Калькулятор сложения векторов

u = (u₁, u₂, u₃) v = (v₁, v₂, v₃) u ± v = (u₁ ± v₁, u₂ ± v₂, u₃ ± v₃) |u ± v| = √((u₁ ± v₁)² + (u₂ ± v₂)² + (u₃ ± v₃)²)

Вектор u

Первый вход: два или три числа, разделённых пробелами, запятыми или точками с запятой. Сложение векторов покомпонентно, поэтому первое число первого входа складывается только с первым числом второго — сцеплять их между собой нечему и незачем

Вектор v

Второй вход, такого же размера. В режиме вычитания он берётся со всеми перевёрнутыми знаками, поэтому переключатель режима — это не вторая операция, а знак перед этим вектором

u ± v

Равнодействующая: три числа ответа, каждое из которых — сумма (или разность) компонент, стоящих на том же месте. Это тот единственный вектор, который сделал бы работу обоих входов сразу

u₁ ± v₁

Первая компонента ответа: 3 + 1 = 4 в примере, с которого страница открывается. Ничего, кроме этих двух чисел, в неё не входит — компоненты не смешиваются между собой, и в этом вся арифметика

u₂ ± v₂

Вторая компонента, считается ровно так же. В вычитании именно здесь чаще всего путаются знаки: 2 − (−5) превращается в 2 + 5, и компонента не уменьшается, а растёт

u₃ ± v₃

Третья компонента, равна 0 у двумерных векторов. Двумерный вход не дополняется до трёхмерного — он лежит в плоскости, и напечатанный ноль показывает, как то же направление выглядит в трёх координатах

|u ± v|

Модуль равнодействующей: длина ответа, а не сумма длин входов. Совпадает с этой суммой только тогда, когда векторы смотрят строго в одну сторону, и именно поэтому отдельная строка нужна: по одним компонентам длину на глаз не оценить

Две или три компоненты

Оба размера принимаются, но у двух входов он должен совпадать. Правила сложить вектор на плоскости с вектором в пространстве нет: третьему числу одного из них не с чем было бы складываться

Нулевая сумма

Обычный исход, а не ошибка. Вектор плюс его точный минус даёт нулевой вектор: у двух стрелок равные длины и противоположные направления, и путь, который они описывают, заканчивается там же, где начался

Эта страница нужна, когда два вектора действуют на что-то одновременно и требуется их общий эффект. Две силы, приложенные к одному телу, две скорости, складываемые в течении, два перемещения, пройденные одно за другим, — всё это покомпонентное сложение, и равнодействующая здесь будет одним вектором, который сделал бы работу обоих сразу. Вычитание отвечает на другую половину того же вопроса: u − v ведёт от конца v к концу u, поэтому оно и лежит в основе расчётов относительного положения и относительной скорости, то есть ответов на вопрос «насколько одно ушло от другого». Складываются векторы так просто потому, что их компоненты не смешиваются между собой: каждое место в ответе зависит только от того же места у обоих входов, и никакого угла для этого знать не нужно. Принимаются и две, и три компоненты, но у обоих входов их должно быть поровну. Нулевая сумма — обычное дело: вектор плюс его минус даёт ноль, а ноль — вполне законный вектор. Следить нужно только за одним: напечатанный рядом модуль — это длина результата, а не сумма длин двух входов, и кроме случая, когда векторы смотрят строго в одну сторону, это разные числа. В этой разнице и состоит весь смысл: длину ответа нельзя получить, сложив две длины.

1. 3 4 + 1 2

   1. Компонента x: 3 + 1 = 4
   2. Компонента y: 4 + 2 = 6
   3. Компонента z: 0 + 0 = 0, потому что оба входа двумерные
   4. Модуль: √(16 + 36 + 0) = √52 = 7,211103

   Вход, с которым страница открывается, и случай, где виден каждый шаг. Оба вектора смотрят примерно в одну сторону, поэтому ответ длинный: 7,2111 против длин входов 5 и 2,2361, сумма которых дала бы 7,2361. Здесь эти два числа близки, но не равны, а равны они только тогда, когда векторы смотрят строго в одну сторону — одна из строк справочной таблицы именно такова, а во всех остальных случаях сумма выходит короче суммы двух длин.

2. 3 4 − 1 2

   1. Компонента x: 3 − 1 = 2
   2. Компонента y: 4 − 2 = 2
   3. Компонента z: 0 − 0 = 0
   4. Модуль: √(4 + 4) = √8 = 2,828427

   Те же два вектора, что и в первом примере, но выбран другой режим, и изменилось ровно одно: знак, с которым берётся второй вход. Ответ получается куда короче любого из входов, потому что векторы смотрят почти в одну сторону и разность оставляет от них немного. Переключаться между этим примером и первым — самый быстрый способ увидеть, что делает переключатель: компоненты 4 6 превращаются в 2 2, и разница между сложением и вычитанием здесь ровно вдвое больше второго вектора.

3. 1 2 3 + (−1) (−2) (−3)

   1. Компонента x: 1 + (−1) = 0
   2. Компонента y: 2 + (−2) = 0
   3. Компонента z: 3 + (−3) = 0
   4. Модуль: √(0 + 0 + 0) = 0

   Вектор, сложенный со своим минусом, даёт нулевой вектор. Ничего не сломалось: у двух стрелок одинаковая длина и противоположные направления, поэтому путь, который они описывают, заканчивается там же, где начался. Страница сообщает об этом, а не отказывается считать, и ещё одна строка справочной таблицы — тот же случай. Переключите тот же вход на вычитание, и ответ вместо нуля удвоится: выйдет 2 4 6 с модулем 7,4833 — яснее действие знака не покажешь.

4. −1 2 − 3 −5

   1. Компонента x: −1 − 3 = −4
   2. Компонента y: 2 − (−5) = 2 + 5 = 7
   3. Компонента z: 0 − 0 = 0
   4. Модуль: √(16 + 49) = √65 = 8,062258

   Случай, где знаки не сокращаются и арифметику приходится делать внимательно. Вычитание минус пяти прибавляет пять, поэтому компонента y вырастает до 7, а компонента x уходит в минус: первая компонента второго вектора больше по модулю. Результат длиннее любого из входов — так бывает всегда, когда векторы смотрят в противоположные стороны, и длина здесь самый ясный признак этого: компоненты −4 и 7 не выглядят длинным вектором, пока их не возвести в квадрат и не сложить.

У обоих векторов должно быть одинаковое число компонент, и у каждого — две или три: в панели три строки компонент, и при несовпадении третьему числу одного из входов не с чем было бы складываться. Двумерный вектор не дополняется до трёхмерного: он лежит в плоскости, и напечатанный в третьей строке 0 — это то, как то же направление выглядит в трёх координатах. Компоненты читаются как обычные числа: разделитель — точка с запятой, запятая или пробел, а запятая между двумя цифрами считается десятичным разделителем. Осторожно с разрядами: пробел здесь именно разделитель, поэтому скопированное откуда-то число 1 500 распадётся на два числа, 1 и 500, — а для двумерной страницы это ровно два числа, так что проверка пройдёт и ответ будет молча неверным. Разряды в этом поле не пишут вовсе: пишите 1500, а не 1 500. Справочная таблица показывает только сложение, потому что строится она без знания о выбранном режиме; вычитание — это те же строки с перевёрнутыми знаками второго вектора, и разобранные примеры ниже покрывают его отдельно. Напечатанный рядом с результатом модуль — это длина результата, а не сумма длин двух входов: сложить две длины и получить верный ответ можно только тогда, когда векторы смотрят строго в одну сторону, а при сложении вектора с его минусом выходит 0 вместо удвоенной длины — дальше этих двух случаев друг от друга не уйти. Четыре знака после запятой — это ширина записи, а не заявка на точность. Ничто здесь не знает, в чём были измерены компоненты, и ответ несёт ту же единицу измерения, что и они.

Что значит сложить два вектора?

Сложить два вектора — значит сложить их компоненты по позициям: первые с первыми, затем вторые, затем третьи, и три полученные суммы становятся компонентами ответа. Ничего не перемножается и никакой угол не нужен — именно поэтому сложение векторов устроено заметно проще их умножения: компоненты не смешиваются, и каждая компонента ответа зависит ровно от одной компоненты каждого входа.

Чем вычитание векторов отличается от сложения?

Одним знаком. Вычитание — это сложение, в котором у второго вектора сначала перевёрнуты знаки, поэтому u − v и u + (−v) — один и тот же расчёт, записанный двумя способами. Именно поэтому оба режима живут под одним переключателем: меняется ровно один знак, и поставить их рядом на одних и тех же входах — самый наглядный способ это увидеть. Вычтите 1 2 из 3 4 — получится 2 2, сложите — 4 6.

Может ли сумма оказаться нулевым вектором?

Да, и это правильный ответ, а не отказ. Вектор, сложенный со своим точным минусом, даёт ноль: у двух стрелок равные длины и противоположные направления, поэтому описываемое ими перемещение возвращает в начало. Страница напечатает 0 во всех трёх компонентах и модуль 0. Одна из строк справочной таблицы — как раз этот случай, а тот же вход в режиме вычитания даёт вместо нуля удвоенный вектор.

Обязательно ли у обоих векторов одинаковое число компонент?

Да. Правила сложения двумерного вектора с трёхмерным не существует, потому что третьему числу одного из них не с чем было бы складываться. У каждого входа может быть две или три компоненты — это ограничение панели, а не арифметики, — но число это должно совпадать, и страница скажет о несовпадении прямо, а не подставит молча ноль вместо недостающей компоненты.

Модуль суммы — это сумма модулей?

Нет, и это самая частая ошибка, которую страница хочет предотвратить. Модуль суммы равен сумме двух модулей только тогда, когда векторы смотрят строго в одну сторону; когда они смотрят в противоположные стороны, он может оказаться их разностью, а когда они перпендикулярны — он меньше любого из них. Причина в том, что компоненты могут частично сокращаться, а то, как именно они сократятся, зависит от направлений, а не от размеров.

Что будет, если вектор имеет три компоненты, а второй — две?

Страница откажет, а не дополнит недостающую третью компоненту нулём. Двумерный вектор — это вектор на плоскости, и он действительно то же самое, что трёхмерный вектор с нулём в третьей позиции, но это факт о том, как плоскость лежит в пространстве, а не разрешение складывать число с пустым местом. Если третья компонента равна нулю, выпишите её явно: 1 2 0 — и сложение пройдёт.

• Vector addition — the component-by-component sum, and the parallelogram rule that says the same thing geometrically, which is what the two input boxes and the resultant row implement — Wolfram MathWorld (United States)
• Vector subtraction — the difference of two vectors as the sum with the second one negated, which is why one control on this page serves both operations — Wolfram MathWorld (United States)
• Vector — the object being added, including the rule that two vectors may only be added when they have the same number of components and that the sum of a vector and its negative is the zero vector — Wolfram MathWorld (United States)