벡터 계산기

u = (u₁, u₂, u₃) |u| = √(u₁² + u₂² + u₃²) û = u ÷ |u|

벡터 u

유일한 입력이며 공백이나 쉼표로 나눈 두세 개의 수입니다. 두 개면 평면의 벡터, 세 개면 공간의 벡터이고, 개수만이 어느 쪽인지를 알려 줍니다. 차원을 고르는 설정은 없습니다

u = (u₁, u₂, u₃)

성분입니다. 입력한 수를 벡터로 다시 읽은 것이며, 두 개를 넣었을 때 세 번째가 0인 것은 자리를 채운 것이 아니라 같은 방향을 세 좌표로 적은 것입니다

|u|

크기입니다. 성분을 각각 제곱해 더하고 제곱근을 씌운 값이며, 첫 번째 출력 줄이고 벡터가 얼마나 큰지에 대한 답입니다

û

단위 벡터이며 방향이라고도 부릅니다. 성분을 각각 크기로 나눈 값이라 입력과 정확히 같은 직선을 향하고 길이는 1이므로, 담고 있는 값은 방향뿐입니다

u ÷ |u|

두 읽기를 갈라 놓는 나눗셈입니다. 성분은 들어간 값이고 단위 벡터의 성분은 그것을 길이로 나눈 값이며, 이 페이지는 둘을 함께 인쇄해 이 단계를 암시가 아니라 눈에 보이는 것으로 만듭니다. 형제 페이지들이 하지 않는 일이 바로 이것입니다

영벡터

거부하며 이유는 좁습니다. 크기가 0이라 단위 벡터를 구하는 나눗셈이 0 ÷ 0이 되고 알려 줄 방향이 없습니다. 영벡터가 잘못된 입력인 것은 아닙니다. 크기 페이지는 같은 0들의 목록에 0이라고 답합니다. 다만 이 페이지는 세 가지 읽기를 약속했는데 그중 둘만 낼 수 있습니다

성분 두 개

받습니다. 성분이 둘인 벡터는 평면의 벡터이고 크기는 항이 둘인 같은 제곱근이며, 두 입력에서 세 번째 성분은 모두 0입니다

소수점 네 자리

출력을 적는 폭입니다. 성분 줄은 입력이 정수이거나 유한 소수였을 때 그대로 재현하고, 크기는 정수인 경우가 흔하며, 단위 벡터는 거의 언제나 반올림됩니다. 제곱근으로 나눈 값이 유한 소수로 끝나는 일은 드물기 때문입니다

단위 없음

성분과 크기, 단위 벡터의 성분은 모두 그냥 수입니다. 이 페이지는 성분이 무엇으로 측정되었는지 알지 못하며, 세 읽기 모두 같은 미지의 단위를 달고 있습니다. 단위 벡터만은 무차원입니다

벡터 하나를 가지고 있고 두 번째 벡터를 끌어들이지 않고 말할 수 있는 것을 모두 알고 싶을 때 쓰는 페이지입니다. 성분 줄은 입력을 수로 다시 읽은 것이라 손으로 적어 넣은 값이 어떻게 해석되었는지 보고 싶을 때 쓸모가 있고, 크기 줄은 얼마나 큰지, 단위 벡터 줄은 어느 쪽을 향하는지를 알려 줍니다. 실제로 가장 중요한 짝은 마지막 두 줄입니다. 이 둘이 합쳐져 벡터의 두 절반, 곧 크기와 방향이 되고, 이 페이지가 그 둘을 직접 견줄 수 있는 자리이기 때문입니다. 대체품이 아니라 요약입니다. 길이만 원하면 길이만 인쇄하는 페이지가 더 빨리 답하고, 방향도 마찬가지이며, 더하기나 투영, 내적처럼 두 벡터를 쓰는 일에는 입력 칸이 두 개인 페이지가 필요합니다. 이 페이지가 더해 주는 것은 나란히 보는 시야입니다. 단위 벡터 줄은 성분 줄을 크기로 나눈 값이고 한 패널에 함께 인쇄되므로, 그 나눗셈을 믿고 넘기는 대신 읽을 수 있습니다. 성분은 두 개도 세 개도 받으며 두 개일 때 세 번째 성분은 모두 0입니다. 거부하는 입력은 영벡터 하나이고, 입력이 잘못이라서가 아니라 약속한 세 읽기 가운데 하나가 존재하지 않기 때문입니다.

1. 3 4

   1. 성분: 입력을 다시 읽으면 (3, 4, 0)
   2. 크기: √(9 + 16) = √25 = 5
   3. 단위 벡터 x: 3 ÷ 5 = 0.6
   4. 단위 벡터 y: 4 ÷ 5 = 0.8
   5. 단위 벡터 z: 0 ÷ 5 = 0

   페이지가 처음 열릴 때 들어 있는 입력이며, 성분을 왜 인쇄하는지를 보여 주는 줄입니다. 두 번째 묶음의 모든 수는 첫 번째 묶음의 수를 5로 나눈 값이고, 두 묶음이 함께 화면에 있으면 그 나눗셈을 계산하지 않고 읽어 낼 수 있습니다. 3-4-5가 직각삼각형이라 크기가 정수로 떨어지고, 단위 벡터의 두 성분도 정확히 나옵니다. 반대 방향으로도 확인해 보십시오. 0.6에 5를 곱하면 3이고 0.8에 5를 곱하면 4이므로, 단위 벡터에 크기를 곱하면 원래 벡터로 돌아옵니다.

2. 0 0 5

   1. 성분: 입력을 다시 읽으면 (0, 0, 5)
   2. 크기: √(0 + 0 + 25) = 5
   3. 단위 벡터 x: 0 ÷ 5 = 0
   4. 단위 벡터 y: 0 ÷ 5 = 0
   5. 단위 벡터 z: 5 ÷ 5 = 1

   z축을 따라 놓인 벡터이며, 성분 줄이 제값을 하는 것이 가장 분명한 경우입니다. 적힌 그대로인 0 0 5는 수가 하나인 벡터로 읽힐 수도 있는데, 성분 줄은 앞의 두 값이 0인 3차원 벡터임을 분명히 해 줍니다. 단위 벡터는 축 방향 그대로인 0 0 1이 되고, 세 번째 읽기는 나눗셈을 확인하는 가장 쉬운 길이 됩니다. 5를 5로 나누면 1이고 0을 5로 나누면 0입니다.

3. 2 3 6

   1. 성분: (2, 3, 6)
   2. 크기: √(4 + 9 + 36) = √49 = 7
   3. 단위 벡터 x: 2 ÷ 7 = 0.285714
   4. 단위 벡터 y: 3 ÷ 7 = 0.428571
   5. 단위 벡터 z: 6 ÷ 7 = 0.857143

   흔한 3차원 경우이며, 세 읽기가 정말로 다른 수라는 것을 보여 줍니다. 크기는 정수 7이지만 단위 벡터의 성분은 하나도 정수가 아니고 셋 다 순환소수를 네 자리로 반올림한 값입니다. 성분 자체는 정확하고, 그것을 단위 벡터 묶음과 견주는 것이 곧 계산 전체입니다. 2/7, 3/7, 6/7입니다. 가장 큰 성분인 6이 단위 벡터에서도 가장 큰 값이 된다는 점도 눈여겨볼 만합니다. 세 수를 같은 값으로 나누면 순서가 바뀔 수 없기 때문입니다.

4. -3 4

   1. 성분: (-3, 4, 0)
   2. 크기: √(9 + 16) = 5이며 3 4일 때와 같습니다
   3. 단위 벡터 x: -3 ÷ 5 = -0.6
   4. 단위 벡터 y: 4 ÷ 5 = 0.8
   5. 단위 벡터 z: 0 ÷ 5 = 0

   첫 번째 예에서 부호 하나만 바꾼 경우이며, 부호가 세 읽기 가운데 어디까지 미치는지를 보여 줍니다. 크기는 5로 그대로입니다. 성분의 부호를 바꿔도 제곱의 합은 달라지지 않기 때문입니다. 성분은 당연히 부호를 지니고, 단위 벡터도 지닙니다. 양수인 길이로 나눈다고 벡터가 뒤집히지는 않기 때문입니다. 그래서 세 읽기 가운데 성분과 단위 벡터만 방향을 담고, 크기는 담지 못합니다. 참고표에서 이 두 줄이 나란히 있고 부호 하나만 다릅니다.

성분이 두 개거나 세 개인 경우만 받고 그 밖에는 받지 않습니다. 이웃한 도구들과 겹치는 부분이 실제로 있으므로 짚어 둘 만합니다. 이 페이지는 요약이고 형제들은 전문가이기 때문입니다. 크기 줄은 벡터 크기 페이지와 정확히 같은 수를 담고, 단위 벡터 세 줄은 단위 벡터 페이지와 정확히 같은 수를 담으며, 그 두 페이지는 성분을 인쇄하지 않습니다. 그 하나의 답이 필요하면 더 짧은 페이지가 더 빨리 답합니다. 이 페이지가 더하는 것은 단위 벡터 옆의 성분이고, 나눗셈이 나눗셈으로 보이는 곳은 거기뿐입니다. 벡터를 하나만 다루므로 더하기와 빼기, 투영, 내적, 각도처럼 둘이 필요한 일은 입력 칸이 두 개인 페이지 몫입니다. 영벡터는 거부합니다. 크기가 0이고 방향이 없어 단위 벡터 줄을 채울 수 없는데, 패널은 모든 줄에 값을 인쇄하거나 아무것도 인쇄하지 않기 때문입니다. 이 거부는 이 페이지가 한 약속에 대한 것이지 입력이 잘못되었다는 뜻이 아닙니다. 크기 페이지는 같은 입력에 0이라고 답합니다. 성분은 보통의 수로 읽습니다. 쉼표 뒤에 공백이 있으면 성분을 나누고, 공백 없이 붙은 쉼표는 소수점으로 읽으며(1,5는 1.5), 세 자리 묶음 쉼표는 추측하지 않고 거부합니다. 1,500이 아니라 1500으로 적어야 합니다. 성분이 둘인 벡터를 받으면 세 번째 성분은 빠지는 것이 아니라 모두 0입니다. 이 페이지는 성분이 무엇으로 측정되었는지 알지 못하며, 단위 벡터는 무차원이고 성분과 크기는 입력이 지닌 단위를 그대로 달고 있습니다. 소수점 네 자리는 정밀도를 주장하는 것이 아니라 표시 폭입니다.

다른 벡터 페이지에 없는 무엇을 이 페이지가 주나요?

성분을 수로 인쇄해 그것을 나눠 낸 단위 벡터 옆에 놓아 준다는 점입니다. 크기 줄은 벡터 크기 페이지가 주는 것과 같은 수이고 단위 벡터 줄도 단위 벡터 페이지가 주는 것과 같은 수이므로, 읽기 자체가 새로운 것은 아닙니다. 새로운 것은 성분과 함께 한 패널에 있다는 점이고, 3과 4가 한 묶음, 0.6과 0.8이 다음 묶음으로 보이면서 나눗셈을 그대로 읽어 낼 수 있는 곳은 거기뿐입니다.

어느 수가 방향인가요?

단위 벡터 줄 셋이며 함께 읽어야 합니다. 성분 하나만으로는 방향이 되지 않습니다. 단위 벡터는 입력한 벡터와 정확히 같은 직선을 향하고 길이만 나눠 낸 것이라 자기 길이가 언제나 1이고, 담고 있는 값은 순전히 방향에 대한 것입니다. 그 위의 크기 줄은 수 하나라 방향을 표현할 수 없고, 그래서 세 줄이 모두 필요합니다.

직접 입력한 성분을 왜 다시 인쇄하나요?

입력을 수로 바꾼 것을 단위 벡터 옆에서 보는 것이 이 페이지의 요점이기 때문입니다. 입력이 어떻게 읽혔는지도 이 줄이 정리해 줍니다. 적힌 그대로인 0 0 5는 수가 하나인 벡터로 받아들여질 수도 있는데, 성분 줄은 0이 두 개 들어 있는 3차원 벡터임을 보여 줍니다. 이것이 없으면 패널은 입력과 아무 연결도 보이지 않는 크기와 방향만 내놓게 됩니다.

크기 페이지는 받아들이는 영벡터를 왜 여기서는 거부하나요?

이 페이지는 세 가지 읽기를 약속했는데 영벡터에는 그중 둘밖에 없기 때문입니다. 성분은 0 0 0이고 크기는 0이지만 방향이 없습니다. 정규화하려면 길이 0으로 나눠야 하기 때문입니다. 크기 페이지는 한 가지 읽기를 약속하고 그것을 낼 수 있으므로 같은 입력에 답합니다. 패널은 모든 줄에 값을 인쇄하므로 일부가 빈 결과는 이 페이지가 보여 줄 수 있는 모양이 아닙니다.

벡터 크기 계산기와는 어떻게 다른가요?

그 페이지는 질문 하나에 답하고 이 페이지는 셋에 답합니다. 크기 값 자체는 양쪽이 같습니다. 길이만 필요하면 더 짧은 페이지가 더 빨리 거기 도달합니다. 이 페이지는 길이와 방향을 함께 보고 둘의 관계를 확인하고 싶을 때 쓰는 것입니다. 단위 벡터 성분은 성분을 크기로 나눈 값이고, 둘 다 화면에 있으면 그것을 믿고 넘기는 대신 확인할 수 있는 것이 됩니다.

2차원 벡터를 넣어도 되나요?

됩니다. 모든 줄의 세 번째 성분이 0으로 돌아옵니다. 성분이 둘인 벡터는 평면의 벡터이고 세 번째 값이 0인 3차원 벡터와 같은 것이라, 차원 설정 없이 한 패널로 둘 다 처리합니다. 크기는 항이 둘인 같은 제곱근이고 단위 벡터는 두 성분을 그 길이로 나눈 값입니다.

• Vector — 이 페이지가 설명하는 대상이며, 성분의 정의와 여기서 이끌어 내는 두 양인 크기와 방향을 포함합니다 — Wolfram MathWorld (United States)
• Vector magnitude — 성분 제곱의 합의 제곱근으로서의 벡터의 길이이며, 이 페이지가 내는 세 읽기 가운데 첫 번째입니다 — Wolfram MathWorld (United States)
• Unit vector — 주어진 방향을 향하는 길이 1의 벡터이며, 방향이라는 읽기를 표현하는 방식이고 크기로 나눈 결과입니다 — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准(2022年版)的通知 — 이 통지의 첨부 목록 제5항이 《义务教育数学课程标准(2022年版)》에 해당하며, 평면벡터와 그 선형 연산은 이 교육과정 기준의 해당 학년군 내용이므로 원문과 학년군 구분은 이 첨부를 기준으로 합니다 — 中华人民共和国教育部