Calculadora de limite central

E[X̄] = μ Var(X̄) = σ² / n SE = σ / √n

μ

A média da população — o centro da distribuição de onde as amostras são retiradas. Ela volta inalterada como a média da distribuição amostral, que é o primeiro dos três resultados e o único que vale em qualquer tamanho de amostra

σ

O desvio padrão da população. A unidade dele é a unidade dos dados, e a do erro padrão também, e é por isso que σ e o erro padrão podem ser comparados diretamente — um erro padrão de 2,5 ao lado de um σ de 15 é uma afirmação sobre o tamanho da amostra, não sobre os dados

n

Quantas observações há em uma amostra — o tamanho de cada retirada, não o número de retiradas. Ele aparece como √n sob uma divisão e como n sob outra, e essa diferença é toda a mensagem prática: a variância cai em proporção a n, o erro padrão cai apenas em proporção à sua raiz quadrada

X̄

A média amostral, tratada como uma grandeza aleatória e não como um número. Uma amostra dá uma média; repetir a amostragem dá uma distribuição delas, e os três resultados descrevem essa distribuição, não uma amostra isolada

SE

O erro padrão — o desvio padrão das médias amostrais, e o resultado principal desta página. É com ele que se monta um intervalo de confiança e é por ele que uma estatística de teste é dividida, e é por isso que vale mais ler esse número do que a variância da qual ele é a raiz quadrada

Use esta página quando precisar saber o quanto a média de uma amostra pode variar de amostra para amostra — antes de dimensionar um estudo, ao ler um erro padrão em um relatório e querer ver de onde ele veio, ou ao conferir se uma intuição sobre tamanho de amostra está certa. A intuição que ela costuma corrigir é a de que uma amostra maior melhora a estimativa na mesma proporção: não melhora, porque o erro padrão cai com a raiz quadrada. Passar de 100 observações para 400 reduz a dispersão da estimativa à metade, e obter outra metade de ganho custa 1.600. Os dois resultados do topo valem para qualquer forma de população, e é por isso que podem ser usados antes de saber qualquer coisa sobre a distribuição. O que a página não pode dizer é se um dado n é grande o suficiente para a média amostral ser aproximadamente normal — isso depende de quanto a distribuição original é assimétrica, e é um julgamento, não uma conta.

1. O padrão: uma população com média 100 e desvio padrão 15, amostrada de 36 em 36

   1. Variância das médias amostrais: σ² / n = 225 / 36 = 6,25
   2. Erro padrão: √6,25 = 2,5
   3. Média das médias amostrais: 100, a média da população inalterada
   4. Compare com σ = 15: amostrar de 36 em 36 encolhe a dispersão por um fator de 6, que é √36

   Os dois valores, 15 e 36, foram escolhidos para que a conta saia de cabeça — 225 dividido por 36 dá 6,25, e a raiz quadrada disso é 2,5, um número redondo. A terceira linha merece uma segunda olhada justamente porque parece que nada aconteceu: a média de todas as médias amostrais é a média da população, em qualquer tamanho de amostra, e isso é um fato sobre a esperança matemática, não uma aproximação. Ver 100 = 100 é o ponto dessa linha, e é por isso que ela aparece mesmo repetindo o que você digitou.

2. A mesma população amostrada de 9 em 9 em vez de 36 em 36

   1. A amostra é um quarto do tamanho, então a variância é quatro vezes maior: 225 / 9 = 25
   2. Erro padrão: √25 = 5
   3. A média continua 100 — reduzir a amostra mudou a dispersão e nada mais
   4. Comparando com o primeiro exemplo, n caiu para um quarto e o erro padrão apenas dobrou

   Este par é a lei da raiz quadrada em concreto: divida a amostra por quatro e o erro padrão apenas dobra, porque é a variância que escala com n. Lida na outra direção, ela é a razão pela qual precisão é caro — a amostra quatro vezes maior compra uma melhora de duas vezes, e a próxima melhora de duas vezes custa dezesseis vezes a amostra original. Toda decisão de tamanho de amostra é essa troca, e a tabela de referência abaixo mostra o padrão ao longo de uma faixa maior de n.

3. Amostrar uma única observação de cada vez não mexe na dispersão

   1. Com n = 1 a média amostral é a própria observação, então a distribuição amostral é a população
   2. Variância: 225 / 1 = 225, que é σ²
   3. Erro padrão: √225 = 15, que é σ
   4. A média das médias amostrais continua 100

   Vale ver a ponta n = 1 da faixa porque ela ancora a ideia inteira: uma amostra de uma única observação é um sorteio da população, então nada foi mediado e o erro padrão é o próprio desvio padrão da população. Todo outro tamanho de amostra é esse ponto de partida dividido por √n. A página aceita n = 1 em vez de exigir pelo menos dois, porque é uma entrada legítima e instrutiva — a distribuição amostral simplesmente não foi estreitada pela amostra.

As duas identidades do topo da fórmula valem para qualquer população e qualquer n, mas descrevem apenas os dois primeiros momentos da distribuição amostral. A terceira afirmação do teorema — a normalidade aproximada — é o que sustenta a maior parte do uso prático, e é justamente a parte que esta página não consegue verificar, porque o tamanho necessário de n depende de quanto a distribuição original é assimétrica: para uma população aproximadamente simétrica, 10 costuma bastar, enquanto uma distribuição de cauda longa pode precisar de centenas de observações antes de a média amostral se acomodar. Trate o limiar de 30, tão repetido, como regra prática e não como resultado. A fórmula também supõe que as observações são independentes, o que a amostragem sem reposição de uma população pequena viola — a página de tamanho da amostra aplica essa correção e vai pedir menos pessoas do que esta aqui sugere. Nada aqui é estimado a partir de dados: as duas entradas são valores da população, e se você só tem o desvio padrão de uma amostra, a página de intervalo de confiança é a que sabe a diferença.

Qual é a diferença entre o desvio padrão e o erro padrão?

O desvio padrão descreve o quanto as observações individuais se afastam da média; o erro padrão descreve o quanto a média de uma amostra se afasta da média da população. O segundo é o primeiro dividido por √n, e essa divisão é todo o conteúdo da diferença: uma população com σ = 15 é igualmente dispersa, você amostre 9 ou 900 dela, mas a média de 900 observações fica três vezes mais perto da verdade do que a média de 100. É por isso que σ aparece nas unidades dos próprios dados enquanto o erro padrão encolhe conforme o estudo cresce — e por isso o erro padrão é o número que entra em um intervalo de confiança ou em uma estatística de teste.

A média das médias amostrais muda se eu pegar amostras maiores?

Não, e esse é o resultado mais difícil de acreditar. A média da distribuição amostral é igual à média da população em todo tamanho de amostra, de n = 1 para cima, porque fazer médias não empurra a estimativa para nenhum dos lados — só a torna menos variável. A distribuição das médias amostrais fica mais estreita e mais alta em torno do mesmo centro. Tamanho de amostra compra precisão, nunca exatidão: ele encolhe a dispersão da estimativa sem mover o ponto em torno do qual ela se centra. Um método de amostragem enviesado, ao contrário, desloca o centro, e nenhum tamanho de amostra traz esse centro de volta — é por isso que vale a pena separar os dois modos de errar.

Qual tamanho de amostra é preciso para o teorema central do limite valer?

Depende da forma da população, e não existe um limiar que sirva para todas. Uma população simétrica se comporta bem com n = 10, enquanto uma fortemente assimétrica pode precisar de várias centenas de observações antes de a média amostral ficar próxima da normal. A conhecida regra prática de 30 vem de estudos de simulação com dados levemente assimétricos e é um padrão razoável, não um teorema. O que a página entrega sem nenhuma suposição sobre a forma são o centro e a dispersão — a média e o erro padrão são exatos em qualquer n. Só a aproximação normal precisa da amostra grande, e apenas os intervalos de confiança e os valores p construídos sobre ela herdam essa exigência.

Por que a variância das médias amostrais é tão menor que a variância dos dados?

Porque fazer médias cancela os erros independentes das observações individuais, e esse cancelamento corre em proporção ao tamanho da amostra — enquanto o erro padrão, que é o que as pessoas costumam comparar, corre em proporção à sua raiz quadrada. Com σ = 15 e n = 36 a variância cai de 225 para 6,25, um fator de 36, enquanto o desvio padrão cai de 15 para 2,5, um fator de apenas 6. As duas linhas aparecem por esse motivo. A variância é como o teorema costuma ser enunciado, e o erro padrão é a forma que se usa, e a distância entre os dois fatores é a raiz quadrada.

Isto é a mesma coisa que a calculadora de erro padrão?

As duas calculam a mesma grandeza a partir de entradas diferentes, e qual delas você quer depende do que você tem em mãos. Esta página recebe o desvio padrão da população e o tamanho da amostra — os valores que existem antes de qualquer coleta — e é a ferramenta certa para planejar um estudo ou conferir uma intuição sobre como n governa a precisão. A calculadora de erro padrão recebe a amostra em si e calcula o desvio padrão a partir dela, que é o que se usa depois que os dados chegaram e o valor da população é desconhecido. As duas diferem exatamente pelo passo de estimação no meio, e a página de intervalo de confiança é onde essa diferença tem consequências.

• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (a sample statistic as a quantity with its own distribution, which is the object this page describes) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 1.3.6.7.1. Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the curve the sampling distribution approaches as the sample grows, and the table it is read from) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 3.1 Terminology — Introductory Statistics 2e (the law of large numbers: sample averages settling towards the population mean as the sample grows, which is the behaviour the mean of sample means states exactly) — OpenStax (Rice University)