Simulador de dados

formas(total) = o coeficiente de x^total em (x + x² + … + x^lados)^diceCount → chance = formas(total) / lados^diceCount

diceCount

Quantos dados são lançados, até 20. Um dado dá uma distribuição plana, em que toda face é igualmente provável; dois ou mais empilham os totais do meio, que é a razão inteira de valer a pena informar a chance de um total

lados

Quantas faces cada dado tem, de 2 a 100. O conhecido d6 mora aqui, mas também moram o dado de vinte faces e o de cem

formas(total)

Quantos dos resultados possíveis somam aquele total. A contagem de formas é a unidade honesta para dados — um total de 7 tem seis formas entre 36 com dois dados de seis faces, e essa razão é a probabilidade

semente

O ponto de partida da rolagem, qualquer número inteiro de 0 a 4.294.967.295. A mesma semente com o mesmo conjunto dá as mesmas faces, o que faz de uma rolagem algo que pode ser rodado de novo e conferido

total

A soma das faces. Ela vai do número de dados (todas com 1) até o número de dados × lados (todas com a face máxima), então o número de totais que um conjunto consegue formar é número de dados × lados − número de dados + 1

Recorra a ela quando o total importar e as faces individuais forem um detalhe: descobrir se uma rolagem de 3d6 provavelmente supera um número alvo, conferir as chances de uma soma de 2d6 antes de uma partida, ou produzir uma rolagem com semente para que uma sessão possa ser rejogada exatamente. A rolagem com semente é a parte que a torna mais do que uma curiosidade — programas que geram fases, grupos que rejogam um cenário e pessoas que testam uma regra precisam todos de uma rolagem que possa ser reproduzida, e uma semente é o que transforma uma rolagem numa rolagem que qualquer um consegue reproduzir. Ela não é um simulador de dados justos no sentido de aleatoriedade física: os números vêm de uma sequência determinística pequena, então qualquer coisa em que um jogador não possa prever as faces está fora do escopo.

1. Dois dados de seis faces, semente 1: 4 e 1, para um total de 5

   1. O conjunto é de dois dados de seis faces, então há 6 × 6 = 36 pares de faces igualmente prováveis
   2. A semente 1 fixa o par em 4 e 1, e o total é 4 + 1 = 5
   3. Um total de 5 aparece como 1+4, 2+3, 3+2 e 4+1 — quatro formas entre 36
   4. 4 / 36 = 0,1111…, então a chance é 11,11%

   Os 11,11% são o motivo de colocar a rolagem ao lado das chances: um total de 5 parece comum, e é o terceiro total mais provável empatado, mas ainda assim acontece cerca de uma rolagem em nove. Os totais 2 e 12 são os mais raros, com 2,78% cada, porque há exatamente uma forma de formar cada um deles, enquanto o 7 tem seis formas e 16,67%. Com um único dado nada dessa estrutura existe — toda face é 1/lados —, e é por isso que o tamanho do conjunto é a primeira coisa a olhar quando a chance surpreende.

2. Três dados de seis faces, semente 5: 5, 5 e 2, para um total de 12

   1. Três dados de seis faces dão 6 × 6 × 6 = 216 resultados igualmente prováveis
   2. A semente 5 dá as faces 5, 5 e 2, que somam 12
   3. O conjunto consegue formar 3 × 6 − 3 + 1 = 16 totais diferentes, de 3 a 18
   4. Um total de 12 tem 25 formas entre 216, então a chance é 11,57%

   Três dados deixam o meio da faixa muito mais cheio do que dois: 10 e 11 são os totais mais prováveis, com 12,5% cada, e 12 é um terceiro próximo, com 11,57%. O mesmo total de 12 é uma proposta bem diferente com dois dados, em que é o resultado mais raro de todos, com 2,78% — então uma chance citada para um total não significa nada se o conjunto não for citado junto. Os 16 totais possíveis também mostram por que a contagem não é simplesmente o número de faces: com três dados os totais vão de 3 a 18 e são 16 deles, não 18 e não 6.

3. Um dado de vinte faces, semente 7

   1. Um único dado não tem como combinar faces, então toda face é igualmente provável
   2. A semente 7 dá a face 1
   3. Uma face entre 20 é 1 / 20 = 5%

   Este é o caso em que a distribuição é plana: nada se acumula no meio porque só há um dado, então um 1 e um 20 são exatamente tão prováveis quanto qualquer outra face. É a maneira mais clara de ver o que os dados extras estão fazendo — com 2d6 os totais extremos são raros, com 1d20 nada é raro, e o mecanismo é inteiramente o número de formas de formar cada total. O gerador de números aleatórios ao lado faz o mesmo ponto pelo outro lado: um único sorteio uniforme não é a mesma coisa que a soma de sorteios.

4. A semente no seu limite superior

   1. A semente pode ir até 4.294.967.295, que é 2³² − 1 — o maior valor que o estado do gerador consegue guardar
   2. Os mesmos dois dados do primeiro exemplo, mas com outra semente, então outra mão
   3. 6 e 2 somam 8, e um total de 8 tem cinco formas entre 36
   4. 5 / 36 = 13,89%

   Vale a pena experimentar uma semente de 4.294.967.295 porque é o único valor de semente em que uma implementação descuidada do estado do gerador quebra de um jeito difícil de ver: o estado é guardado como um inteiro sem sinal de 32 bits, e o maior valor é exatamente onde um erro de um naquela etapa deixa de ser invisível. O resultado visível aqui é uma mão comum de 6 e 2 — o painel não deve mesmo parecer diferente —, e é justamente por isso que a fronteira é um teste e não um recurso para o usuário.

As faces não são imprevisíveis. Elas vêm de uma sequência pequena com semente, do tipo que o software comum usa, então quem conhece a semente consegue reproduzir a mão, e quem vê algumas mãos consegue deduzir a semente. Isso a desqualifica para qualquer coisa em que um jogador não possa prever nem reconstruir a rolagem — um sorteio com dinheiro em jogo, uma chave, um token, um código de uso único —, e para esses casos uma fonte aleatória criptográfica é a única resposta correta. Rolagens com semente servem para rejogar, gerar e testar, que são exatamente os casos em que ser reproduzível é o ponto. Mais dois limites merecem ser ditos sem rodeios. A tabela de referência abaixo da calculadora descreve dois dados de seis faces e não acompanha os dados que você digita: a tabela é uma referência fixa, e a chance no painel de resultados é a que corresponde ao seu conjunto. E a chance de um total pressupõe dados justos — um dado físico com vício não vai bater com esses números, seja qual for o conjunto.

Por que a tabela abaixo da calculadora não bate com os dados que eu informei?

Porque a tabela de referência é fixa em dois dados de seis faces. Ela é calculada a partir de uma constante e não das entradas, então fica parada enquanto você muda o conjunto — a chance mostrada no painel de resultados é a que acompanha os seus dados, e é o número a ler quando os dois divergirem. A tabela está lá porque 2d6 é a distribuição que as pessoas realmente querem dizer quando perguntam sobre chances em dados: 7 no meio, 2 e 12 nas pontas. Se você precisar das chances de outro conjunto, o painel dá a chance do total que saiu, e você pode rodar a mesma semente de novo para conferir qualquer outro total que lhe interesse.

O que a semente faz, e por que a mesma mão volta todas as vezes?

A semente é o estado de onde a rolagem parte, então a mesma semente com o mesmo conjunto sempre dá as mesmas faces. Isso é o recurso, e não um atalho: uma rolagem com semente é como uma sessão é rejogada exatamente, como uma fase gerada permanece a mesma entre execuções e como uma regra pode ser testada contra uma mão fixa. Mude a semente e você obtém uma mão diferente do mesmo conjunto. Se quiser que cada rolagem seja diferente, mude a semente entre uma rolagem e outra — nada no painel a avança silenciosamente por você.

Estas rolagens servem para um jogo em que ninguém pode prever o resultado?

Não, e a distinção importa. As faces vêm de uma sequência determinística pequena, então a partir da semente a mão inteira pode ser reproduzida, e a partir de algumas mãos a semente pode ser recuperada. Qualquer coisa em que um participante não possa prever nem reconstruir a rolagem precisa de uma fonte aleatória criptográfica. Rejogar uma campanha de mesa, gerar fases, testar regras e amostrar de forma reproduzível são todos usos adequados — são exatamente os casos em que poder reproduzir a rolagem é o motivo de usá-la.

Por que um total de 7 é o mais provável com dois dados, mas não com três?

Porque o que se acumula no meio é o número de formas de formar um total, e isso depende do conjunto. Com dois dados de seis faces são 36 pares, e o 7 tem seis deles (1+6 até 6+1), mais do que qualquer outro total. Com três dados os totais mais prováveis são 10 e 11, com 12,5% cada, e o 7 cai bem abaixo na lista. O mesmo total, portanto, significa coisas diferentes para conjuntos diferentes, e é por isso que o painel sempre informa o total junto com a chance para o conjunto que você realmente definiu.

Quantos totais um conjunto consegue formar?

Do menor total possível, que é todos com 1, até o maior, que é todo dado mostrando a sua face máxima: com um número de dados e um número de lados por dado isso dá número de dados × lados − número de dados + 1 totais diferentes. Para 2d6 são 11 totais, de 2 a 12; para 3d6 são 16, de 3 a 18; para 20d100 são 1.981. A contagem não é o número de faces, e as extremidades da faixa são sempre os totais mais raros, porque cada uma delas pode ser formada de exatamente uma maneira.

A chance no painel é para o total ou para as faces exatas?

Para o total. Dois dados mostrando 4 e 1 e dois dados mostrando 1 e 4 são o mesmo total de 5, e a chance informada é a chance desse total, contando todas as combinações que somam até ele — quatro formas entre 36 para um 5. A mão ordenada exata é uma probabilidade diferente e muito menor (1/36 para qualquer par específico), e não é o que o painel informa, porque o total é o número que decide se uma rolagem supera um alvo.

• Dice — from Wolfram MathWorld (the generating-function form of the sum of dice, and the coefficient that counts the ways each total can be made) — Wolfram MathWorld
• Uniform Sum Distribution — from Wolfram MathWorld (the distribution of a sum of uniform draws, which is what the total of several dice is) — Wolfram MathWorld
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the frequency distribution of a variable, and how a probability is read off the outcomes it counts) — National Institute of Standards and Technology (NIST)