벡터 덧셈 계산기

u + v = (u₁ + v₁, u₂ + v₂, u₃ + v₃) u − v = u + (−v) |u + v| = √(w₁² + w₂² + w₃²)

벡터 u

첫 번째 벡터이며 공백이나 쉼표로 나눈 두세 개의 수로 적습니다. 두 상자 중 어디에 들어가는지는 덧셈의 답을 바꾸지 않고 뺄셈에서는 부호만 뒤집으므로, 그냥 첫 번째로 다뤄도 잃는 것이 없습니다

벡터 v

두 번째 벡터이며 같은 방식으로 적습니다. 첫 번째와 성분 개수가 같아야 합니다. 성분이 둘인 벡터를 셋인 벡터에 더하는 규칙은 없으며, 세 번째 수가 짝지어질 상대가 없기 때문입니다

u + v

성분끼리 계산한 합입니다. 답의 각 성분은 두 입력에서 같은 자리에 있는 성분만 씁니다. 첫 번째 성분끼리, 두 번째 성분끼리 하는 식입니다

u − v

차이며, 두 번째 벡터의 모든 성분을 먼저 부호를 바꾼 뒤 더한 값입니다. 두 번째 벡터의 부호를 뒤집는 것이 덧셈과 뺄셈의 차이 전부이고, 그래서 컨트롤 하나가 둘을 겸합니다

결과 벡터의 x, y, z 성분

답의 세 줄이며 함께 읽으면 하나의 벡터가 됩니다. 두 입력이 모두 성분 둘인 벡터일 때 세 번째 줄은 0인데, 그 0은 자리를 채운 것이 아니라 같은 방향을 세 좌표로 적었을 때의 모습입니다

|u + v|

결과 벡터의 크기이며 성분 제곱합의 제곱근입니다. 세 성분과는 별개의 물음이라 자기 줄을 가질 값어치가 있습니다. 성분은 답이 어디를 향하는지를 말하고 크기는 얼마나 뻗어 있는지를 말합니다

더하기 또는 빼기

이 페이지가 묻는 유일한 선택이며 두 모드 사이에서 바뀌는 유일한 것입니다. 어느 쪽이든 같은 상자 둘과 같은 출력 줄 넷을 쓰고 산술만 달라집니다

영벡터

성분이 모두 0인 벡터입니다. 합이나 차가 영벡터일 수 있고 그것은 실패가 아니라 올바른 답입니다. 어떤 벡터에 그 반대를 더하면 정확히 이렇게 되며, 참고표에도 그런 줄이 하나 있습니다

소수점 네 자리

출력을 적는 폭입니다. 덧셈과 뺄셈만 하므로 입력이 정수면 성분은 정확하고, 반올림이 필요한 쪽은 제곱근인 크기입니다

두 벡터가 같은 대상에 동시에 작용할 때 그 합쳐진 효과를 알고 싶으면 이 페이지를 씁니다. 한 물체에 걸린 두 힘, 물살 위에서 더해지는 두 속도, 차례로 걸어간 두 변위가 모두 성분끼리의 덧셈이고, 답은 둘의 일을 대신할 벡터 하나입니다. 뺄셈은 같은 물음의 나머지 절반에 답합니다. u − v는 v의 끝에서 u의 끝으로 가는 벡터이고, 그래서 상대 위치와 상대 속도를 구하는 계산 뒤에는 늘 이 연산이 있습니다. 벡터의 덧셈이 이렇게 쉬운 이유는 성분이 서로 섞이지 않기 때문이며, 그 점은 알아 둘 값어치가 있습니다. 곱셈에서는 그렇지 않아서 답의 모든 성분이 두 입력의 모든 성분에 달려 있고 각도가 등장합니다. 성분이 둘도 셋도 괜찮고, 두 입력의 개수만 서로 맞으면 됩니다. 합이 0인 것은 평범한 결과입니다. 어떤 벡터에 그 반대를 더하면 0이 되고 0도 훌륭한 벡터입니다. 헷갈리지 말아야 할 것은 옆에 인쇄되는 크기가 결과의 크기이지 두 입력의 크기를 더한 값이 아니라는 점입니다. 두 벡터가 같은 방향을 향할 때가 아니면 그 둘은 다른 수이고, 그 차이가 바로 벡터를 크기끼리 더하지 않는 이유 전부입니다.

1. 3 4 + 1 2

   1. x 성분: 3 + 1 = 4
   2. y 성분: 4 + 2 = 6
   3. z 성분: 0 + 0 = 0이며 두 입력 모두 성분이 둘인 벡터입니다
   4. 크기: √(16 + 36 + 0) = √52 = 7.211103

   페이지가 처음 열릴 때 들어 있는 입력이고 모든 단계가 눈에 보이는 경우입니다. 두 벡터가 대략 같은 방향을 향하므로 답이 깁니다. 7.2111이고, 입력의 크기는 5와 2.2361이라 그 합은 7.2361입니다. 여기서는 둘이 가깝지만 같지는 않으며, 두 벡터가 정확히 같은 방향을 향할 때만 같아집니다. 참고표에 그런 줄이 둘 있고, 그 밖의 모든 줄에서는 합이 두 크기를 더한 값보다 짧게 나옵니다.

2. 3 4 − 1 2

   1. x 성분: 3 − 1 = 2
   2. y 성분: 4 − 2 = 2
   3. z 성분: 0 − 0 = 0
   4. 크기: √(4 + 4) = √8 = 2.828427

   첫 번째 예와 같은 두 벡터에 다른 쪽을 고른 경우이고, 달라진 것은 두 번째 입력에 붙는 부호뿐입니다. 두 벡터가 비슷한 방향을 향하고 있어서 서로를 떼어 내면 남는 것이 적으므로 답이 어느 입력보다도 짧게 나옵니다. 이 예와 첫 번째 예를 오가며 보는 것이 컨트롤이 하는 일을 가장 빨리 확인하는 길입니다.

3. 1 2 3 + (-1) (-2) (-3)

   1. x 성분: 1 + (−1) = 0
   2. y 성분: 2 + (−2) = 0
   3. z 성분: 3 + (−3) = 0
   4. 크기: √(0 + 0 + 0) = 0

   어떤 벡터에 자기 자신의 반대를 더한 경우이고 영벡터가 나옵니다. 잘못된 것이 하나도 없습니다. 두 화살표는 길이가 같고 방향이 반대라, 그것이 그리는 여정은 출발한 자리에서 끝납니다. 페이지는 이것을 거부하지 않고 결과로 보고하며, 참고표의 일곱째 줄이 같은 경우입니다. 이 입력에서 컨트롤을 빼기로 바꾸면 답이 대신 두 배가 됩니다. 2 4 6에 크기 7.4833이고, 부호의 효과가 이보다 분명해지기는 어렵습니다.

4. −1 2 − 3 −5

   1. x 성분: −1 − 3 = −4
   2. y 성분: 2 − (−5) = 2 + 5 = 7
   3. z 성분: 0 − 0 = 0
   4. 크기: √(16 + 49) = √65 = 8.062258

   부호가 상쇄되지 않아 산술을 조심해야 하는 경우입니다. 음수 오를 빼는 것은 오를 더하는 것이라 y 성분이 7까지 커지고, x 성분은 두 번째 벡터의 첫 성분이 더 커서 음수가 됩니다. 결과가 어느 입력보다도 길어지는데, 이는 두 벡터가 반대 방향을 향할 때마다 일어납니다. 그리고 크기가 그 사실을 가장 분명하게 보여 줍니다. −4와 7이라는 성분만 보아서는 긴 벡터인지 알기 어렵지만 제곱해서 더하면 드러납니다.

두 벡터의 성분 개수가 같아야 하고 각각 두 개나 세 개여야 합니다. 패널에 성분 줄이 셋뿐이라, 개수가 어긋나면 한쪽의 세 번째 수가 짝지어질 상대를 잃습니다. 성분이 둘인 벡터를 셋으로 채우지는 않습니다. 그것은 평평한 평면에 놓여 있고, 셋째 줄에 인쇄되는 0은 같은 방향을 세 좌표로 적었을 때의 모습입니다. 성분은 보통의 수로 읽습니다. 쉼표 뒤에 공백이 있으면 성분을 나누고, 공백 없이 붙은 쉼표는 소수점으로 읽으며(1,5는 1.5), 세 자리 묶음 쉼표는 추측하지 않고 거부합니다. 1,500이 아니라 1500으로 적어야 합니다. 참고표는 덧셈만 보여 줍니다. 표는 어느 쪽이 선택되었는지 모른 채 만들어지기 때문입니다. 뺄셈은 같은 줄에서 두 번째 벡터의 부호를 뒤집은 것이고, 아래의 예제들이 그 경우를 다룹니다. 결과 옆에 인쇄되는 크기는 결과의 크기이지 두 입력의 크기를 더한 값이 아닙니다. 두 크기를 더한 값이 맞는 것은 두 벡터가 정확히 같은 방향을 향할 때뿐이고, 어떤 벡터에 그 반대를 더하면 크기의 두 배가 아니라 0이 나오며, 그것이 그 조건에서 가장 멀리 떨어진 경우입니다. 소수점 네 자리는 정밀도 주장이 아니라 표시 폭이고, 크기는 반올림하지 않은 값에서 계산되므로 인쇄된 성분을 제곱해 더하면 인쇄된 크기와 딱 맞지 않을 수 있습니다. 이 페이지는 성분이 무엇으로 측정되었는지 알지 못하며, 답은 입력이 지닌 단위를 그대로 나릅니다. 성분과 크기가 모두 같은 단위이므로 세 성분만 따로 길이처럼 읽어서는 안 됩니다.

두 벡터를 더한다는 것이 무슨 뜻인가요?

성분을 자리별로 더한다는 뜻입니다. 첫 번째 성분끼리, 그다음 두 번째, 그다음 세 번째를 더해 그 합계 셋을 답의 성분으로 삼습니다. 곱하는 것도 없고 각도도 필요 없으며, 그래서 벡터의 덧셈이 벡터의 곱셈보다 훨씬 쉽습니다. 성분이 서로 섞이지 않아 답의 각 자리가 두 입력의 같은 자리 하나씩에만 달려 있기 때문입니다.

벡터의 뺄셈은 덧셈과 어떻게 다른가요?

부호 하나만 다릅니다. 빼기는 두 번째 벡터의 부호를 먼저 뒤집고 더하는 것이라 u − v와 u + (−v)는 같은 계산을 다르게 적은 것입니다. 그래서 이 페이지에서 둘이 컨트롤 하나 뒤에 있습니다. 달라지는 산술이 부호 하나이고, 같은 입력 아래에서 둘을 나란히 두는 것이 그것을 보는 가장 분명한 방법이기 때문입니다. 3 4에서 1 2를 빼면 2 2가 되고 더하면 4 6이 됩니다.

합이 영벡터가 될 수도 있나요?

그렇습니다. 그리고 그것은 실패가 아니라 올바른 답입니다. 어떤 벡터에 정확한 반대를 더하면 0이 됩니다. 두 화살표는 길이가 같고 방향이 반대라 그것이 그리는 변위는 출발한 자리로 돌아옵니다. 페이지는 세 성분 모두 0과 크기 0을 보고하고, 참고표의 일곱째 줄이 이 경우이며 같은 입력을 빼기로 하면 대신 2u가 나옵니다.

두 벡터의 성분 개수가 같아야 하나요?

그렇습니다. 성분이 둘인 벡터를 셋인 벡터에 더하는 규칙은 없으며, 세 번째 수가 짝지어질 상대가 없기 때문입니다. 각 입력은 두 개나 세 개를 가질 수 있지만 그것은 산술이 아니라 패널의 한계이고, 두 개수는 서로 맞아야 합니다. 페이지는 빠진 자리를 조용히 0으로 채우는 대신 그렇다고 말합니다.

합의 크기는 두 벡터 크기의 합인가요?

아닙니다. 이 페이지가 가장 막고 싶어 하는 실수가 이것입니다. 합의 크기가 두 크기의 합과 같아지는 것은 두 벡터가 정확히 같은 방향을 향할 때뿐이고, 반대 방향일 때는 크기의 차가 될 수 있으며, 수직일 때는 둘 중 어느 쪽보다도 작습니다. 성분이 부분적으로 상쇄될 수 있고, 상쇄가 어느 쪽으로 일어나는지는 크기가 아니라 방향이 정하기 때문입니다.

2차원 벡터를 3차원 벡터에 더할 수 있나요?

안 됩니다. 페이지는 빠진 세 번째 성분을 0으로 채우는 대신 거부합니다. 성분이 둘인 벡터는 평면 위의 벡터이고, 세 번째 성분이 0인 3차원 벡터와 같은 것입니다. 다만 그것은 평면이 공간 속에 놓여 있는 방식에 대한 사실이지 없는 수에 수를 더해도 된다는 허가가 아닙니다. 그것이 뜻하는 바라면 세 번째 성분을 직접 적으십시오.

• Vector addition — 성분끼리 더하는 합과, 같은 말을 기하로 하는 평행사변형 규칙이며 이 페이지의 입력 상자 둘과 결과 줄이 구현하는 것입니다 — Wolfram MathWorld (United States)
• Vector subtraction — 두 벡터의 차를 두 번째 것을 부호 반전해 더한 것으로 정의하며, 이 페이지에서 컨트롤 하나가 두 연산을 겸하는 이유입니다 — Wolfram MathWorld (United States)
• Vector — 더해지는 대상이며, 성분 개수가 같은 벡터끼리만 더할 수 있다는 규칙과 어떤 벡터와 그 반대의 합이 영벡터라는 사실을 포함합니다 — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准(2022年版)的通知 — 이 통지의 첨부 목록 제5항이 《义务教育数学课程标准(2022年版)》에 해당하며, 평면벡터와 그 선형 연산은 이 교육과정 기준의 해당 학년군 내용이므로 원문과 학년군 구분은 이 첨부를 기준으로 합니다 — 中华人民共和国教育部