Калькулятор стандартной ошибки

Среднее: SE = s / √n s = √( Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) ) Доля: SE = s / √n s = √(p(1 − p)) × 100

SE

Стандартная ошибка — стандартное отклонение оценки и главный результат страницы. Она отвечает на вопрос об оценке, а не о данных: насколько выборочное среднее обычно удалено от среднего генеральной совокупности, если выборку повторить. Это то число, из которого строится доверительный интервал и на которое делится тестовая статистика, поэтому его стоит считать отдельно

s

Стандартное отклонение выборки, со знаменателем n − 1. Из него получается стандартная ошибка в режиме среднего, и оно печатается отдельной строкой, чтобы деление можно было проверить. Именно n − 1, а не n, делает его несмещённой оценкой разброса в генеральной совокупности: со знаменателем n изменчивость оказалась бы слегка заниженной, и занижение максимально как раз там, где выборки самые маленькие

n

Сколько наблюдений в выборке — количество, которое тоже печатается отдельной строкой. Оно стоит под квадратным корнем, поэтому стандартная ошибка уменьшается медленно: в десять раз больше данных дают стандартную ошибку примерно в три раза меньше. В режиме доли это объём выборки из поля ввода, а не количество, посчитанное по списку, потому что процент списка с собой не несёт

x̄

Выборочное среднее, которое печатается, чтобы у арифметики стандартного отклонения был видимый центр. В самой стандартной ошибке оно не участвует: стандартная ошибка — свойство разброса и объёма выборки, а не того, где лежат данные, поэтому набор можно сдвинуть на любую постоянную, и стандартная ошибка не изменится

p

Выборочная доля: в формуле это дробь, на панели — процент. В режиме доли она полностью заменяет стандартное отклонение: для вопроса «да или нет» изменчивость есть функция самого процента, максимальная при равном разделении и стремящаяся к нулю, когда процент приближается к 0 или к 100. Множитель 100 возвращает результат в процентные пункты, чтобы его можно было читать рядом с исходным процентом

Обращайтесь к нему, когда данные уже на руках и нужна стандартная ошибка оценки: чтобы построить доверительный интервал вручную, проверить число из отчёта или увидеть, какая часть ширины результата берётся из разброса данных, а какая — от объёма выборки. Печать стандартного отклонения и количества рядом с ней делает это разделение труда видимым: измените данные — сдвинется строка стандартного отклонения, измените только объём выборки — сдвинется строка стандартной ошибки, а стандартное отклонение останется на месте. Два режима существуют потому, что двум самым частым оценкам нужны разные входные данные. Среднему нужна выборка, поскольку заранее неизвестно, насколько разбросаны измерения; доле она не нужна, поскольку её разброс следует из её же значения, и именно поэтому опросы называют погрешность по одному лишь объёму выборки. Ни один из режимов не проверяет, достаточно ли выборка велика для того, чтобы оценка была примерно нормальной. Это зависит от скошенности исходного распределения, а для режима доли есть ещё более конкретное правило про n·p и n·(1 − p), которое страница не проверяет.

1. Значения по умолчанию: восемь чисел со стандартным отклонением около 2,14

   1. Количество: восемь чисел. Среднее: (2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9) / 8 = 40 / 8 = 5
   2. Сумма квадратов отклонений от 5 равна 32, поэтому выборочная дисперсия 32 / 7 = 4,5714
   3. Стандартное отклонение: √4,5714 = 2,1381
   4. Стандартная ошибка: 2,1381 / √8 = 2,1381 / 2,8284 = 0,7559

   Числа разбросаны по обе стороны от 5, но ни одно не стоит особняком — именно поэтому это удачный набор по умолчанию: среднее круглое, а стандартное отклонение нет, так что две последние строки невозможно перепутать между собой. Читать панель сверху вниз и есть смысл примера: 2,1381 — факт о данных, 0,7559 — факт об оценке, и между ними только деление на √8. Поля объёма выборки и процента в этом режиме не используются.

2. Девять чисел, подобранных так, чтобы стандартная ошибка равнялась ровно 1

   1. Среднее: (3 × 4 + (−3) × 4 + 0) / 9 = 0
   2. Квадраты отклонений: четыре девятки, ещё четыре девятки и нуль, в сумме 72
   3. Выборочная дисперсия: 72 / 8 = 9, значит стандартное отклонение равно 3
   4. Стандартная ошибка: 3 / √9 = 3 / 3 = 1

   Девять наблюдений — достаточно мало, чтобы знаменатель n − 1 был заметен на глаз: деление на 9 вместо 8 дало бы дисперсию 8 и стандартное отклонение 2,8284, а стандартная ошибка вышла бы 0,9428 вместо 1. Это и есть работа поправки — на маленькой выборке наблюдаемый разброс слегка занижает разброс в генеральной совокупности, и деление на единицу меньше количества это компенсирует. Пара n = 9 и s = 3 — та же самая, что на странице о доверительном интервале, где интервал получается ровно ±2,306: критическое значение t при восьми степенях свободы равно 2,306.

3. Доле не нужен список данных

   1. Доля как дробь: 60 % = 0,6
   2. Стандартное отклонение в процентных пунктах: √(0,6 × 0,4) × 100 = 0,4899 × 100 = 48,9898
   3. Стандартная ошибка: 48,9898 / √100 = 48,9898 / 10 = 4,899
   4. Набор данных не используется вовсе — строка количества показывает объём выборки из поля, а не число точек

   Поле с данными по-прежнему на экране и по-прежнему хранит список, и в ответе не используется ни одно число из него: в этом режиме изменчивость берётся из процента, а объём выборки — из своего поля. Поэтому строка стандартного отклонения читается как 48,99 — непривычное число для вопроса с двумя вариантами ответа. Это стандартное отклонение переменной «да или нет», закодированной нулём и сотней, и единственная его роль здесь — быть поделённым на √n. Та же конструкция встречается на странице об объёме выборки, где наихудший случай p = 0,5 используется для планирования исследования, когда процент ещё неизвестен.

4. Два наблюдения — там, где знаменатель n − 1 работает сильнее всего

   1. Среднее: 5
   2. Квадраты отклонений: 25 и 25, в сумме 50
   3. Выборочная дисперсия: 50 / 1 = 50, значит стандартное отклонение √50 = 7,0711
   4. Стандартная ошибка: 7,0711 / √2 = 7,0711 / 1,4142 = 5

   При двух наблюдениях стандартное отклонение — это просто половина расстояния между ними: знаменатель n − 1 оставляет одну степень свободы, и формула сводится к тому, что можно увидеть, а не вычислить. Стандартная ошибка тогда равна стандартному отклонению, делённому на √2, то есть 5. Это наименьшая выборка, которую страница принимает в режиме среднего, и на ней стоит попробовать один раз, чтобы увидеть, насколько широка оценка по двум числам: стандартная ошибка получается равной половине размаха данных.

Страница сообщает стандартную ошибку оценки и останавливается, не превращая её ни в интервал, ни в тест. Эта граница проведена намеренно: интервалу нужно критическое значение, которое зависит от доверительного уровня и от того, пришлось ли оценивать разброс по выборке, а тесту нужна вторая статистика для сравнения. И то и другое — на соседних страницах, а арифметика здесь служит входом для обеих, а не заменой любой из них. Режим среднего предполагает, что наблюдения независимы, а это нарушается при повторных измерениях одного и того же объекта, при подобранных парах и при группированных данных, например учениках внутри школ; во всех трёх случаях эффективный объём выборки меньше количества, и стандартная ошибка выходит заниженной. Он же предполагает, что список содержит все наблюдения, которые вы имели в виду: стандартная ошибка считается по тому, что набрано, и случайно выпавший выброс сужает её. У режима доли есть отдельная оговорка: его формула — приближение для больших выборок, которое плохо ведёт себя, когда успехов или неудач мало, поэтому процент, близкий к 0 или к 100, при небольшой выборке лучше описывать точным интервалом, а не этой стандартной ошибкой. Ни один из режимов не проверяет, смещена ли оценка, — а этого не обнаружит никакая стандартная ошибка.

Чем стандартное отклонение отличается от стандартной ошибки?

Стандартное отклонение показывает, насколько отдельные значения удалены от своего среднего; стандартная ошибка — насколько выборочное среднее удалено от среднего генеральной совокупности. Второе есть первое, делённое на √n, и это деление исчерпывает связь между ними — поэтому обе строки и печатаются. Стандартное отклонение — свойство данных, и оно не меняется от того, что данных становится больше, а стандартная ошибка продолжает уменьшаться с ростом выборки. Полезная проверка на панели: измените числа — сдвинутся обе строки; измените только количество — стандартное отклонение останется где было, а стандартная ошибка упадёт.

Почему страница делит на n − 1, а не на n?

Потому что при измерении разброса центром служит среднее самой выборки, а оно лежит ближе к данным, чем истинное среднее генеральной совокупности, — и наивное среднее квадратов отклонений оказывается систематически чуть заниженным. Деление на единицу меньше количества это компенсирует. Сильнее всего эффект на маленьких выборках: при двух наблюдениях он удваивает дисперсию, а к сотне наблюдений превращается в поправку в 1 %. Деление на n не ошибочно, если нужно описать имеющуюся выборку; оно ошибочно, если нужно оценить разброс совокупности, из которой эта выборка взята, — а стандартная ошибка нужна именно для второго.

Как посчитать стандартную ошибку доли, не имея данных?

Доля сама даёт свою изменчивость, поэтому список не нужен — только объём выборки и процент. Закодируйте два исхода нулём и сотней, и стандартное отклонение окажется равным √(p(1 − p)) × 100: оно максимально при равном разделении и стремится к нулю, когда процент приближается к любому из концов. Для 60 % из 100 человек это √(0,6 × 0,4) × 100 = 48,9898, а деление на √100 даёт стандартную ошибку 4,899 процентного пункта. Та же пара входных данных нужна странице о погрешности, где стандартная ошибка умножается на критическое значение и превращается в «плюс-минус».

Стандартная ошибка уменьшается, если добавить данных?

Да, но только пропорционально квадратному корню из объёма выборки. Переход от 100 наблюдений к 400 уменьшает стандартную ошибку вдвое; следующее такое же уменьшение стоит 1600 наблюдений. Поэтому при планировании исследования следить нужно именно за стандартной ошибкой и поэтому улучшение от очень большой выборки по сравнению с просто большой легко переоценить. Строка стандартного отклонения, напротив, остаётся примерно на месте: больше данных не делает саму генеральную совокупность менее изменчивой, они лишь уточняют оценку её центра.

Что означает стандартная ошибка, равная 0?

Либо то, что все наблюдения в выборке одинаковы, либо то, что доля равна 0 % или 100 %: в обоих случаях формуле не с чем работать, и она возвращает нуль. Буквально стандартная ошибка, равная нулю, означает, что оценка точна, а такое утверждение данные подтвердить не могут: выборка из четырёх одинаковых значений — свидетельство того, что разброс мал, а не доказательство того, что его нет. Страница возвращает нуль, а не ошибку, потому что арифметика верна и причина видна по остальным строкам, но к стандартной ошибке ровно ноль стоит относиться как к признаку того, что выборка слишком мала или слишком однородна, чтобы что-то говорить об изменчивости.

Это то же самое, что калькулятор центральной предельной теоремы?

Они считают одну и ту же величину по разным входным данным, и какая страница нужна, зависит от того, что у вас есть. Эта страница берёт выборку — набор чисел или процент вместе с объёмом — и нужна, когда данные уже на руках. Страница о центральной предельной теореме берёт стандартное отклонение генеральной совокупности и объём выборки, то есть значения, которые существуют до сбора данных, и к ней обращаются при планировании исследования или при разборе того, как стандартная ошибка откликается на n. Их разделяет ровно один шаг оценивания, поэтому результаты совпадают всякий раз, когда выборочное стандартное отклонение случайно оказывается равным значению для генеральной совокупности.

• 1.3.5.6. Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods (the sample standard deviation and the n − 1 denominator the standard error is built from) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the sampling distribution of a statistic, whose spread is what the standard error measures) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 1.3.5.1. Measures of Location — e-Handbook of Statistical Methods (the sample mean printed alongside the spread, and why the two are reported together) — National Institute of Standards and Technology (NIST)