Калькулятор объёма выборки

n₀ = z² · p (1 − p) / e² малая совокупность: n = n₀ / ( 1 + (n₀ − 1) / N )

z

Критическое значение для доверительного уровня: 1,9600 при 95 %, 1,6449 при 90 % и 2,5758 при 99 %. Оно печатается отдельной строкой, потому что это единственное число в формуле, которое берётся из доверительного уровня, а не из ваших предположений о совокупности

p

Ожидаемая доля, которую вы рассчитываете найти, в виде дроби. Это единственный вход, который является догадкой, и входит он как p(1 − p), а это выражение максимально при p = 0,5: значит, 50 % — то предположение, которое даёт самую большую и самую безопасную выборку

e

Погрешность в виде дроби — полуширина, которую вы готовы принять, в тех же единицах, что и доля. В знаменателе она возводится в квадрат, поэтому её уменьшение вдвое увеличивает выборку примерно вчетверо

n₀

Объём выборки для совокупности настолько большой, что её размер уже не важен. Это и есть ответ, когда совокупность неизвестна, а когда она известна — это вход для поправки, а не окончательный ответ

N

Объём совокупности; вводится как 0, когда он неизвестен или практически неограничен. Поправка делит n₀ на число, большее доли n₀/N, поэтому исправленная выборка всегда выходит меньше N: попросить больше людей, чем существует, эта формула породить не может

Обращайтесь к нему до сбора данных, когда стоимость выборки реальна: опрос с вознаграждением за каждый ответ, лабораторное измерение с ценой за образец, клиническое исследование с планом набора. Порядок решений такой: зафиксируйте погрешность, с которой готовы жить, зафиксируйте доверительный уровень, затем предположите долю и прочитайте объём выборки. Только первое из этого — суждение об исследовании; остальные два — обычай или догадка. Если ответ не по средствам, честный ход — расширить погрешность и сказать об этом в отчёте, потому что погрешность, которую вы не можете оплатить, не является целью. Вводите объём совокупности всегда, когда совокупность действительно мала — меньше нескольких тысяч, — потому что там поправка существенна, а её игнорирование означает набор куда большего числа людей, чем нужно исследованию.

1. Всероссийский опрос при 95 % уверенности и ±5 пунктах

   1. Критическое значение при 95 % уверенности: 1,96
   2. При p = 0,5 произведение p(1 − p) равно 0,25 — своему наибольшему возможному значению
   3. n₀ = 1,96² × 0,25 / 0,05² = 3,8416 × 0,25 / 0,0025 = 384,1459
   4. Округляем вверх до целого человека: 385 ответов

   385 — то самое число, из которого выросло известное утверждение, что опрос примерно тысячи человек точен до трёх пунктов: сузьте погрешность до ±3, и ответ станет 1068, откуда эта цифра и берётся. Объём совокупности оставлен нулём, потому что всероссийский опрос — ничтожная доля страны, и при таком отношении поправка изменила бы ответ меньше чем на одного человека.

2. Тот же опрос с более жёсткой погрешностью ±3 пункта

   1. Критическое значение не изменилось: 1,96, потому что доверительный уровень остался прежним
   2. n₀ = 1,96² × 0,25 / 0,03² = 0,9604 / 0,0009 = 1067,0719
   3. Округляем вверх: 1068 ответов
   4. Сравните с 385: погрешность уменьшилась в 1,667 раза, а выборка выросла в 2,78 раза, то есть в 1,667²

   Точность покупается квадратично. Переход от ±5 к ±3 пунктам — это не рост работы на 67 %, а рост на 178 %, потому что погрешность в знаменателе возводится в квадрат. Практическое следствие: у того, насколько точно можно дёшево провести опрос, есть нижняя граница, и заявлять погрешность жёстче примерно ±3 пунктов означает выборку в тысячи человек — а это как раз тот диапазон, где смещение из-за неответов начинает значить больше, чем ошибка выборки, которой управляет формула.

3. Опрос сотрудников компании из 1000 человек

   1. Непоправленное значение по-прежнему 384,1459, потому что оно ещё ничего не знает о совокупности
   2. Поправка: 384,1459 / ( 1 + 383,1459 / 1000 ) = 384,1459 / 1,3831459 = 277,73
   3. Округляем вверх: 278 сотрудников
   4. Это 28 % коллектива вместо 38 %, которые дало бы непоправленное значение

   Именно поправка делает опросы малых совокупностей доступными: 278 вместо 385, экономия больше сотни интервью при той же заявленной погрешности. Она растёт по мере того, как выборка занимает всё большую долю совокупности. Для 100 сотрудников ответ равен 80 — выбрать больше, чем у вас есть, нельзя, — а для миллиона сотрудников поправка стоит одного человека, поэтому 0 для неизвестной совокупности и есть разумное значение по умолчанию, а не упрощение.

Формула определяет объём выборки ответов, а не списка приглашений. Если треть приглашённых не отвечает, то 385 ответов означают, что пригласить надо около 580 человек, а если ответившие систематически отличаются от неответивших, никакой объём выборки не исправит возникшее смещение — он лишь сделает ошибку выборки меньше полной ошибки. Модель также предполагает, что каждый ответ — независимое извлечение из совокупности, а это нарушается при группированном отборе: опрос 400 учеников из 8 классов имеет эффективную выборку гораздо ближе к 8, и число с этой страницы стоит умножить на коэффициент дизайна, прежде чем им пользоваться. Оценка сделана для одной доли; среднее требует вместо неё стандартного отклонения, которого эта страница не принимает, а опрос, который будут разбирать по подгруппам, нужно рассчитывать на самую маленькую подгруппу, а не на целое. И наконец, все три предложенных доверительных уровня — это обычаи, и ни один из них не учитывает нескольких сравнений, которые реальный анализ обычно делает.

Сколько ответов мне нужно?

Для обычных ±5 процентных пунктов при 95 % уверенности — 385, а для ±3 пунктов — 1068. Эти два числа покрывают большинство публикуемых опросов, и оба предполагают совокупность настолько большую, что её размер не играет роли. Если совокупность мала настолько, что вы могли бы охватить заметную её долю, введите её размер, и поправка снизит цифру: 1000 сотрудников требуют 278 ответов вместо 385, а 200 сотрудников — 132. Отталкивайтесь сначала от погрешности, потому что именно это число ваша аудитория и прочитает.

Почему ожидаемая доля по умолчанию равна 50 %?

Потому что p(1 − p) максимально при p = 0,5, а объём выборки пропорционален этому произведению, так что 50 % даёт самый большой ответ, какой только может потребоваться. Это и делает такую долю безопасным предположением, когда вы действительно не знаете: опрос, вернувшийся с 60 %, будет иметь погрешность чуть лучше запланированной. Быть конкретнее выгодно: при p = 90 % множитель падает с 0,25 до 0,09, поэтому та же погрешность требует 36 % выборки. Берите значение, отличное от 50 %, только если у вас есть защитимое основание — например, предыдущая волна того же опроса.

Что делает поправка на конечную совокупность?

Она уменьшает выборку, когда совокупность достаточно мала, чтобы бесповторный отбор из неё заметно снижал неопределённость. Сила эффекта зависит от того, какую долю совокупности вы охватываете: для 1000 сотрудников поправка снимает 107 человек из 385 и оставляет 278, а для 100 сотрудников ответ падает до 80. Вводите 0 вместо объёма совокупности, когда он неизвестен или очень велик, и вводите настоящее число, когда совокупность меньше нескольких тысяч, — это то поле, которое чаще всего меняет уже посчитанный ответ.

На какой погрешности и каком уровне уверенности остановиться?

±5 пунктов при 95 % — значение по умолчанию в большинстве публикуемых работ, ±3 пункта — там, где решение зависит от близкого результата, ±10 пунктов — для поисковых работ, где важно только большое различие. По уровню уверенности: 95 % — обычай, а 99 % стоят примерно на 73 % больше выборки ради интервала, который шире лишь на треть. Прежде чем ужесточать любой из двух параметров, посмотрите, сколько стоит ответ: ±3 пункта при 99 % уверенности требуют 1843 ответов, то есть примерно впятеро больше значения по умолчанию. Если это не по средствам, сообщите более широкую погрешность, а не набирайте выборку, которую не сможете завершить.

Почему ответ округляется вверх, до целого человека?

Потому что дробное число — это точная арифметика, а набрать можно только целое, и два обычая перевода одного в другое указывают в разные стороны. Округление до ближайшего могло бы превратить 384,1459 в 384, а это недотягивает до целевой погрешности на волосок — тогда как цель вы и заказывали. Округление вверх гарантирует, что погрешность будет достигнута или улучшена, стоит не более одного лишнего интервью и совпадает с тем, как объём выборки записывают в протоколе, где 385 — это обязательство, а 384,1459 — промежуточное значение.

Почему на этой странице нет таблицы объёмов выборки?

Потому что нужная здесь таблица — это сетка «уровень уверенности × погрешность», а эту сетку уже считает панель. Таблица, напечатанная при фиксированных 95 %, противоречила бы панели в тот момент, когда вы переключились на 99 %, а страница, спорящая сама с собой, хуже отсутствия таблицы: читателю пришлось бы решать, какому из двух чисел верить. Вторая причина в том, что таблице пришлось бы ещё и выбрать долю, а 50 % — правильный выбор лишь до тех пор, пока остаётся безопасным значением по умолчанию. Измените уровень уверенности, погрешность, долю или объём совокупности — и ответ пересчитается, а это и есть всё содержание той таблицы, которую ищут.

• 3.1 Terminology — Introductory Statistics 2e (relative frequency approaching probability as a sample grows, which is the property that makes a target margin of error meaningful in advance) — OpenStax (Rice University)
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the distribution of an estimate, which is what the margin of error is a quantile of) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 1.3.6.7.1. Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the cumulative function the critical values come from; the same values, used in reverse here to size a sample rather than to bound an estimate) — National Institute of Standards and Technology (NIST)