeur absolue et l’opposé sont une même expression. La définition dit |x| = −x lorsque x est négatif, et l’opposé vaut −x par définition, si bien que les deux colonnes doivent s’accorder. −9 a pour opposé 9 et pour valeur absolue 9. Loin d’être un calcul dupliqué, cet accord vous apprend quelque chose : il vous dit que l’entrée était négative ou nulle.

Quelle différence y a-t-il entre la valeur absolue et l’opposé d’un nombre ?

La valeur absolue retire le signe, l’opposé le retourne. Sur un nombre positif ce sont deux instructions distinctes — la valeur absolue de 7 est 7 et son opposé est −7. Sur un nombre négatif elles mènent au même point, et sur zéro elles donnent toutes deux zéro. La page montre les deux colonnes pour que la distinction soit visible plutôt que d’avoir à être crue sur parole.

La valeur absolue peut-elle être négative ?

Non. C’est une distance, et les distances ne sont pas négatives. Cela vaut pour tout nombre réel, y compris les plus grands nombres négatifs : la valeur absolue de −1 000 000 est 1 000 000. Si un calcul produit une valeur absolue négative, c’est qu’une étape a mal appliqué la définition — le plus souvent en prenant l’opposé d’un nombre déjà positif.

La valeur absolue de zéro porte-t-elle un signe ?

Elle vaut zéro, et zéro est le seul nombre qui soit son propre opposé. En arithmétique flottante, prendre l’opposé de zéro peut produire un zéro négatif, qui s’affiche comme 0 mais se compare comme différent de 0 lors d’un test d’identité strict. La page normalise les deux colonnes pour qu’une entrée nulle donne un zéro franc dans chacune, sans signe moins caché dans la valeur.

Cette page trouve-t-elle la distance entre deux points ?

Non. Elle prend un nombre, et la distance entre deux points en demande deux — l’écart entre a et b vaut |a − b|. Le tableau de référence ci-dessous montre ce calcul mené sur la droite numérique, et la calculatrice de distance liée en bas de page le traite dans le plan, où la réponse fait intervenir la racine carrée de la somme de deux carrés plutôt qu’une simple soustraction.

• Absolute Value — the two-case definition, the number-line reading as distance from zero, and the notation — Wolfram MathWorld (United States)
• Additive Inverse — the opposite of a number, the operation behind the page's second column — Wolfram MathWorld (United States)
• Real Line — the axis whose every point is a real number: the picture the absolute value is a distance on, and where the opposite sits — Wolfram MathWorld (United States)