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CalcMax

质因数计算器

范围：1 – 1,000,000

结果

2^3 * 3^2 * 5

质因数分解

质因数个数
6
正因数个数
24

质因数分解是把一个整数写成若干个质数相乘，重复出现的用指数合并起来。质数是大于 1、除了 1 和它自己以外没有别的数能整除它的那些数：2、3、5、7、11、13 等等。每一个大于 1 的整数都能这样写出来，而且写法只有一种，整个学科就架在这条事实上。12 是 2² × 3；360 是 2³ × 3² × 5，页面把它印成 2^3 * 3^2 * 5，让指数在纯文本里也不会看错。页面同时给出两个容易混的个数。第一个数的是质因数的个数，重复的算进去：12 = 2 · 2 · 3 一共三个。第二个数的是正因数的个数，也就是能整除它的那些数：12 有 1、2、3、4、6、12 六个。对 12 来说这两个答案是 3 和 6，谁都没错，它们数的是两样东西。中文教材里手算分解通常用短除法：拿最小的质数去试除，除得尽就把商写在下面继续除，直到商是质数为止，把这些除数和最后的商乘起来就是分解式——页面做的就是这件事，只是把顺序固定成从小到大。当这个数本身就是质数时，分解式就是它自己，指数 1 不印出来，两个个数也同时落到最小：一个质因数、两个正因数。

四个数、它们的分解式，以及两个个数并排对照

数值质因数分解质因数个数正因数个数
122^2 * 336
602^2 * 3 * 5412
3602^3 * 3^2 * 5624
7207202^4 * 3^2 * 5 * 7 * 11 * 1310240

这张表存在的理由就是那两个个数列，它们越往下差得越开。12 是 3 与 6；60 是 4 与 12；360 是 6 与 24；720720 是 10 与 240。每一行两列都是对的，而它们之间越拉越大的差距就是重点。左列把指数加起来，所以只有当出现新的质数或者已有的质数重复时才增长；右列把每个指数加一再连乘，所以质数每重复一次它就乘一次——这就是为什么由许多小质数、且指数很高的数，收集正因数的速度远超过它的大小给人的印象。最后一行把这件事摆得很清楚：720720 远不到一百万，却有两百四十个正因数，比一百万以内任何别的数都多。它也解释了输入上界为什么取在这里而不是更小——讲分解的一页，本来就应该覆盖自己范围内最能分解的那个数。

公式

360 = 2^3 * 3^2 * 5；质因数个数 Ω(360) = 3 + 2 + 1 = 6；正因数个数 d(360) = (3+1) × (2+1) × (1+1) = 24

n
被拆开的那个数，取 1 到 1000000 之间的整数。这个范围是内核数字论模块一路用的那一个，所以它与因数计算器完全一致，两页之间来回看的读者看到的是同一组边界。小数一律拒绝而不是四舍五入；0 与负数也拒绝，因为质因数分解是关于正整数的一句话
p
质因数，也就是能整除 n 的质数。页面按从小到大试除，所以最小的质数总是先被拿出来，印出来的分解式永远从最小的质数排到最大的。360 的质因数是 2、3、5，再没有别的质数能整除它
e
指数，也就是这个质数在乘积里出现了几次。360 是 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5,所以 2 出现三次、3 出现两次。只出现一次的质数不印指数：360 里那个 5 写作光秃秃的 5 而不是 5^1，这是通用写法，也让短的分解式好读
2^3 * 3^2 * 5
360 的分解式印出来的样子，也是默认输入。^ 表示指数、* 表示乘法，整串东西因此可以直接复制进纯文本框或者搜索框。大于 1 的每个整数都只有这一个式子，这正是它值得印出来的原因：360 不可能被写成另一组质数的乘积
Ω(360) = 3 + 2 + 1 = 6
带重数的质因数个数：三个 2、两个 3、一个 5，一共六个。这个数最容易让人意外，因为 360 感觉上是三个质数搭起来的，不是六个。做法是把指数加起来，而不是数有几个不同的质数；只要某个指数大于 1，两个答案就会不一样
d(360) = (3+1) × (2+1) × (1+1) = 24
正因数的个数，用同一批指数算出来：每个指数加一再连乘。清单是 1、2、3、4、5、6、8、9、10、12、15、18、20、24、30、36、40、45、60、72、90、120、180、360，一共二十四个。这跟上面那个不是同一个问题：它数的是能整除 360 的数，不是搭出 360 的质数

当问题问的是一个数的乘法结构而不是它多大时，就要用分解式。约分与化简根式是最日常的两处：√72 = 6√2 是因为 72 = 2³ × 3²，每个质数的指数告诉你它能从根号里出来多少个，而根式化简那一页读的正是这份分解。求两个数的最大公因数或最小公倍数也是这件事，只是每个数各做一次：公有的质数取指数小的那个连乘得到前者，全部质数取指数大的那个连乘得到后者。整除问题同样如此，因为一个数能整除另一个数，当且仅当它的每个质数与指数在对方那里都够用。数论里这份分解还能一次性回答一个数是不是质数、有多少个正因数、是不是完全平方数（每个指数都是偶数）、是不是完全立方数。方法的边界也值得知道：试除法算一百万很快，算一个一百位数毫无希望，而这个「易与难」之间的落差正是公开密钥密码学的立足点。当你要问的是哪些数能整除它而不是哪些质数搭出它，因数计算器把清单列出来；当你要问的是它到底是不是质数，质数计算器直接回答。

算例

  1. 默认那一格：360

    1. 360 是偶数，拿 2 去除：360 ÷ 2 = 180，再 ÷ 2 = 90，再 ÷ 2 = 45，一共除了三次
    2. 45 不是偶数；下一个质数是 3，45 ÷ 3 = 15，再 ÷ 3 = 5，除了两次
    3. 5 是质数，于是分解式是 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5，记作 2^3 * 3^2 * 5
    4. 带重数数一遍质因数：3 + 2 + 1 = 6
    5. 用指数算正因数个数：(3 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) = 4 × 3 × 2 = 24

    默认输入，也是这一页为什么把两个个数都印出来的那一格。6 与 24 并排摆着，期待它们相等的人会以为其中一个坏了。并没有：6 是这个数在保留每一个重复的前提下由几块质数拼成，24 是有几个数能整除它。两者的差距来自指数——质数每重复一次，正因数个数就乘一次，而质因数个数只是加一。随便挑一个用手核一遍都不长；两个都核一遍，你就不会再记混了。

  2. 差距最小的那一格：12

    1. 12 ÷ 2 = 6，6 ÷ 2 = 3，所以 2 出现两次
    2. 3 是质数，分解式是 2^2 * 3
    3. 带重数数质因数：2 + 1 = 3，也就是 2、2、3
    4. 列出正因数：1、2、3、4、6、12，一共六个
    5. 用算法核对：(2 + 1) × (1 + 1) = 3 × 2 = 6，与清单一致

    这一页围绕的那处混淆，在最小的数上看得最清楚，因为两个个数都小到能在几秒内手工核对。12 由三个质数搭成——2、2、3——而有六个数能整除它。把它读成「3 个正因数」或者「6 个质因数」听起来都像那么回事，两个都是错的。因数清单还露出了让 6 成为偶数的那种配对：1 配 12、2 配 6、3 配 4。12 不是完全平方数，所以没有哪个因数跟自己配对，这正是个数为偶的原因。

  3. 必须单独决定的那一格：1

    1. 1 不能被任何质数整除——除以 2、3、5 或别的质数都会得到分数
    2. 所以它一个质因数也没有，个数是 0
    3. 能整除 1 的正数只有 1 自己，所以正因数个数是 1
    4. 分解式印成一个数字 1，而不是留空

    这一格是「必须决定」而不是「能推出来」的，而决定是印出 1。留空会读成没算出来，那是结果面板最不该有的样子。两个个数随后都老老实实落下来：一个质数也没有，一个正因数。1 既不是质数也不是合数——它是乘法单位元，乘上它什么都不变——页面不去假装它是别的什么。它被接受而不是被拒绝，因为输入范围的下界就是 1，而把自己范围的下界拒之门外，解释起来比回答它更费劲。

局限

输入必须是 1 到 1000000 之间的整数。0 会被拒绝：每个质数都整除 0，乘积得是无穷大才写得完。负数出于相近的理由也被拒绝——质数照样整除它们，但符号得单独带着走，而唯一分解那句话是就正数说的。小数一律拒绝而不是四舍五入，因为四舍五入等于悄悄回答另一个数的问题。一百万这个上界来自共用的数字论模块，它是成本问题而不是正确性问题：拿不超过平方根的质数逐个试除，算一百万是瞬间的事，算一个二十位数则毫无希望。这是方法本身的边界，而公开密钥密码学正架在同一条边界上。页面只给分解式与两个个数：不列出因数清单本身，不跨多个数求最大公因数或最小公倍数，也不化简根式或分数。指数为 1 时不印，所以只出现一次的质数就是个光秃秃的数；乘法号一律用星号，于是输出是纯 ASCII，也不会出现千位分隔符。最后，下面对照表里的四个数是固定的，不跟着你的输入走。

常见问题

页面上那两个「个数」有什么区别？
第一个数的是质因数个数，重复的算进去；第二个数的是正因数个数。12 的答案是 3 和 6，两个都对。12 是 2 × 2 × 3，由三块质数拼成；而 1、2、3、4、6、12 都能整除它，所以它有六个正因数。在小数上两个数挨得近，混起来很自然。前者的做法是把指数相加，后者的做法是每个指数加一再连乘。连乘这一步正是后者跑得快得多的原因——质数每多重复一次，正因数个数就乘一次，而前者只是加一。
一个数的质因数分解只有一种吗？
是，而且这是一条定理而不是约定。每个大于 1 的整数都能写成质数的乘积，并且在不计顺序的前提下写法只有一种。360 永远只是 2³ × 3² × 5，不会同时还是另一组质数的乘积。这条结论叫算术基本定理，没有它，印出一个分解式就只是一种趣闻而不是答案。它也解释了页面为什么可以从最小的质数开始印——顺序是为了好读而定的，定死它不会丢掉任何信息。
输入 1 会得到什么？
分解式印成 1，质因数个数是 0，正因数个数是 1。1 既不是质数也不是合数：它没有通常意义上的质因数分解，上面那条定理也是就大于 1 的数说的。但结果面板留空会读成没算出来，所以页面把那个数字印出来，两个个数照实给。1 的正因数确实是 1 个，因为能整除 1 的正数只有它自己；质因数个数确实是 0 个。1 被接受而不是被拒绝，因为输入范围的下界就是 1，而把自己范围的下界拒掉，比回答它更难解释。
为什么上界是一百万？
因为方法是试除法，而它的代价随数字的平方根增长。找一个接近一百万的数的质因数，要试到一千为止，瞬间就有结果；找一个二十位数的质因数，要试到一百亿，那就没底了。这道差距不是实现细节，它是问题本身的性质，也正是公开密钥密码学的立足点——大数分解难，才让一条消息保得住密。在一百万以内每个答案都立刻回来，而上界写在输入里，不是藏在某个超时里。
什么时候需要分解式，而不是一份因数清单？
当问题问的是结构而不是成员的时候。化简 √72 需要 72 = 2³ × 3²，因为指数告诉你每个质数能从根号里出来多少个，出来之后是 6√2。求两个数的最大公因数需要两份分解式，因为答案是公有的质数取指数小的那个。判断一个数是不是完全平方数，看一眼指数就行——全是偶数就是。列因数清单是另一个问题，而且按数的大小它可能长得离谱：720720 有 240 个正因数，印出来一大片，能看出来的信息却不多。要清单的时候去因数计算器那一页。
为什么质数只出现一次时不印指数？
因为给单独一个 5 写 5^1 是噪音。数学里的写法是只在指数大于 1 时才印出来，所以 360 写成 2^3 * 3^2 * 5，最后那一项是光秃秃的。省掉它不会丢东西：不写指数就意味着指数是 1，没有第二种读法；而一个完全由单次质数搭成的数——也就是无平方因数的数——读起来就是一串普通的乘积，一个 ^ 都没有。同一条约定也解释了为什么 97 这个质数印出来就是 97，而不是 97^1。

参考资料

相关计算器

因数计算器列出一个数的全部因数与因数对。质数计算器判断一个数是否为质数，并给出最近的质数。最大公因数计算器求两到十个整数的最大公因数，并列出全部公因数。根式计算器化简根式并合并同类项，给出最简结果。