Чем модуль вектора отличается от самого вектора?

Модуль — это одно число, а вектор — набор компонент, и вместе с длиной он несёт ещё и направление. Модуль отвечает на вопрос «насколько велик», но не отвечает на вопрос «куда»: у векторов 3 4 и 4 3 длина одинаковая, а направления разные. Если нужно только сравнить размеры, одного числа достаточно; если нужно знать, куда вектор смотрит, понадобится ещё и направление, а его эта страница не показывает.

Можно ли считать длину по компонентам со знаком?

Да, и знаки ни на что не влияют. Каждая компонента возводится в квадрат, а квадрат отрицательного числа равен квадрату положительного, поэтому у вектора и у его точного минуса длина одна и та же: −3 4 и 3 4 дают одинаковые 9, 16 и 5. Это не приближение и не совпадение, а прямое следствие формулы, и именно поэтому длину можно считать, не разбираясь, в какую сторону направлены компоненты.

Что даёт нулевой вектор?

Ноль, и это полноценный ответ, а не отказ. Все компоненты нулевые, значит, и квадраты нулевые, и сумма равна нулю, и корень из нуля равен нулю. Смысл тоже на месте: расстояние от начала координат до самого начала координат равно нулю. Отказывают в нулевом векторе только те страницы, которые делят на длину, — там он превратился бы в деление на ноль, — но здесь ничего не делится.

Почему одни ответы целые, а другие нет?

Потому что корень извлекается в самом конце. Если сумма квадратов оказалась полным квадратом, ответ выходит целым: 9 плюс 16 равно 25, а корень из 25 равен 5. Такие наборы компонент — те же пифагоровы тройки, что и в прямоугольном треугольнике. Во всех остальных случаях корень не заканчивается, и напечатанное число округлено до четырёх знаков; проверить округление можно, возведя его обратно в квадрат.

В каких единицах получается ответ?

В тех же, в которых были введены компоненты. Если компоненты — метры, длина выйдет в метрах; если это просто числа без единиц, ответ тоже без единиц. Никакого перевода страница не делает и знать о единицах измерения не может, поэтому следить за ними приходится самому: складывать в одну формулу метры и секунды бессмысленно, а формально страница посчитает и такое.

Равна ли длина вектора расстоянию между двумя точками?

Да, если одна из точек — начало координат. Вектор с компонентами 3 и 4 можно читать как точку с координатами 3 и 4, и расстояние от неё до нуля равно 5, то есть в точности длине вектора. Для двух произвольных точек расстояние считается так же, только сначала берётся разность координат — вектор, соединяющий точки, — а потом уже его длина. Именно поэтому одна и та же формула служит и длиной вектора, и расстоянием.

Калькулятор модуля вектора

Результат

5,0000

Модуль вектора

Калькулятор модуля вектора находит длину вектора по его компонентам. Введите два или три числа, разделённых пробелами или запятыми, — 3 4 для вектора на плоскости или 2 3 6 для трёхмерного — и страница возведёт каждую компоненту в квадрат, сложит квадраты и извлечёт корень. Полученное число и есть модуль вектора; оно же — расстояние от начала координат до точки, которую задают эти компоненты, потому что длина стрелки, проведённой из начала координат, ровно и есть это расстояние. О размере вектора говорит только количество чисел, и оба размера принимаются одинаково охотно. То, что ответ здесь один, — одновременно и польза, и граница: именно так сравнивают векторы, когда направления не важны, и ровно это теряется, когда нужно знать, куда что направлено. Три совершенно разных вектора в таблице ниже имеют одну и ту же длину 5. Ничего здесь ни на что не делится, поэтому нулевой вектор — обычный вход, а его длина 0 — обычный ответ, а не отказ.

Векторы и их модули

Вектор	Модуль вектора
3 4	5
5 12	13
1 1	1.4142
-3 4	5
2 3 6	7
1 1 1	1.7321
0 5	5
0 0	0

Восемь векторов и их длины — единственная величина, которую эта страница считает. Первая строка — вход, с которым страница открывается: 9 плюс 16 дают 25, и ответ целый. Вторая строка — вторая пифагорова тройка: компоненты куда крупнее, а ответ снова целый, 13, и это лучший пример того, что длина растёт медленнее самих компонент. Третья строка — первый иррациональный ответ, √2 ≈ 1,4142. Четвёртая строка повторяет первую по длине, но у неё отрицательная первая компонента: знак не изменил ничего, ведь квадрат его снимает, и по одному числу эти два вектора не различить. Пятая строка — трёхмерный вектор с целой длиной 7, шестая — трёхмерный с иррациональной, √3 ≈ 1,7321. В седьмой строке вектор лежит на оси y, поэтому его длина равна единственной ненулевой компоненте, а в восьмой стоит нулевой вектор: его длина 0, и страница отвечает на него нулём, а не отказом. Числа в ячейках считает программа, и печатает она их с точкой и без разделителя разрядов; в тексте выше те же десятичные знаки пишутся с запятой, и это одно и то же число в двух записях.

Формула

u = (u₁, u₂, u₃) |u| = √(u₁² + u₂² + u₃²)

Вектор u: Вектор, длину которого нужно найти: два или три числа, разделённых пробелами, запятыми или точками с запятой. Ничто, кроме количества чисел, не указывает, о каком векторе речь: именно их число говорит, имелась в виду плоскость или пространство
|u|: Сама длина: каждая компонента возводится в квадрат, квадраты складываются, из суммы извлекается корень. Это единственное число на панели и единственное, что эта страница вычисляет
u₁² + u₂² + …: Сумма квадратов, которую разобранные примеры ниже расписывают по слагаемым. Единственный промежуточный шаг расчёта, и именно он делает ответ проверяемым на бумаге: 9 плюс 16 дают 25, а 25 — это уже готовый квадрат
√: Квадратный корень — из-за него так много ответов иррациональны. 3 4 даёт ровно 5, потому что 9 плюс 16 случайно равно 25, а 1 1 даёт 1,4142, и никакая конечная десятичная дробь этому числу не равна
Две компоненты: Вектор на плоскости. Принимаются оба размера, и ни один не является особым: двумерный вектор — это трёхмерный, у которого третья компонента равна 0, а два слагаемых под корнем — это три слагаемых, третье из которых нулевое
Нулевой вектор: Вектор, все компоненты которого равны 0. Его длина равна 0, и это ответ, а не отказ: здесь ничто не делится, и именно поэтому нулевой вектор принимается на этой странице и отклоняется на страницах, которые нормируют
Четыре знака после запятой: Ширина записи ответа. Точен, когда сумма квадратов оказывается полным квадратом; в остальных случаях округляется до четырёх знаков
Без единиц измерения: Ничто на этой странице не знает, в чём были измерены компоненты, и ответ несёт ту же единицу измерения, что и они. Длина 5 означает 5 чего угодно из введённого

Эта страница нужна всюду, где важен размер, а направление не важно или уже учтено отдельно. Сравнить две скорости по величине, узнать, насколько далеко от начала координат оказалась точка, перевести вектор в одно число, прежде чем подставлять его в формулу, — во всех этих случаях считается модуль вектора, и ничего больше. Длина вектора — это ещё и делитель при нормировке, и знаменатель в формуле проекции, и один из двух множителей в скалярном произведении, поэтому её считают и как самостоятельный ответ, и как шаг к чему-то другому. Сила этой страницы в том, чего она не делает: она не смешивает длину с направлением, поэтому её ответ можно сравнивать с другими длинами напрямую — вектор 3 4 и вектор 0 0 5 здесь равны, и это именно то сравнение, которое нужно, когда направления несущественны. Обратная сторона та же: два вектора с одинаковой длиной дальше не различаются никак, и если нужно знать, куда что направлено, одного числа не хватит. Принимаются и две, и три компоненты, и оба размера считаются по одной и той же формуле. Нулевой вектор даёт 0, и это полноценный ответ: длина у него действительно нулевая, и ничто в расчёте из-за этого не ломается.

Разобранные примеры

3 4
1. Квадраты компонент: 3² = 9 и 4² = 16
2. Сумма квадратов: 9 + 16 = 25
3. Корень: √25 = 5
Вход, с которым страница открывается, и самый удобный случай для проверки: сумма квадратов оказалась полным квадратом, поэтому ответ целый. Тройка 3, 4, 5 знакома по прямоугольному треугольнику, и это не совпадение — длина вектора и есть гипотенуза треугольника с катетами по компонентам, поэтому пифагоровы тройки дают целые ответы там, где всё остальное даёт корни. Если поменять компоненты местами, ответ не изменится: 4 и 3 дают те же 25 и ту же пятёрку.
5 12
1. Квадраты компонент: 5² = 25 и 12² = 144
2. Сумма квадратов: 25 + 144 = 169
3. Корень: √169 = 13
Вторая пифагорова тройка, и она стоит здесь ровно за этим: 5 и 12 — числа куда крупнее, чем 3 и 4, а ответ снова целый, и получить его можно в уме. Обратите внимание, во что обходится длина: компоненты выросли примерно вчетверо, а длина — только в 2,6 раза, и так бывает всегда, ведь корень растёт медленнее, чем сами числа. Знаки компонент на ответ не влияют вовсе: у вектора −5 12 получились бы те же 25, 144 и 13.
1 1
1. Квадраты компонент: 1² = 1 и 1² = 1
2. Сумма квадратов: 1 + 1 = 2
3. Корень: √2 = 1,414213…, напечатано 1,4142
Первый случай, где ответ не заканчивается ни на каком знаке: корень из двух — число иррациональное, и 1,4142 — это округление, а не значение. Квадрат напечатанного числа даёт 1,99996, а не ровно 2, и это единственный способ убедиться в округлении, не заглядывая в справочник. Вектор 1 1 смотрит под углом 45 градусов, и его длина всегда будет равна корню из двух, какими бы большими ни были сами компоненты, если они равны между собой.
0 0
1. Квадраты компонент: 0² = 0 и 0² = 0
2. Сумма квадратов: 0 + 0 = 0
3. Корень: √0 = 0
Нулевой вектор, и страница отвечает нулём, а не отказывается считать. Длина 0 означает ровно то, что должна: вектор не тянется никуда, расстояние от начала координат до него равно нулю, и никакого направления у него нет — но об этом говорит уже другая страница, которая нормирует. Здесь важно, что расчёт из одних нулей не ломается: под корнем стоит 0, корень из нуля равен нулю, и ответ получился.

Ограничения

Принимаются векторы из двух или трёх компонент, и размерность определяется по количеству чисел: четырёхкомпонентный вектор эта страница не примет, хотя формула для него та же самая — просто вывод рассчитан на два и три. Двумерный вход считается по той же формуле, а не по особой: два слагаемых под корнем — это три слагаемых, третье из которых нулевое. Компоненты читаются как обычные числа: разделитель — точка с запятой, запятая или пробел, а запятая между двумя цифрами считается десятичным разделителем. Осторожно с разрядами: пробел здесь именно разделитель, поэтому скопированное откуда-то число 1 500 распадётся на два числа, 1 и 500, — а для двумерного вектора это ровно два числа, так что проверка пройдёт и длина будет посчитана для совсем другого вектора. Разряды в этом поле не пишут вовсе: пишите 1500, а не 1 500. Длина не говорит о направлении ничего: у 3 4, у 4 3, у −3 4 и у 0 0 5 длина одинаковая, и различить их по одному этому числу невозможно. Знак компоненты на ответ не влияет: возведение в квадрат его снимает, поэтому у вектора и у его точного минуса длина одна и та же, и это единственное, чем они схожи. Четыре знака после запятой — это ширина записи, а не заявка на точность: у почти всех векторов ответ иррационален, и напечатанное число всегда чуть-чуть не равно истинной длине. Ничто здесь не знает, в чём были измерены компоненты, и ответ несёт ту же единицу измерения, что и они: длина 5 — это 5 чего угодно.

Частые вопросы

Чем модуль вектора отличается от самого вектора?: Модуль — это одно число, а вектор — набор компонент, и вместе с длиной он несёт ещё и направление. Модуль отвечает на вопрос «насколько велик», но не отвечает на вопрос «куда»: у векторов 3 4 и 4 3 длина одинаковая, а направления разные. Если нужно только сравнить размеры, одного числа достаточно; если нужно знать, куда вектор смотрит, понадобится ещё и направление, а его эта страница не показывает.
Можно ли считать длину по компонентам со знаком?: Да, и знаки ни на что не влияют. Каждая компонента возводится в квадрат, а квадрат отрицательного числа равен квадрату положительного, поэтому у вектора и у его точного минуса длина одна и та же: −3 4 и 3 4 дают одинаковые 9, 16 и 5. Это не приближение и не совпадение, а прямое следствие формулы, и именно поэтому длину можно считать, не разбираясь, в какую сторону направлены компоненты.
Что даёт нулевой вектор?: Ноль, и это полноценный ответ, а не отказ. Все компоненты нулевые, значит, и квадраты нулевые, и сумма равна нулю, и корень из нуля равен нулю. Смысл тоже на месте: расстояние от начала координат до самого начала координат равно нулю. Отказывают в нулевом векторе только те страницы, которые делят на длину, — там он превратился бы в деление на ноль, — но здесь ничего не делится.
Почему одни ответы целые, а другие нет?: Потому что корень извлекается в самом конце. Если сумма квадратов оказалась полным квадратом, ответ выходит целым: 9 плюс 16 равно 25, а корень из 25 равен 5. Такие наборы компонент — те же пифагоровы тройки, что и в прямоугольном треугольнике. Во всех остальных случаях корень не заканчивается, и напечатанное число округлено до четырёх знаков; проверить округление можно, возведя его обратно в квадрат.
В каких единицах получается ответ?: В тех же, в которых были введены компоненты. Если компоненты — метры, длина выйдет в метрах; если это просто числа без единиц, ответ тоже без единиц. Никакого перевода страница не делает и знать о единицах измерения не может, поэтому следить за ними приходится самому: складывать в одну формулу метры и секунды бессмысленно, а формально страница посчитает и такое.
Равна ли длина вектора расстоянию между двумя точками?: Да, если одна из точек — начало координат. Вектор с компонентами 3 и 4 можно читать как точку с координатами 3 и 4, и расстояние от неё до нуля равно 5, то есть в точности длине вектора. Для двух произвольных точек расстояние считается так же, только сначала берётся разность координат — вектор, соединяющий точки, — а потом уже его длина. Именно поэтому одна и та же формула служит и длиной вектора, и расстоянием.

Источники

Vector magnitude — the length of a vector as the square root of the sum of the squares of its components, which is the operation this page performs and the definition its table is built on — Wolfram MathWorld (United States)
Norm — the general name for a length function on vectors, of which the square-root-of-sum-of-squares used here is the ordinary Euclidean case — Wolfram MathWorld (United States)
Distance — the distance between two points as the length of the vector joining them, which is why a vector's magnitude and the distance from the origin are the same calculation — Wolfram MathWorld (United States)