Calculadora de intervalo de confiança

média: x̄ ± t(α/2, n − 1) · s / √n proporção: p̂ ± z(α/2) · √( p̂ (1 − p̂) / n )

x̄

A média da amostra — o número que você mediu, na unidade em que os dados estiverem. O intervalo é construído em torno dela, então a faixa inteira se desloca quando ela se desloca

s

O desvio padrão da amostra, a dispersão das observações em torno da média delas. É s e não σ porque uma amostra é tudo o que você tem; dividi-lo pela raiz quadrada do tamanho da amostra é o que o transforma no erro padrão

n

Quantas observações a amostra contém, no mínimo 2. Ele entra na conta duas vezes: dentro do erro padrão e, de novo, pelos graus de liberdade do quantil t, que são n − 1

t(α/2, n − 1)

O valor crítico de uma média: o ponto de uma distribuição t com n − 1 graus de liberdade que deixa metade de α em cada cauda. Ele é sempre um pouco maior que o valor crítico normal e bem maior em amostras pequenas, que é a distribuição t cobrando pelo fato de s ter sido estimado em vez de conhecido

p̂

A proporção da amostra, digitada em porcentagem. A conta da proporção inteira permanece em pontos percentuais, então o limite inferior, o limite superior, a margem de erro e o erro padrão ficam todos na mesma escala do número que você digitou

z(α/2)

O valor crítico de uma proporção: 1,9600 a 95% de confiança, e o mesmo valor em qualquer tamanho de amostra, porque uma proporção é julgada contra a distribuição normal e não contra a t. Ele aparece duas vezes na linha da proporção, uma fora da raiz e uma dentro dela, por meio de p̂

Use esta página quando tiver uma amostra e quiser dizer o quão precisa é a estimativa tirada dela — uma média de um punhado de medições, ou uma fatia vinda de uma pesquisa. É a maneira honesta de relatar um número isolado: uma média de 50 com 100 observações é uma afirmação diferente de uma média de 50 com 5, e o intervalo é a diferença, porque o tamanho da amostra fica no denominador do erro padrão. Dois ajustes decidem todo o resto. Escolha a ramificação da média quando a grandeza for uma medição — um comprimento, um tempo, uma nota — e a ramificação da proporção quando for uma contagem dentro de um total, digitada em porcentagem. Depois escolha o nível de confiança: 95% é a convenção, e os três níveis oferecidos cobrem quase todo número publicado. Repare no que o intervalo não faz — ele não diz onde está o valor verdadeiro nem que fatia das observações futuras cairá dentro dele. É uma afirmação sobre o procedimento de estimação, e não sobre os dados.

1. Uma média a partir de uma amostra de 100 medições

   1. Erro padrão: 12 / √100 = 12 / 10 = 1,2
   2. Graus de liberdade: n − 1 = 99, o que dá um valor crítico de 1,9842 a 95% de confiança
   3. Margem de erro: 1,9842 × 1,2 = 2,3811
   4. Limites: 50 − 2,3811 = 47,6189 e 50 + 2,3811 = 52,3811

   O valor crítico é o número que merece atenção aqui: 1,9842 em vez do conhecido 1,96. A diferença é o que a distribuição t cobra por estimar a dispersão a partir dessas mesmas 100 observações, e ela encolhe conforme a amostra cresce — em n = 1.000 ela já praticamente desapareceu. Repare também que o campo da proporção continua com 60 e não faz nada: os dois grupos de campos ficam sempre na tela, e é o seletor no topo que decide qual deles a fórmula usa.

2. Uma proporção a partir de uma enquete com 1.000 pessoas

   1. A proporção da amostra, 50%, é 0,5 na forma decimal, e 1 − p̂ = 0,5 também
   2. Erro padrão: √( 0,5 × 0,5 / 1.000 ) = 0,015811, que são 1,5811 ponto percentual
   3. Valor crítico: 1,96 a 95% de confiança, o mesmo em qualquer tamanho de amostra
   4. Margem de erro: 1,96 × 1,5811 = 3,099 pontos percentuais, o que dá os limites 46,901% e 53,099%

   Todos os números deste exemplo estão em pontos percentuais, e não em proporções: o erro padrão é 1,58 ponto e não 0,0158. Essa é a convenção de escala que a página usa para uma proporção, e é por isso que o erro padrão aqui parece grande ao lado do exemplo anterior — ele está medindo outra coisa, uma fatia e não uma medição. Essa mesma conta é a origem da afirmação conhecida de que uma pesquisa com cerca de mil pessoas carrega uma margem de erro de aproximadamente três pontos.

3. As mesmas 100 observações relatadas a 99% de confiança

   1. O erro padrão não muda: 12 / √100 = 1,2, porque nada na amostra mudou
   2. Só o valor crítico se move: 2,6264 em vez de 1,9842
   3. Margem de erro: 2,6264 × 1,2 = 3,1517
   4. Limites: 50 ± 3,1517, ou seja, de 46,8483 a 53,1517

   Comparar este exemplo com o primeiro isola exatamente o que o nível de confiança compra: os mesmos dados, o mesmo erro padrão e um intervalo 32% mais largo. Nada foi aprendido ao subir o nível — a informação contida na amostra não mudou, só a afirmação feita sobre ela. É por isso que 95% é a convenção, e por isso citar um intervalo de 99% sem dizer que é de 99% engana em vez de apenas ser conservador.

As duas ramificações supõem que as observações são independentes entre si. Uma amostra de 500 leituras do mesmo instrumento, ou de 500 estudantes vindos de 20 turmas, carrega menos informação do que a aritmética acredita, e o intervalo sai mais estreito do que deveria. As duas também supõem que a estimativa é aproximadamente simétrica em torno da verdade: a ramificação da média se apoia em a amostra ser aproximadamente normal, ou em n ser grande o suficiente para a distribuição t perdoar, e a ramificação da proporção é a mais frágil das duas — perto de 0% ou de 100% a fórmula é simplesmente a errada, e é por isso que a página recusa esses dois valores em vez de devolver um intervalo confiantemente estreito em torno de uma proporção que não pode ser estimada assim. Populações finitas não são corrigidas aqui. Se a amostra é uma fatia grande de uma população pequena, a página de tamanho da amostra aplica a correção e vai pedir menos pessoas do que esta aqui sugere.

O que um intervalo de confiança significa de fato?

É uma faixa construída por um procedimento que captura o valor verdadeiro em 95% das amostras, no ajuste de 95% — e não uma chance de 95% de que esta faixa específica o contenha. A distinção importa porque o valor verdadeiro é fixo e desconhecido: ou ele está dentro dos limites que você acabou de calcular, ou está fora deles, e não há probabilidade nenhuma nisso. O que o número descreve é a confiabilidade do método. Na prática, a leitura corrente é que valores próximos do meio do intervalo são mais plausíveis do que valores próximos das pontas, e que um valor fora do intervalo está em alguma tensão com os dados — o que é a ponte para os testes de hipótese da página de valor p.

Por que a média usa t e a proporção usa z?

Porque no caso de uma média você está estimando a dispersão além do centro, e no caso de uma proporção não. O erro padrão de uma média é s / √n, e o s é calculado a partir da mesma amostra, então o intervalo precisa acomodar essa incerteza extra — que é exatamente o que a distribuição t faz, e por isso o valor crítico dela é 1,9842 com n = 100 em vez de 1,96. Uma proporção não tem essa segunda estimativa: a dispersão da estimativa decorre da própria proporção, por meio de p̂(1 − p̂), então a distribuição normal se aplica em qualquer tamanho de amostra. Os dois grupos de campos ficam sempre visíveis na tela; o seletor no topo decide qual deles o cálculo lê, e o outro pode conter qualquer número sem afetar o resultado.

Qual é a diferença entre a margem de erro e o erro padrão?

O erro padrão é uma unidade de incerteza, e a margem de erro é quantas dessas unidades o intervalo alcança. A margem de erro é o erro padrão multiplicado pelo valor crítico, então a 95% de confiança e com uma amostra grande ela vale cerca de duas vezes o erro padrão (1,96 vez) e a 99% cerca de duas vezes e meia (2,5758). As duas linhas aparecem justamente para que a estrutura em duas etapas fique visível: se você quer um intervalo mais estreito, a linha a atacar é a do erro padrão, porque é a única que responde a coletar mais dados. O valor crítico só se move quando você muda o nível de confiança.

O intervalo pode ficar abaixo de 0% ou acima de 100%?

Pode, e a página imprime isso em vez de cortar o valor em silêncio. Com 50% e uma amostra de 2, o limite inferior é −19,3% e o superior é 119,3%, o que não é um defeito: com duas observações praticamente não existe informação sobre uma proporção, e um intervalo que diz isso é mais honesto do que um espremido na faixa que uma proporção pode de fato assumir. Leia o resultado como a constatação de que esta amostra não estima nada de útil aqui e colete mais dados. O que a página de fato recusa é uma proporção digitada como exatamente 0% ou 100%, porque nesses dois pontos a fórmula divide por uma dispersão de largura zero e devolveria um intervalo de largura zero — uma afirmação de certeza que o método não sustenta.

Onde está a tabela de valores críticos?

Não há nenhuma nesta página, e isso é deliberado. Tudo para que uma tabela de valores críticos serviria aqui já foi feito: você escolhe um nível, e o único valor que aquele nível implica aparece impresso em uma linha própria. Uma tabela também teria de escolher um nível de confiança para ser construída, então um leitor que mudasse para 99% estaria olhando uma tabela que contradiz o painel acima — o modo de falha em que a página discorda de si mesma. A distribuição t tem um problema a mais, já que o valor crítico dela depende dos graus de liberdade além do nível, o que exigiria uma grade inteira e não uma tabela. A ferramenta dedicada a valor crítico, que recebe o nível e os graus de liberdade, é o lugar dessa consulta.

• 1.3.6.7.1. Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the source of the critical values this page multiplies the standard error by, and of the tail areas they leave behind) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 (the standard deviation the standard error is built from, and why a spread estimated from a sample is itself an estimate with a distribution) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 3.1 Terminology — Introductory Statistics 2e (relative frequency as an estimate of a probability, which is the step that lets a sample proportion stand in for the population proportion) — OpenStax (Rice University)