Калькулятор z-оценки

z = (x − μ) ÷ σ

x

Значение, которое нужно расположить на шкале: измерение, оценка, показание

μ

Среднее той группы, к которой значение относится. Именно вычитание превращает абсолютное значение в расстояние от середины

σ

Стандартное отклонение той же группы. Деление на него и делает ответ сравнимым между шкалами: z-оценка 1,5 означает одно и то же, были данные в баллах или в миллиметрах. Оно должно быть больше нуля

x − μ

Расстояние от среднего, напечатанное отдельно как абсолютная величина, чтобы разрыв можно было прочитать в исходных единицах прежде, чем его пересчитали

z

Сама z-оценка: отрицательная, когда значение ниже среднего, положительная, когда выше. Знак несёт направление, величина — насколько значение необычно

Берите её, чтобы сравнивать значения из разных шкал, — ради этого мера и существует: 85 баллов в классе со средним 75 и 85 в классе со средним 90 — не одно и то же достижение, и z-оценки говорят об этом напрямую. Это ещё и стандартный способ расположить одно показание относительно опорной группы и первый шаг большинства правил, отмечающих выбросы. Если у вас есть сами данные, а не среднее и стандартное отклонение, сначала получите их на странице стандартного отклонения и вернитесь: эта страница не станет оценивать их за вас. Держите в голове, что означают названия полос: стоящие за ними проценты взяты из эмпирического правила, правила 68-95-99,7, а оно описывает нормальное распределение. Z-оценка есть у любого значения; только у нормального 68 % значений лежат внутри одного стандартного отклонения.

1. Оценка на одно стандартное отклонение выше среднего по классу

   1. Расстояние от среднего: 85 − 75 = 10 баллов
   2. Делим на стандартное отклонение: 10 ÷ 10 = 1
   3. Z-оценка равна 1, положительна, потому что 85 больше 75

   Z-оценка ровно 1 попадает в первую полосу, а не во вторую: эмпирическое правило говорит о доле значений, попадающих внутрь одного стандартного отклонения, поэтому граница считается изнутри, и с ней связано число 68 %. Десять баллов расстояния и z-оценка 1 — один и тот же факт, один в единицах экзамена, другой в единицах разброса; ровно это деление и даёт.

2. Ровно три стандартных отклонения

   1. Расстояние: 105 − 75 = 30
   2. Делим: 30 ÷ 10 = 3
   3. Полоса та, что заканчивается на 3: правило говорит о значениях за тремя стандартными отклонениями

   Это самая важная граница и та, на которой чаще всего ошибаются. Быть ровно в трёх стандартных отклонениях от среднего — не то же самое, что быть дальше трёх, и число 0,3 % относится как раз ко второму случаю. На практике различие педантично — реальные измерения редко попадают точно на границу, — но именно оно разделяет полосы, и таблица ниже показывает, где лежит каждая граница.

3. Ниже среднего, где знак переворачивается

   1. Расстояние: 65 − 75 = −10, значит, значение на десять баллов ниже среднего
   2. Делим: −10 ÷ 10 = −1
   3. Z-оценка отрицательна; по величине она та же, что в первом примере, потому что значение на том же расстоянии от среднего

   Знак — это направление, а величина — величина. Значение на десять баллов ниже среднего и значение на десять баллов выше него имеют z-оценки −1 и +1, и они одинаково необычны; поэтому полосу выбирают по абсолютной величине z, и поэтому же панель печатает расстояние положительным числом. Читайте их вместе: знак говорит, с какой стороны, расстояние — насколько далеко.

Z-оценка ровно настолько хороша, насколько хороши среднее и стандартное отклонение, которые вы в неё подставили: страница принимает оба как данность и проверить их не может, поэтому среднее, набранное из не той колонки, сделает неверным каждый ответ, и никакого признака неполадки не будет. Проценты за полосами описывают нормальное распределение, а реальные данные часто не таковы: если распределение скошено, большая z-оценка может означать лишь длинный хвост, а не то, что значение — выброс. Есть и ловушка малых выборок, о которой стоит знать: раздел Detection of Outliers у NIST замечает, что наибольшая возможная z-оценка в выборке из n значений не превосходит (n − 1) ÷ √n, поэтому при числе значений меньше примерно одиннадцати z-оценка вообще не дотянет до 3 и правило с порогом в три стандартных отклонения никогда не сработает. Это связано с эмпирическим правилом, но не совпадает с ним: NIST говорит о выборочном стандартном отклонении и советует переходить к модифицированной z-оценке с порогом 3,5. Наконец, стандартное отклонение должно быть больше нуля: в группе, где все значения одинаковы, разброса, с которым можно сравнивать, нет, и страница сообщает о невозможности расчёта, а не выдаёт ответ.

Какова формула z-оценки?

z = (x − μ) ÷ σ: вычтите среднее из значения, затем разделите на стандартное отклонение. Оценка 85 при среднем 75 и стандартном отклонении 10 даёт (85 − 75) ÷ 10 = 1. Вычитание ставит значение на шкалу с центром в нуле, а деление пересчитывает его в единицы разброса — именно это и делает две разные шкалы сравнимыми.

На сколько стандартных отклонений моё значение отстоит от среднего?

Это и есть то, что сообщает z-оценка: её величина — число стандартных отклонений, а знак говорит, с какой стороны от среднего стоит значение. Z-оценка 2,5 означает два с половиной стандартных отклонения выше среднего; −0,4 означает четыре десятых стандартного отклонения ниже. Панель печатает и само расстояние, так что разрыв можно прочитать в исходных единицах рядом с пересчитанным.

Какая z-оценка считается большой?

При нормальном распределении около 68 % значений попадают внутрь одного стандартного отклонения, 95 % — внутрь двух и 99,7 % — внутрь трёх: это эмпирическое правило. Поэтому z-оценка за пределами 2 необычна, а за пределами 3 редка, и именно поэтому три стандартных отклонения — обычная граница для кандидата в выбросы. Относитесь к этим числам как к показанию, а не как к приговору: они описывают нормальное распределение, а скошенное может давать большие z-оценки для совершенно обычных значений.

Это то же самое, что процентиль?

Нет, хотя они связаны. Z-оценка — это расстояние в единицах стандартного отклонения; процентиль — позиция в упорядоченном списке значений. Для перевода одного в другое нужна форма распределения: при нормальном распределении z-оценка 1,645 соответствует 95-му процентилю, но это соответствие верно только для нормального. Сама z-оценка никаких предположений не требует, поэтому здесь сообщают её, а не процентиль.

А если стандартное отклонение равно нулю?

Тогда делить не на что, и страница сообщает о невозможности расчёта вместо числа. Нулевое стандартное отклонение означает, что все значения в группе одинаковы, поэтому ни одно значение не отстоит от среднего и у вопроса нет ответа. Бесконечности и ошибки, напечатанные в качестве результата, были бы хуже, чем сказать прямо: деление на ноль здесь не даёт осмысленного показания, и страница предпочтёт вам об этом сказать.

Годится ли это для любых данных, нормальных или нет?

Для самой z-оценки — да: вычтите среднее и разделите на стандартное отклонение, и вы получите законную меру относительного положения при любой форме данных. Осторожность нужна с названиями полос. Проценты 68-95-99,7 — свойства нормального распределения, и набор с длинным хвостом выдаст z-оценки далеко за 3 для значений, которые для этого распределения вовсе не необычны. Воспринимайте полосы как повод посмотреть на значение, а не как приговор ему.

• The Standard Normal Distribution — Introductory Statistics 2e, section 6.1 (the z-score as the number of standard deviations from the mean, and the Empirical Rule: about 68%, 95% and 99.7% within one, two and three standard deviations) — OpenStax, Rice University
• Detection of Outliers — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.17 — National Institute of Standards and Technology (NIST)