O que é a conta de subtração armada?

É subtrair números do jeito que eles se escrevem no papel: alinhe os dígitos por casa, trabalhe da casa das unidades para a esquerda e peça dez emprestado à coluna seguinte sempre que o dígito de cima for pequeno demais. Ela dá a mesma resposta que uma calculadora dá, com os passos intermediários guardados em vez de descartados.

O que significa pedir emprestado?

Tomar uma unidade da coluna da esquerda e gastá-la aqui como dez. 4 − 7 não dá, então uma dezena atravessa e a coluna passa a ler 14 − 7 = 7. A coluna de onde ela veio fica uma unidade menor, e é por isso que cada empréstimo mexe em duas colunas e não em uma.

Empréstimo é a mesma coisa que reagrupamento?

É — reagrupamento, renomeação e troca são o mesmo movimento com nomes diferentes, e qual palavra a escola usa é questão de moda. Um empréstimo sempre troca uma unidade da casa seguinte à esquerda por dez unidades desta, então nada é criado nem destruído.

Por que a corrente de empréstimos termina em zero?

Porque a coluna mais alta nunca pede emprestado. Um empréstimo só acontece quando uma coluna não cobre o dígito de baixo, e na coluna mais alta do maior número não há mais nada acima dela de onde tomar emprestado — a corrente para ali. O zero final é essa parada, e a corrente tem uma entrada mais do que os empréstimos que você de fato vê.

Como confiro a resposta?

Some a diferença de volta ao subtraendo e veja se o minuendo reaparece. 1.234 − 567 = 667, e 667 + 567 = 1.234. Essa conferência é exata e custa uma soma em colunas, e é por isso que subtração e adição são ensinadas como um procedimento só, com os sinais trocados. É o jeito mais direto de conferir a subtração pela soma.

Posso subtrair um número maior de um menor?

Pode, e a resposta volta negativa. A conta continua sendo feita do maior menos o menor, porque um procedimento coluna por coluna precisa que os dígitos de cima sejam os maiores em algum momento; só o sinal da diferença muda. 3 − 5 é feita como 5 − 3 = 2 e informada como −2.

Calculadora de subtração

Resultado

667

Diferença

Empréstimos: 1, 1, 1, 0

Uma calculadora de subtração faz a conta de subtração armada, tirando um número inteiro de outro do jeito que se escreve no papel, coluna por coluna, e mostra o empréstimo que anda para a esquerda a cada passo. Ela exibe o serviço: a diferença volta com o dígito escrito em cada casa e uma corrente de empréstimos com uma entrada por coluna. O padrão tira 567 de 1.234 e chega a 667, pedindo empréstimo em cada coluna que não cobre o dígito de baixo. Só números inteiros são aceitos, e os dois podem estar na ordem contrária — a conta continua correndo do maior menos o menor. O que a página faz é a conta que se escreve à mão, com os passos guardados em vez de descartados, e é isso que ela tem de diferente de uma subtração comum de calculadora.

1.234 − 567 resolvido uma coluna por vez

Coluna	Dígitos	Empréstimo recebido	Resultado bruto	Dígito escrito	Empréstimo cedido
0	4 - 7	0	-3	7	1
1	3 - 6	1	-4	6	1
2	2 - 5	1	-4	6	1
3	1 - 0	1	0	0	0

Uma linha por coluna, lida da casa das unidades para cima, que é a direção em que a conta de fato corre. A coluna Dígitos mostra de quanto se tira o quê, e como a conta corre sempre do maior menos o menor, ela mostra o par de dígitos como a conta o encontra e não como ele foi digitado — um par digitado como 3 − 5 aparece ali como 5 − 3. O Resultado bruto é a subtração da própria coluna antes de qualquer empréstimo chegar da esquerda, então ele pode ser negativo; o Empréstimo cedido vale 1 exatamente quando ele é, e o dígito escrito é aquele valor bruto completado com dez. O Empréstimo recebido da primeira linha é zero porque não há nada à direita dela, e o Empréstimo cedido da última linha é zero porque não há nada à esquerda dela. Os números de coluna são inteiros e as cadeias de dígitos são notação, então a tabela é idêntica em todos os dez idiomas que o site atende.

Fórmula

coluna k: bruto = dígito_k(minuendo) − empréstimo_recebido − dígito_k(subtraendo) empréstimo cedido = 1 se bruto < 0, senão 0 dígito escrito = bruto + 10 × empréstimo cedido

minuendo: O minuendo: o número de que se tira, um inteiro não maior que um trilhão. Ele fica na linha de cima da conta, e toda coluna é lida contra os dígitos dele — inclusive as colunas em que ele já não tem dígito, que contam como zero.
subtraendo: O subtraendo: o número tirado, escrito embaixo e alinhado pela casa das unidades. Ele pode ser o maior dos dois, e nesse caso a conta corre na ordem contrária e a diferença recebe um sinal de menos.
coluna k: A k-ésima casa a partir da direita, contando a casa das unidades como zero. Uma coluna só pode ser resolvida depois da que está à direita dela, porque o empréstimo viaja para a esquerda — e é por isso que a casa das unidades decide todas as outras acima.
empréstimo: O 1 tomado da coluna seguinte à esquerda quando o dígito de cima é menor que o de baixo. Ele vale dez na coluna que o recebe, então 4 − 7 vira 14 − 7, e a coluna de onde ele veio perde uma unidade.
diferença: A resposta, e também a medida contra a qual a corrente de empréstimos é lida: a corrente tem uma entrada por coluna do maior número, então a última entrada dela é sempre 0. Zeros à esquerda nunca são escritos, então 099 é a resposta 99.

Recorra a esta página para tirar um número inteiro de outro quando a conta precisar ser mostrada e não apenas respondida: para ensinar empréstimo no ponto em que uma coluna não cobre o dígito de baixo, ou para conferir uma diferença feita à mão. A conferência que anda junto é a soma — some a diferença de volta ao subtraendo e o minuendo deve reaparecer.

Exemplos resolvidos

1.234 − 567
1. Casa das unidades: 4 − 7 não dá, então tome 1 emprestado da casa das dezenas e leia 14 − 7 = 7
2. Casa das dezenas: o 3 já perdeu uma unidade para aquele empréstimo, então 2 − 6 também não dá — peça de novo e leia 12 − 6 = 6
3. Casa das centenas: o 2 também perdeu uma, então 1 − 5 não dá — peça e leia 11 − 5 = 6
4. Casa dos milhares: o 1 perdeu uma, sobrando 0 − 0 = 0
5. Os dígitos escritos, da casa mais alta para baixo, são 0, 6, 6, 7
6. A diferença é 667 e a corrente de empréstimos é 1, 1, 1, 0
É o caso padrão, e o que mostra por que a conta é escrita: cada coluna que pede empréstimo deixa a coluna de cima uma unidade menor, então o empréstimo chega antes de os dígitos daquela coluna serem lidos. A última entrada é 0 porque a coluna mais alta não tem nada acima dela de onde tomar emprestado — esse zero é a corrente parando, e não um passo que faltou.
1.000 − 1, com empréstimo através dos zeros
1. Casa das unidades: 0 − 1 não dá, então peça emprestado à casa das dezenas
2. A casa das dezenas tem um 0 e não pode emprestar, então ela pede emprestado à casa das centenas primeiro
3. A casa das centenas também tem um 0, então ela pede emprestado à casa dos milhares, o que transforma 1.000 em 990 com dez nas centenas
4. Emprestar uma dessas dezenas para a casa das dezenas deixa 9 ali e dez na casa das unidades
5. Casa das unidades: 10 − 1 = 9. Casa das dezenas: 9 − 0 = 9. Casa das centenas: 9 − 0 = 9
6. A diferença é 999 e a corrente de empréstimos é 1, 1, 1, 0
A corrente tem as mesmas quatro entradas do exemplo padrão, e é esse o ponto: o empréstimo atravessa toda a largura do número e a resposta é o complemento para nove. Um zero no meio não é um lugar que possa emprestar — ele precisa pedir emprestado à esquerda primeiro, e no papel é essa corrente riscada que os professores escrevem por cima da conta.
3 − 5, em que a resposta fica negativa
1. O número de cima é menor que o de baixo, então a subtração corre na ordem contrária: 5 − 3
2. Casa das unidades: 5 − 3 = 2, sem nada para pedir emprestado
3. Os dígitos escritos são apenas 2
4. Como os dois números foram trocados de lugar, a resposta carrega um sinal de menos
5. A diferença é −2 e a corrente de empréstimos é 0
A conta corre sempre do maior número menos o menor, então a coluna de dígitos da tabela abaixo nunca mostra uma linha negativa — o sinal de menos mora na resposta e em nenhum outro lugar. É isso que torna a corrente de empréstimos legível: ela tem uma entrada por coluna do maior número, o que não seria um comprimento fixo se as colunas pudessem correr ao contrário.

Limitações

Só números inteiros são aceitos. Decimais também podem ser subtraídos em colunas, mas só depois de alinhados pela vírgula e completados com zeros, e isso muda o que uma coluna significa — então os decimais são recusados na hora do cálculo em vez de serem tratados silenciosamente como inteiros, e uma entrada como 12,5 não produz resultado. Entradas negativas são recusadas pelo mesmo tipo de razão: um sinal não é um dígito e precisaria de uma coluna e de uma regra próprias. São exatamente dois números; uma cadeia de subtrações são várias destas contas uma depois da outra. Cada número é limitado a um trilhão, 1.000.000.000.000, e acima disso a entrada é recusada em vez de calculada. Quando o segundo número é o maior, a resposta é negativa, mas os dígitos mostrados na conta são os do maior menos o menor, então a tabela não se lê a partir dos números como foram digitados. A linha Empréstimos é impressa como texto puro, exatamente como foi gerada, com uma entrada por coluna separada por vírgulas; a Diferença, sendo número, passa pela localização e usa o ponto de milhar. Com minuendo 1.234 e subtraendo 1 as duas tipografias aparecem na mesma tela — a Diferença diz 1.233 e os Empréstimos dizem 0, 0, 0, 0.

Perguntas frequentes

O que é a conta de subtração armada?: É subtrair números do jeito que eles se escrevem no papel: alinhe os dígitos por casa, trabalhe da casa das unidades para a esquerda e peça dez emprestado à coluna seguinte sempre que o dígito de cima for pequeno demais. Ela dá a mesma resposta que uma calculadora dá, com os passos intermediários guardados em vez de descartados.
O que significa pedir emprestado?: Tomar uma unidade da coluna da esquerda e gastá-la aqui como dez. 4 − 7 não dá, então uma dezena atravessa e a coluna passa a ler 14 − 7 = 7. A coluna de onde ela veio fica uma unidade menor, e é por isso que cada empréstimo mexe em duas colunas e não em uma.
Empréstimo é a mesma coisa que reagrupamento?: É — reagrupamento, renomeação e troca são o mesmo movimento com nomes diferentes, e qual palavra a escola usa é questão de moda. Um empréstimo sempre troca uma unidade da casa seguinte à esquerda por dez unidades desta, então nada é criado nem destruído.
Por que a corrente de empréstimos termina em zero?: Porque a coluna mais alta nunca pede emprestado. Um empréstimo só acontece quando uma coluna não cobre o dígito de baixo, e na coluna mais alta do maior número não há mais nada acima dela de onde tomar emprestado — a corrente para ali. O zero final é essa parada, e a corrente tem uma entrada mais do que os empréstimos que você de fato vê.
Como confiro a resposta?: Some a diferença de volta ao subtraendo e veja se o minuendo reaparece. 1.234 − 567 = 667, e 667 + 567 = 1.234. Essa conferência é exata e custa uma soma em colunas, e é por isso que subtração e adição são ensinadas como um procedimento só, com os sinais trocados. É o jeito mais direto de conferir a subtração pela soma.
Posso subtrair um número maior de um menor?: Pode, e a resposta volta negativa. A conta continua sendo feita do maior menos o menor, porque um procedimento coluna por coluna precisa que os dígitos de cima sejam os maiores em algum momento; só o sinal da diferença muda. 3 − 5 é feita como 5 − 3 = 2 e informada como −2.

Referências

Subtraction — the operation itself, and the fact that a difference can be checked by adding it back — Wolfram MathWorld (United States)
Base — how a digit's worth comes from the column it sits in, which is why a borrow is worth exactly ten — Wolfram MathWorld (United States)
Subtraction with regrouping — the column-by-column procedure taught in schools, and the names it goes by — SplashLearn (United States)

Calculadoras relacionadas

Calculadora de adição com reservaSome vários números coluna por coluna, com as reservas.Calculadora de multiplicaçãoMultiplique inteiros ou decimais e veja cada produto parcial.Calculadora bináriaSome, subtraia, multiplique e divida números binários.