Калькулятор доверительного интервала

Среднее: x̄ ± t(α/2, n − 1) · s / √n Доля: p̂ ± z(α/2) · √( p̂ (1 − p̂) / n )

x̄

Выборочное среднее — измеренное значение, в тех единицах, в которых измерены данные. Интервал строится вокруг него, поэтому при его сдвиге сдвигается весь диапазон

s

Выборочное стандартное отклонение — разброс наблюдений вокруг их собственного среднего. Здесь стоит s, а не σ, потому что в руках только выборка; деление на квадратный корень из объёма выборки и превращает его в стандартную ошибку

n

Сколько наблюдений в выборке, не меньше двух. Оно входит в расчёт дважды: внутрь стандартной ошибки и ещё раз через число степеней свободы t-квантиля, которое равно n − 1

t(α/2, n − 1)

Критическое значение для среднего: точка распределения Стьюдента с n − 1 степенями свободы, оставляющая по половине α в каждом хвосте. Оно всегда чуть больше критического значения нормального распределения и заметно больше на малых выборках — так распределение Стьюдента расплачивается за то, что s был оценён, а не известен заранее

p̂

Выборочная доля, вводимая в процентах. Весь расчёт для доли остаётся в процентных пунктах, поэтому границы, предельная ошибка и стандартная ошибка живут в той же шкале, что и введённое число

z(α/2)

Критическое значение для доли: 1,9600 при 95 % уверенности и одно и то же при любом объёме выборки, потому что долю сравнивают с нормальным распределением, а не с распределением Стьюдента. В строке для доли оно встречается дважды: один раз снаружи корня и один раз внутри, через p̂

Обращайтесь к нему, когда есть выборка и нужно сказать, насколько точна полученная по ней оценка: среднее по нескольким измерениям или доля по опросу. Это честный способ сообщить одно число: среднее 50 по ста наблюдениям и среднее 50 по пяти — разные утверждения, и разница между ними и есть интервал, потому что объём выборки стоит в знаменателе стандартной ошибки. Две настройки решают всё остальное. Выбирайте ветвь среднего, когда величина — это измерение: длина, время, балл; и ветвь доли, когда это счёт людей из общего числа, введённый в процентах. Затем выберите доверительный уровень: 95 % — это обычай, а три предложенных уровня покрывают почти все публикуемые цифры. Заметьте, чего интервал не делает: он не говорит, где находится истинное значение, и не говорит, какая доля будущих наблюдений попадёт внутрь. Это утверждение о процедуре оценивания, а не о данных.

1. Среднее по выборке из 100 измерений

   1. Стандартная ошибка: 12 / √100 = 12 / 10 = 1,2
   2. Число степеней свободы: n − 1 = 99, что даёт критическое значение 1,9842 при 95 % уверенности
   3. Предельная ошибка: 1,9842 × 1,2 = 2,3811
   4. Границы: 50 − 2,3811 = 47,6189 и 50 + 2,3811 = 52,3811

   Обратить внимание стоит на критическое значение: 1,9842, а не привычное 1,96. Этот зазор — плата распределения Стьюдента за то, что разброс оценён по тем же ста наблюдениям, и он уменьшается с ростом выборки: при n = 1000 от него почти ничего не остаётся. Заметьте также, что поле доли по-прежнему хранит 60 и ничего не делает: обе группы полей всегда на экране, а какой из них читает формула, решает переключатель вверху.

2. Доля по опросу 1000 человек

   1. Выборочная доля 50 % — это 0,5 в долях единицы, и 1 − p̂ = 0,5 тоже
   2. Стандартная ошибка: √( 0,5 × 0,5 / 1000 ) = 0,015811, то есть 1,5811 процентного пункта
   3. Критическое значение: 1,96 при 95 % уверенности, одинаковое при любом объёме выборки
   4. Предельная ошибка: 1,96 × 1,5811 = 3,099 процентного пункта, отсюда границы 46,901 % и 53,099 %

   Ни одна из величин в этом примере не является долей единицы: стандартная ошибка равна 1,58 процентного пункта, а не 0,0158. Такова шкала, принятая на странице для доли, и поэтому здешняя стандартная ошибка выглядит крупной рядом с ошибкой из первого примера — она измеряет другое, долю, а не измерение. Тот же расчёт стоит за известным утверждением, что опрос примерно тысячи человек несёт погрешность около трёх процентных пунктов.

3. Те же 100 наблюдений, но с 99 % уверенности

   1. Стандартная ошибка не изменилась: 12 / √100 = 1,2, потому что в выборке ничего не поменялось
   2. Двигается только критическое значение: 2,6264 вместо 1,9842
   3. Предельная ошибка: 2,6264 × 1,2 = 3,1517
   4. Границы: 50 ± 3,1517, то есть от 46,8483 до 53,1517

   Сравнение с первым примером точно показывает, что покупает доверительный уровень: те же данные, та же стандартная ошибка и интервал на 32 % шире. Повышение уровня ничего не выяснило — информация в выборке не изменилась, изменилось лишь утверждение о ней. Поэтому 95 % и стали обычаем, и поэтому же приводить 99-процентный интервал, не называя уровня, — это вводить в заблуждение, а не просто перестраховываться.

Обе ветви предполагают, что наблюдения независимы друг от друга. Выборка из 500 показаний одного прибора или из 500 учеников из 20 классов несёт меньше информации, чем полагает арифметика, и интервал выходит уже, чем следовало бы. Обе ветви также предполагают, что оценка распределена вокруг истины примерно симметрично: ветвь среднего опирается на то, что выборка примерно нормальна, или на то, что n достаточно велико для снисходительности распределения Стьюдента, а ветвь доли из двух более хрупкая — вблизи 0 % или 100 % формула просто не та, поэтому страница и отказывается принимать эти два значения, вместо того чтобы уверенно вернуть узкий интервал вокруг доли, которую так оценить нельзя. Конечные совокупности здесь не корректируются. Если выборка составляет большую долю небольшой совокупности, поправку применяет страница об объёме выборки, и она запросит меньше людей, чем следует из этой страницы.

Что на самом деле означает доверительный интервал?

Это диапазон, построенный процедурой, которая при 95-процентной настройке накрывает истинное значение в 95 % выборок, — а не 95-процентная вероятность того, что истинное значение лежит внутри именно этого диапазона. Разница важна потому, что истинное значение фиксировано и неизвестно: оно либо внутри только что посчитанных границ, либо снаружи, и никакой вероятности к этому не приписано. Число описывает надёжность метода. На практике из него читают, что значения ближе к середине интервала правдоподобнее значений у его краёв, а значение вне интервала находится в некотором противоречии с данными, — и это мост к проверке гипотез на странице о p-значении.

Почему для среднего берётся t, а для доли z?

Потому что для среднего вы оцениваете и разброс, и центр, а для доли — нет. Стандартная ошибка среднего равна s / √n, и s вычисляется по той же самой выборке, поэтому интервал обязан учесть эту дополнительную неопределённость — именно это и делает распределение Стьюдента, и именно поэтому его критическое значение при n = 100 равно 1,9842, а не 1,96. У доли такой второй оценки нет: разброс оценки следует из самой доли, через p̂(1 − p̂), поэтому нормальное распределение применимо при любом объёме выборки. Обе группы полей всегда видны на экране; какой из них читает расчёт, решает переключатель вверху.

Чем предельная ошибка отличается от стандартной ошибки?

Стандартная ошибка — это одна единица неопределённости, а предельная ошибка — это сколько таких единиц охватывает интервал. Предельная ошибка равна стандартной, умноженной на критическое значение, поэтому при 95 % уверенности и большой выборке она примерно вдвое больше стандартной ошибки (в 1,96 раза), а при 99 % — примерно в два с половиной раза (2,5758). Обе строки печатаются для того, чтобы двухшаговая структура была видна: если нужен интервал поуже, атаковать надо строку стандартной ошибки, потому что только она откликается на сбор дополнительных данных. Критическое значение меняется лишь тогда, когда вы меняете доверительный уровень.

Может ли интервал выйти ниже 0 % или выше 100 %?

Да, и страница его напечатает, а не станет молча обрезать. При 50 % и выборке из двух наблюдений границы равны −19,3 % и 119,3 %, и это не ошибка: по двум наблюдениям о доле действительно почти ничего не известно, и интервал, который об этом говорит, честнее интервала, зажатого в пределы, которые доля вообще может принимать. Читайте это как «данная выборка не позволяет ничего полезного оценить» и собирайте больше данных. Отказывается страница от другого: от доли, введённой ровно как 0 % или 100 %, потому что в этих двух точках формула делит на разброс нулевой ширины и вернула бы интервал нулевой ширины — утверждение о полной определённости, которого метод не выдерживает.

Где таблица критических значений?

На этой странице её нет, и это сделано намеренно. Всё, для чего здесь могла бы понадобиться таблица критических значений, уже сделано: вы выбираете уровень, и единственное значение, которое этот уровень подразумевает, печатается отдельной строкой. Таблице пришлось бы ещё и выбрать доверительный уровень, поэтому читатель, переключившийся на 99 %, смотрел бы на таблицу, противоречащую панели над ней, — то есть на страницу, спорящую сама с собой. У распределения Стьюдента есть и дополнительная сложность: его критическое значение зависит не только от уровня, но и от числа степеней свободы, а это уже целая сетка, а не таблица. Для такого поиска есть отдельный калькулятор критического значения, принимающий уровень и число степеней свободы.

• 1.3.6.7.1. Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the source of the critical values this page multiplies the standard error by, and of the tail areas they leave behind) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 (the standard deviation the standard error is built from, and why a spread estimated from a sample is itself an estimate with a distribution) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 3.1 Terminology — Introductory Statistics 2e (relative frequency as an estimate of a probability, which is the step that lets a sample proportion stand in for the population proportion) — OpenStax (Rice University)