Калькулятор векторов

u = (u₁, u₂, u₃) |u| = √(u₁² + u₂² + u₃²) û = u ÷ |u|

Вектор u

Единственный вход: два или три числа, разделённых пробелами, запятыми или точками с запятой. Две записи — это вектор на плоскости, три — вектор в пространстве, и о том, какой из них имелся в виду, говорит только их количество: отдельной настройки размерности здесь нет

u = (u₁, u₂, u₃)

Вектор, записанный компонентами, — это те же числа, прочитанные обратно в виде вектора. Они печатаются без изменений, и у двумерного входа третья равна 0, что не заполнитель: так выглядит то же направление, записанное в трёх координатах

|u|

Модуль вектора: каждая компонента возводится в квадрат, квадраты складываются, из суммы извлекается корень. Это первое из трёх чтений и ответ на вопрос, насколько вектор велик

û

Единичный вектор, его же называют направлением: каждая компонента делится на модуль. Он направлен ровно по той же прямой, что и вход, и по построению имеет длину 1, поэтому несёт только направление и ничего больше — размер из него вынесен

u ÷ |u|

То самое деление, которое разделяет два чтения. Компоненты вектора — это то, что было введено, компоненты единичного вектора — то же самое, делённое на длину, и страница печатает и то и другое, чтобы шаг был виден, а не подразумевался

Нулевой вектор

Отклоняется, и причина узкая: его модуль равен 0, поэтому деление для единичного вектора превратилось бы в 0 ÷ 0, и сообщать было бы нечего — направления нет. Сам по себе нулевой вектор не запрещён: страница модуля отвечает на тот же список нулей нулём, — но эта страница обещает три чтения, а дать может только два

Две компоненты

Принимаются. Двумерный вектор — это вектор на плоскости, его модуль — тот же корень с двумя слагаемыми под ним, а третья компонента всех выводов равна 0. Размерность входа нигде не указывается отдельно: её видно по количеству чисел

Четыре знака после запятой

Ширина, в которой печатаются результаты. Строки компонент точно повторяют вход, если он состоял из целых или коротких десятичных чисел; модуль часто оказывается целым; единичный вектор почти всегда округлён, потому что деление на квадратный корень редко заканчивается

Без единиц измерения

Компоненты, модуль и компоненты единичного вектора — обычные числа. Ничто здесь не знает, в чём были измерены компоненты, и все три чтения несут эту неизвестную единицу измерения — кроме единичного вектора, который безразмерен

Эта страница нужна, когда есть один вектор и хочется узнать о нём всё, что можно узнать, не привлекая второй. Строки компонент — это вход, прочитанный обратно числами: они полезны, когда запись сделана от руки и хочется увидеть, как она разобрана. Строка модуля говорит, насколько вектор велик, строки единичного вектора — куда он направлен. Именно эти две пары и составляют вместе две половины вектора: размер и направление, — и здесь их можно сравнить напрямую, в одной панели, число к числу. Это сводка, а не замена: если нужна только длина, страница, печатающая одну длину, ответит быстрее, то же самое с направлением, а для работы с парой векторов — сложения, проекции или скалярного произведения — нужна страница с двумя полями. Что добавляет эта страница, так это вид сбоку: строки единичного вектора — это строки компонент, делённые на модуль, и рядом видно и делимое, и делитель, и частное, так что деление можно прочитать, а не принимать на веру. Принимаются и две, и три компоненты, а третья компонента двумерного вектора всюду равна 0. Единственный отклоняемый вход — нулевой вектор, и отклоняется он потому, что одного из трёх обещанных чтений для него не существует, а не потому, что он недопустим.

1. 3 4

   1. Компоненты: вход, прочитанный обратно, — 3, 4 и 0
   2. Модуль: √(9 + 16) = √25 = 5
   3. Компонента x единичного вектора: 3 ÷ 5 = 0,6
   4. Компонента y единичного вектора: 4 ÷ 5 = 0,8
   5. Компонента z единичного вектора: 0 ÷ 5 = 0

   Вход, с которым страница открывается, и строка, показывающая, зачем вообще печатаются компоненты. Каждое число второй группы — это число первой группы, делённое на 5, и когда обе группы на экране, деление можно просто прочитать. Модуль здесь целый, потому что 3 и 4 — это египетский треугольник; поэтому же обе компоненты единичного вектора получились точными. Проверьте деление в обратную сторону: 0,6 × 5 = 3, а 0,8 × 5 = 4, то есть умножение единичного вектора на модуль возвращает исходный вектор — и это самый быстрый способ убедиться, что строка прочитана правильно.

2. 0 0 5

   1. Компоненты: 0, 0 и 5
   2. Модуль: √(0 + 0 + 25) = √25 = 5
   3. Компонента x единичного вектора: 0 ÷ 5 = 0
   4. Компонента y единичного вектора: 0 ÷ 5 = 0
   5. Компонента z единичного вектора: 5 ÷ 5 = 1

   Вектор вдоль оси z, и с ним страница показывает самую полезную свою привычку: две нулевые компоненты не мешают называть вектор ненулевым. Модуль здесь равен единственной ненулевой компоненте — так бывает у любого вектора, лежащего на одной из осей, и это самый быстрый способ проверить ответ в уме. Единичный вектор получился точным и равен 0, 0, 1; сравните его с модулем: длина у него 1, а у входа 5, и обе записи описывают одно и то же направление.

3. 2 3 6

   1. Компоненты: 2, 3 и 6
   2. Модуль: √(4 + 9 + 36) = √49 = 7
   3. Компонента x единичного вектора: 2 ÷ 7 = 0,2857
   4. Компонента y единичного вектора: 3 ÷ 7 = 0,4286
   5. Компонента z единичного вектора: 6 ÷ 7 = 0,8571

   Случай, где обе половины страницы ведут себя по-разному: модуль вышел ровно 7, а все три компоненты единичного вектора пришлось округлить до четырёх знаков — деление на 7 не заканчивается никогда. Здесь и видно, почему эти две группы печатаются рядом: в левой половине стоят целые числа, в правой — доли, и вместе они описывают один и тот же вектор. Сумма квадратов компонент единичного вектора даст примерно 1, а не ровно 1, — и это не ошибка страницы, а обычное следствие округления: 0,2857, 0,4286 и 0,8571 округлены вверх и вниз по-разному.

4. −3 4

   1. Компоненты: −3, 4 и 0
   2. Модуль: √(9 + 16) = √25 = 5
   3. Компонента x единичного вектора: −3 ÷ 5 = −0,6
   4. Компонента y единичного вектора: 4 ÷ 5 = 0,8
   5. Компонента z единичного вектора: 0 ÷ 5 = 0

   Тот же вектор, что и в первом примере, но первая компонента отрицательна, и разница поучительна: модуль не изменился вовсе — 9 плюс 16 дают 25 при любом знаке, — а вот направление изменилось, и в единичном векторе минус остался на своём месте. Сравните эту строку с первой: 0,6 и 0,8 против −0,6 и 0,8. Здесь и видно разделение труда между двумя чтениями: длина от знаков не зависит, направление зависит целиком.

Принимаются векторы из двух или трёх компонент, и размерность определяется по количеству чисел: двумерный вход получает 0 в третьей компоненте всех трёх чтений, а сам он при этом не считается ошибкой — просто это вектор на плоскости, записанный в трёх координатах. Нулевой вектор отклоняется, и только он: у нуля нет направления, поэтому деление для единичного вектора не имеет смысла, а два оставшихся чтения не стоят того, чтобы печатать страницу с обещанием трёх. Компоненты читаются как обычные числа: разделитель — точка с запятой, запятая или пробел, а запятая между двумя цифрами считается десятичным разделителем. Осторожно с разрядами: пробел здесь именно разделитель, поэтому скопированное откуда-то число 1 500 распадётся на два числа, 1 и 500, — а для двумерной страницы это ровно два числа, так что проверка пройдёт и ответ будет молча неверным. Разряды в этом поле не пишут вовсе: пишите 1500, а не 1 500. Единичный вектор печатается округлённым до четырёх знаков, поэтому его компоненты, возведённые в квадрат и сложенные, дают не ровно 1, а число около единицы; модуль при этом честно равен отношению, из которого он получен, а не единице, потому что он — одно из трёх чтений, а не проверка округления. Строки компонент и модуля не зависят от направления: смена знака у любой компоненты не меняет модуль вовсе и целиком переносится в единичный вектор. Четыре знака после запятой — это ширина записи, а не заявка на точность. Ничто здесь не знает, в чём были измерены компоненты, и все три чтения несут эту неизвестную единицу измерения, кроме единичного вектора, который безразмерен.

Чем эта страница отличается от калькулятора модуля вектора?

Числом выводов. Здесь их семь: модуль, три компоненты единичного вектора и три компоненты самого вектора, — а там один, только длина. Практическая разница в том, что здесь на экране видно деление: компоненты 3 и 4 стоят строкой выше, 0,6 и 0,8 строкой ниже, и связь между ними можно прочитать, а не восстанавливать в уме. Если нужна одна длина, страница с одной длиной ответит быстрее и не будет ничего лишнего считать.

Что такое единичный вектор?

Это вектор, у которого длина равна 1, а направление то же, что у исходного. Получается он делением каждой компоненты на модуль: 3 и 4 при модуле 5 дают 0,6 и 0,8, и длина этой пары действительно равна единице. Он удобен именно тем, что не содержит размера: когда нужно говорить только о направлении, единичный вектор и есть это направление, записанное числами. Умножьте его обратно на модуль — получится исходный вектор.

Почему нулевой вектор отклоняется?

Потому что у нулевого вектора нет направления, а страница обещает три чтения. Модуль у него есть — 0, — а разделить компоненты на 0 нельзя, так что строка единичного вектора осталась бы пустой или состояла из неопределённостей. Это не запрет на сам нулевой вектор: страница модуля принимает его и отвечает нулём, потому что там ничего не делится. Отказ здесь узкий и относится ровно к этому входу.

Что означают строки компонент, если они повторяют ввод?

Это ввод, прочитанный обратно после разбора, и полезен он двумя вещами. Во-первых, он показывает, как запись была разобрана: сколько чисел нашлось и что стало с третьей компонентой у двумерного входа. Во-вторых, без него деление было бы не видно: строки единичного вектора — это эти же числа, делённые на модуль, и когда обе группы стоят рядом, шаг читается прямо с экрана, а не принимается на веру.

Почему компоненты единичного вектора округлены, а модуль — нет?

Потому что модуль часто оказывается целым, а деление на него — почти никогда. 3 4 даёт ровно 5, и обе компоненты выходят точными; 2 3 6 тоже даёт ровно 7, но 2 ÷ 7 не заканчивается, поэтому все три компоненты напечатаны округлёнными. Если сложить квадраты округлённых компонент, получится примерно 1, а не ровно 1, — это следствие округления, а не ошибка расчёта.

Можно ли ввести вектор с четырьмя компонентами?

Нет. Принимаются только два или три числа, потому что выводы этой страницы рассчитаны ровно на них: три компоненты единичного вектора и три компоненты самого вектора. Вектор с большим числом компонент — обычный объект в математике, и формула модуля для него та же, но печатать его здесь было бы некуда. Для двумерного входа третья компонента считается нулём, и это единственное, что добавляется к вводу.

• Vector — the object this page describes, including the definition of its components and of the two quantities derived from them here, its magnitude and its direction — Wolfram MathWorld (United States)
• Vector magnitude — the length of a vector as the square root of the sum of the squares of its components, which is the first of this page's three readings — Wolfram MathWorld (United States)
• Unit vector — the vector of length 1 pointing in a given direction, which is how the direction reading is expressed and what the division by the magnitude produces — Wolfram MathWorld (United States)