Calculadora de dilatación térmica

ΔL = α · L · ΔT y, para un sólido isótropo, ΔV / V = 3 · α · ΔT

α

El coeficiente de dilatación térmica lineal, en partes por millón y por grado: una constante del material que se mide observando cuánto crece una barra sometida a una variación de temperatura conocida. Es un número pequeño dicho en voz alta: el 23,1×10⁻⁶ del aluminio significa que un metro de aluminio gana 23,1 micrómetros por kelvin, y por eso nada de la vida diaria parece estar dilatándose. Los coeficientes abarcan más de un factor treinta entre materiales corrientes, desde unos 1,5×10⁻⁶ del Invar —una aleación diseñada precisamente para ser inmune a este efecto, y usada en las varillas de péndulo y los instrumentos de precisión que lo necesitaban— hasta 55×10⁻⁶ y más del PVC y otros plásticos. Elegir la fila correcta es por tanto casi todo el trabajo; la aritmética que viene después es una multiplicación

L

La longitud a la temperatura inicial, en milímetros, en la unidad que elijas. Es la longitud original, no la final y no la media: una distinción que solo se nota cuando intentas ir al revés, de una longitud final medida a un coeficiente, que es justo donde un número sorprendente de cálculos a mano se equivoca en silencio. La unidad base es el milímetro porque es la que mantiene legible la respuesta: un metro de aluminio calentado 40 K crece 0,924 mm, e imprimir eso como 0,000924 m no ayuda a nadie. El cero es una entrada legal —una barra sin longitud no se dilata— pero un valor negativo no lo es, y por eso el límite inferior del campo está cerrado en cero y la comprobación posterior rechaza cualquier cosa por debajo

ΔT

La variación de temperatura en kelvin (o en grados Celsius: las dos escalas tienen el mismo tamaño, y aquí se trata de una variación y no de una temperatura, así que cualquiera de las dos es correcta). Los valores negativos son normales y significan enfriamiento: el acero que se enfría 40 K se contrae y la dilatación sale negativa, que es exactamente lo que la aritmética debe decir. Los límites de ±500 K cubren desde el nitrógeno líquido hasta un horno y dejan el campo completamente abierto para quien trabaja en decenas de grados, que es donde vive casi todo caso real

ΔL

La variación de longitud, en milímetros, impresa junto a la longitud nueva para que se vean a la vez la cantidad y el resultado de sumarla. El número es pequeño en términos absolutos y ahí está precisamente la trampa: 0,9 mm suena a nada hasta que la barra no tiene adónde ir. Una barra contenida no puede simplemente no dilatarse: la dilatación se convierte en tensión, y como el módulo elástico es grande, la fuerza no es pequeña en absoluto. Esa es la razón de que los carriles se coloquen con holguras entre ellos, y de que un puente largo lleve una junta de dilatación en un extremo en lugar de un tablero continuo. Esta página da la dilatación libre; la tensión que aparece cuando se impide es un segundo cálculo, y es donde está el daño de verdad

3 · α · ΔT

La parte volumétrica, mostrada como deformación en porcentaje y no como volumen, porque es lo que la misma medición te regala: cada una de las tres dimensiones crece α · ΔT, así que el volumen de un cubo macizo crece aproximadamente 3 · α · ΔT. El factor tres trae dos advertencias. Vale para materiales isótropos —metales, vidrios y plásticos tratados como uniformes— pero no para la madera, que se dilata de forma distinta a lo largo de la fibra que a través de ella, ni para los materiales compuestos laminados, ni para los monocristales. Y es una aproximación de pequeña deformación: el factor exacto es (1 + α·ΔT)³ − 1, que coincide con 3αΔT hasta muchos decimales en estas magnitudes y no coincidiría con una variación de temperatura lo bastante grande como para importar

Úsala antes de fijar los dos extremos de algo a un bastidor rígido: tender un carril, colgar un tramo de tubería entre anclajes, acristalar un vidrio que entra justo, atornillar una pieza de aluminio a otra de acero o elegir la holgura de la junta de dilatación de un tablero de puente. También para la versión doméstica de la misma pregunta —una tapa metálica que se suelta tras un aclarado caliente, o un tarro que no se abre hasta que se templa—, donde el mecanismo es que la tapa se dilata antes porque su coeficiente es mayor o su masa menor. Responde únicamente a la pregunta de la dilatación libre y sin restringir. Si la pieza está contenida por los dos extremos, esta página te dice la longitud que quiere alcanzar, y el número mucho más útil —la tensión que se acumula en su lugar— sale del módulo elástico del material, no de aquí.

1. Primera pantalla: un metro de aluminio, 40 K más caliente

   1. ΔL = α · L · ΔT = 23,1×10⁻⁶ · 1000 mm · 40 K
   2. 23,1×10⁻⁶ · 1000 = 0,0231 mm por kelvin
   3. 0,0231 · 40 = 0,924 mm
   4. Longitud nueva: 1000 + 0,924 = 1000,924 mm
   5. Deformación volumétrica: 3 · 23,1×10⁻⁶ · 40 = 0,2772 %

   Poco menos de un milímetro por metro, para una variación de temperatura que puede producir una tarde de sol: de ahí que exista la página y de ahí que el resultado se imprima con tres decimales. La fila de la deformación es el mismo resultado visto desde el otro lado: un 0,28 % de volumen es poco, pero no es cero, y una pieza coaccionada en las tres direcciones no puede absorberlo. Fíjate además en que el panel te devuelve el coeficiente: esa fila es el material que has seleccionado, y está ahí para que compruebes el desplegable antes de fiarte del resto. Y el 40 K del enunciado es una variación de temperatura, no una temperatura: no hay ningún 273,15 que sumar en ningún paso, y el cálculo sería idéntico escrito en grados Celsius, porque en una diferencia las dos escalas avanzan al mismo paso.

2. El caso clásico: un carril de acero de 25 m, 60 K de sol

   1. ΔL = 12×10⁻⁶ · 25000 mm · 60 K
   2. 12×10⁻⁶ · 25000 = 0,3 mm por kelvin
   3. 0,3 · 60 = 18 mm
   4. Longitud nueva: 25000 + 18 = 25018 mm

   Dieciocho milímetros en un solo tramo de carril, de una noche de invierno a una tarde de verano. Este es el número que decide la anchura que debe tener la holgura de un carril, y es la razón de que las vías se tiendan con las holguras que tienen en lugar de como una cinta soldada continua, y de que la vía soldada moderna se tense y se ancle bajo una tensión controlada en vez de simplemente colocarse: así los mismos 18 mm se convierten en una tensión manejable repartida por todo el carril en lugar de 18 mm de pandeo en una junta. La decisión no es si el acero se dilata; se dilata siempre.

3. Enfriamiento y respuesta negativa: acero inoxidable, 40 K más frío

   1. ΔL = 17,3×10⁻⁶ · 500 mm · (−40 K)
   2. 17,3×10⁻⁶ · 500 = 0,00865 mm por kelvin
   3. 0,00865 · (−40) = −0,346 mm
   4. Longitud nueva: 500 − 0,346 = 499,654 mm

   No cambia nada salvo el signo de la variación de temperatura, y la calculadora informa de la contracción como una dilatación negativa y una longitud final más corta. Esa es la convención honesta y es la que conviene mantener cuando las piezas se montan: un casquillo de acero inoxidable encogido en nitrógeno líquido entra en un eje en el que a temperatura ambiente no entraría, y su longitud nueva es la de 499,654 mm de arriba y no los 500 mm a los que se mecanizó. Se imprimen las dos filas porque las dos importan: la cantidad de contracción para el ajuste, la longitud final para el plano de montaje.

4. El extremo de la tabla: fundición, 100 m, +500 K

   1. ΔL = 10,8×10⁻⁶ · 100000 mm · 500 K
   2. 10,8×10⁻⁶ · 100000 = 1,08 mm por kelvin
   3. 1,08 · 500 = 540 mm
   4. Longitud nueva: 100000 + 540 = 100540 mm
   5. Deformación volumétrica: 3 · 10,8×10⁻⁶ · 500 = 1,62 %

   Medio metro sobre cien metros, para un salto de la temperatura ambiente a la de un horno. El bajo coeficiente de la fundición es la razón de que fuera el material de los bloques de motor y de los bancos de máquina —es el que menos se mueve de los metales comunes—, y el ejemplo está aquí para mostrar la escala a la que el efecto deja de poder ignorarse: 540 mm no es una tolerancia, es una característica de diseño. También enseña por qué los límites del campo son tan anchos: la página tiene que sobrevivir a un lector que realmente tiene un tramo de tubería de 100 m que va de frío a caliente, y prefiere responderle a rechazarle.

La fila volumétrica supone que el material se dilata igual en todas las direcciones, lo cual es cierto en metales y vidrios y no lo es en la madera, los monocristales ni los materiales compuestos laminados: en esos, cada eje necesita su propio coeficiente y el factor tres no significa nada. Los propios coeficientes están citados a una temperatura de referencia cercana a 20 °C, y α sube despacio con la temperatura, así que una respuesta para un salto de 500 K es una extrapolación desde una medida hecha a temperatura ambiente, no una medida a esa temperatura. Los valores publicados además no coinciden entre sí: el aluminio es 23×10⁻⁶ en una de las fuentes de abajo y 25×10⁻⁶ en la otra, una diferencia de varios por ciento, así que trata el tercer decimal de cualquier respuesta como adorno y la primera cifra como la información real. Esta página da la dilatación libre y no dice nada de lo que ocurre cuando la pieza está sujeta por los dos extremos: esa misma dilatación, impedida, se convierte en una tensión del orden de E·α·ΔT, que para el acero a lo largo de 60 K supera ampliamente los cien megapascales, suficiente para pandear un carril o agrietar una soldadura, y nada de eso aparece en los números de arriba. Tampoco dice nada del tiempo: una pieza gruesa se calienta de forma desigual, así que la dilatación llega como un gradiente y un alabeo en lugar de como un cambio uniforme de longitud. Y da por supuesto que el cambio ocurre por debajo del punto de reblandecimiento del material: un plástico cerca de su transición vítrea, o cualquier cosa cerca de fundirse, queda fuera de lo que un solo coeficiente puede describir.

¿Cuál es la fórmula de la dilatación térmica?

ΔL = α · L · ΔT: la variación de longitud es igual al coeficiente de dilatación lineal del material por la longitud original por la variación de temperatura. En un sólido que se dilata igual en todas las direcciones, el volumen crece tres veces más en términos relativos, así que la deformación volumétrica es 3 · α · ΔT: la misma relación con un factor que viene de que hay tres dimensiones, no de ninguna física adicional. Las dos aparecen en esta página, y la segunda se informa como deformación en porcentaje y no como volumen, porque esa es la forma que el coeficiente te da directamente.

¿Cuánto se dilata el acero por grado?

Unas 12×10⁻⁶ por kelvin, así que un metro de acero crece 0,012 mm por grado —12 micrómetros, más o menos un octavo del grosor de una hoja de papel, que ronda los 0,1 mm—. A lo largo de los 60 K que hay entre una noche de invierno y una tarde de verano, un carril de 25 m crece 18 mm, y de ahí que existan las holguras de los carriles y que la vía soldada continua tenga que tensarse y anclarse en lugar de simplemente tenderse. El aluminio responde aproximadamente el doble, con 23×10⁻⁶, y el PVC más del cuádruple que el acero, con 55×10⁻⁶, que es la razón de que la tubería de plástico necesite más separación entre soportes y liras de dilatación más generosas que la metálica del mismo trazado.

¿Por qué el volumen cambia el triple que la longitud?

Porque un sólido crece en tres direcciones a la vez. Cada dimensión crece la fracción α·ΔT, así que el volumen de un cubo crece (1 + α·ΔT)³ − 1, que para los números pequeños que manejamos es 3·α·ΔT con muchos más decimales de los que nadie necesita. El factor tres es una consecuencia de la isotropía, eso sí: da por supuesto que el material se dilata igual en todos los ejes. La madera no lo hace (se mueve mucho más a través de la fibra que a lo largo de ella), ni los monocristales, ni los materiales compuestos laminados, así que en esos casos la fila volumétrica de esta página no es una aproximación de la respuesta correcta sino la respuesta a otra pregunta.

¿La longitud que introduzco es la inicial o la final?

La inicial: la longitud a la temperatura de partida, antes de que nada se caliente. Importa más de lo que parece: ir hacia atrás, de una longitud final medida a un coeficiente, obliga a dividir entre la longitud original, y usar la final introduce un error relativo de aproximadamente α·ΔT, despreciable para el acero y no despreciable para un plástico a lo largo de una variación grande de temperatura. La página imprime tanto la variación como la longitud nueva para que se vea cuál es cuál, y la variación siempre es relativa a lo que has escrito.

¿Dónde entran las juntas de dilatación?

Son lo que se construye cuando no puedes dejar que la dilatación sea libre. Una pieza sujeta por los dos extremos no se queda en la longitud que quiere tener: la dilatación se ve impedida y se convierte en tensión, del orden del módulo elástico del material por α·ΔT —para el acero a lo largo de 60 K, bastante más de cien megapascales, suficiente para pandear un carril, combar un tramo de tubería o agrietar una soldadura—. Las juntas de dilatación, las liras, los agujeros de fijación ovalados y los apoyos deslizantes son otras tantas maneras de darle al material adónde ir, y existen porque el cálculo de esta página hay que pagarlo de una forma u otra.

¿Por qué cada tabla da coeficientes distintos?

Porque el coeficiente no es perfectamente constante ni hay acuerdo perfecto sobre él. α varía con la temperatura, así que un valor citado a 20 °C y un valor promediado entre 0 y 100 °C son números distintos para el mismo material, y los distintos manuales incluyen aleaciones diferentes bajo el mismo nombre: el aluminio es 23×10⁻⁶ en una de las fuentes de abajo y 25×10⁻⁶ en la otra, y el acero inoxidable designa una familia cuyos coeficientes van de unas 10 a 18×10⁻⁶. Para casi todo, la discrepancia es de unos pocos por ciento y no cambia la decisión. Cuando sí importa —instrumentos de precisión, tramos largos, ajustes apretados— es un motivo para medir la colada real y no para elegir otra tabla.

• 13.2 Thermal expansion of solids and liquids — ΔL = αLΔT with the definition of the coefficient, the β ≈ 3α relation for volume, and a table of coefficients for common metals — OpenStax (Rice University)
• Linear thermal expansion coefficients of materials — the handbook values this page's table is drawn against, including cast iron, brass, stainless and PVC — The Engineering ToolBox
• El Sistema Internacional de Unidades (SI) — Centro Español de Metrología (CEM)