범위 계산기

범위 = max − min

max

데이터에서 가장 큰 값입니다. 이 값과 가장 작은 값만 계산에 참여하므로, 그 사이에 있는 값들은 아무리 뒤섞어도 답이 달라지지 않습니다

min

데이터에서 가장 작은 값입니다. 가장 큰 값과 함께 전체 폭을 정하며, 그래서 범위를 두 극단값만 쓰고 나머지는 쓰지 않는 산포의 측도라고 부릅니다

range

모든 값을 담는 구간의 폭이고 데이터와 같은 단위를 갖습니다. 결코 음수가 되지 않으며, 모든 값이 같을 때 정확히 0이 됩니다

n

목록에 들어 있는 값의 개수이며 여기서는 최대 200개까지 받습니다. 답에는 아무 영향이 없습니다. 개수를 인쇄하는 이유는 목록 전체를 읽었다는 것을 확인할 수 있게 하기 위해서뿐입니다

흩어짐을 한 줄로 말해야 하고 그 극단값들이 흥미로운 자리일 때 범위를 씁니다. 하루의 기온 변화 폭, 가장 싼 견적과 가장 비싼 견적의 간격, 경주에서 최고 기록과 최저 기록의 차이가 그렇습니다. 극단값만 중요한 공정, 예컨대 축이 허용 폭 안에 들어가는지 아닌지를 보는 공차 검사에서는 이것이 정직한 요약이기도 합니다. 범위가 틀린 도구가 되는 자리는 데이터의 가운데가 중요할 때입니다. 값 두 개만 쓰고 나머지를 버리기 때문에, 엉뚱한 값 하나가 전체 분포의 진짜 이동만큼이나 크게 이 수를 움직입니다. 표준편차와 사분위 범위가 존재하는 이유가 그것입니다. 그 둘은 데이터의 영향력을 나눠 갖고, 꼬리가 두꺼운 목록에서도 쓸모를 잃지 않습니다. 평균 옆에 붙은 범위는 목록이 짧지 않다면 경고 신호이고, 위에서처럼 최솟값과 최댓값 옆에 붙은 범위는 그냥 양 끝에 대한 설명입니다.

1. 여덟 개의 값: 범위는 7

   1. 정렬: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 — 가장 작은 값은 2이고 가장 큰 값은 9
   2. 범위 = 9 − 2 = 7
   3. 가운데 여섯 값인 4, 4, 4, 5, 5, 7은 계산에 전혀 참여하지 않았습니다

   여덟 값은 우연히도 가운데 3 단위 안에 몰려 있는데, 범위는 7이라고 보고합니다. 빽빽한 부분이 아니라 전체 폭을 재기 때문입니다. 목록이 얼마나 넓은가와 값들이 얼마나 옹기종기 모여 있는가는 다른 질문이고, 그래서 흩어짐의 측도를 하나 더 함께 인용하는 것이 보통입니다.

2. 값 하나를 밀어냈을 때: 범위가 88로 뜀

   1. 가장 큰 값만 9에서 90으로 바뀌었고 나머지 일곱은 첫 번째 예와 같습니다
   2. 범위 = 90 − 2 = 88
   3. 같은 목록의 표본 표준편차는 2.1381에서 30.2864로 올라갑니다

   두 측도가 모두 올랐지만 이유가 다릅니다. 범위는 극단값이 움직인 만큼 정확히 움직였습니다. 가장 바깥 두 점만이 이 값을 정하고 다른 것은 아무것도 정하지 않기 때문입니다. 표준편차는 여덟 값에 고루 퍼져 있어서 같은 변화 하나가 나머지 일곱에 의해 흡수되고 희석됩니다. 숫자 하나의 입력 실수 하나면 범위는 뜻을 잃기에 충분하고, 표준편차를 그만큼 움직이려면 데이터가 진짜로 달라져야 합니다.

3. 음수와 소수가 섞인 경우

   1. 가장 작은 값은 −5이고 가장 큰 값은 10입니다. 부호도 값의 일부이므로 폭이 0을 가로지릅니다
   2. 범위 = 10 − (−5) = 10 + 5 = 15
   3. 음수 측정값도 양수와 똑같이 작동합니다. 최솟값을 빼는 것이 그 크기를 더하는 셈이 되는데, 음수 두 개가 서로 상쇄되기 때문입니다

   음수를 빼는 자리가 손 계산에서 가장 자주 틀리는 곳이고, 데이터가 0을 가로지르면 답이 양 끝값 어느 쪽보다도 눈에 띄게 커집니다. 영하의 기온, 해수면 아래의 고도, 마이너스가 되는 계좌 잔액이 모두 같은 방식으로 작동합니다.

범위는 목록 전체에서 값 두 개만 쓰므로 극단값 하나가 이 값을 통째로 정합니다. 입력 실수 하나, 계측기 오작동 한 번, 정말로 이례적인 하루 하나면 그 수가 오차만큼 그대로 움직입니다. 데이터의 가운데에 대해서도 아무 말을 하지 않는데, 값들은 대개 거기에 몰려 있습니다. 최솟값과 최댓값이 같은 두 목록이 고르게 퍼져 있을 수도 있고 한 덩어리로 뭉쳐 있을 수도 있지만 범위는 그 둘을 구별하지 못합니다. 데이터 묶음끼리 범위를 견주는 일은 단위와 표본 크기가 비슷할 때만 의미가 있습니다. 표본이 클수록 극단값을 품을 기회가 많기 때문입니다. 목록은 200개까지이며, 1,500 같은 표기는 추측하지 않고 거부합니다. 자릿수 사이의 쉼표가 어떤 나라에서는 소수점이고 다른 나라에서는 천 단위 구분 기호이기 때문입니다. 이 페이지는 이상치를 알려 주지 않습니다. 범위는 그 일에 쓸 마지막 측도입니다. 시험하려는 바로 그 값들이 이 측도를 정의하고 있기 때문입니다.

데이터의 범위는 어떻게 구하나요?

가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾아 빼면 됩니다. 범위 = 최댓값 − 최솟값입니다. 목록 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 라면 9 − 2 = 7입니다. 목록의 다른 값은 아무 상관이 없으므로 정렬할 필요도, 개수를 셀 필요도 없습니다. 다만 목록이 길 때는 정렬이 두 극단값을 찾는 확실한 방법이 됩니다. 위 계산기는 붙여 넣은 숫자를 그대로 받아 답 옆에 최솟값과 최댓값을 인쇄하므로 뺄셈을 확인할 수 있습니다.

범위는 왜 값 하나에 이렇게 쉽게 흔들리나요?

가장 바깥 두 값으로 정의되고 나머지를 전부 무시하기 때문입니다. 예에서 9를 90으로 바꾸면 범위는 7에서 88로, 즉 그 값이 움직인 만큼인 81만큼 뜁니다. 같은 목록의 표본 표준편차는 2.1381에서 30.2864로밖에 오르지 않습니다. 여덟 값이 각자 한 몫씩 보태기 때문입니다. 그 민감함은 공식의 결함이 아니라 목록의 폭이라는 말의 뜻입니다. 다만 그래서 범위는 값이 몇 개 들어갔는지 함께 밝히지 않고 인용해서는 안 됩니다.

범위와 사분위 범위는 같은 것인가요?

아닙니다. 서로 다른 질문에 답합니다. 범위는 가장 작은 값부터 가장 큰 값까지 데이터의 전체 폭입니다. 사분위 범위는 제1사분위수부터 제3사분위수까지, 가운데 절반의 폭입니다. 사분위 범위는 꼬리에 일부러 둔감하고 범위는 일부러 민감합니다. 그래서 둘을 함께 인용하면 전체 폭과 빽빽한 가운데의 폭을 두 수로 건네줄 수 있습니다. 하나만 넣을 자리라면, 데이터의 극단값이 의미 있는 값인지 실수인지를 먼저 물어보세요.

범위는 표본과 모집단 가운데 무엇을 따르나요?

따르지 않습니다. 그래서 이 페이지에는 선택 상자가 없습니다. 그 구별은 값의 개수로 나누거나 하나 뺀 수로 나누는 양, 즉 분산과 표준편차에서 중요합니다. 제수가 표본과 모집단에서 다르기 때문입니다. 범위는 뺄셈이므로 의견이 갈릴 제수가 없습니다. 분산과 표준편차 페이지에는 그 선택 상자가 있고, 여기에 두면 아무것도 바뀌지 않으면서 바뀔 것처럼 보이게 만들 뿐입니다.

범위가 음수가 될 수도 있나요?

음수는 될 수 없습니다. 가장 큰 값은 정의상 가장 작은 값 이상이므로 뺄셈 결과는 0이거나 양수입니다. 정확히 0이 되는 것은 목록의 모든 값이 같을 때이고, 값이 하나뿐이라 최댓값과 최솟값이 그 값인 경우도 포함됩니다. 여기서 0은 실패가 아니라 진짜 답입니다. 데이터에 흩어짐이 전혀 없다는 뜻입니다. 값 하나만 넣어도 받아 주는 이유도 같습니다. 이 계산에는 두 번째 관측값이 필요하지 않습니다.

이 페이지가 어떤 값이 이상치인지 알려 주나요?

아니요. 이상치 후보를 표시하는 표준 규칙은 사분위 범위를 씁니다. 제1사분위수보다 1.5 × IQR 넘게 아래에 있거나 제3사분위수보다 그만큼 위에 있는 값을 봅니다. 그것은 별개의 계산기입니다. 범위로 그 일을 하려면 순환 논리가 됩니다. 범위는 시험하려는 바로 그 극단값으로 정의되기 때문입니다. 어떤 데이터든 자기 최솟값과 최댓값은 정의상 가장 극단적인 점입니다. 이 페이지는 목록이 얼마나 넓은지 설명하고, 판정은 그 일을 위해 만들어진 도구에 맡깁니다.

• Measures of Scale — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 — 범위를 가장 큰 값에서 가장 작은 값을 뺀 것으로 정의하고, 데이터 가운데의 흩어짐은 전혀 잡히지 않는다고 적어 둔 절 — National Institute of Standards and Technology
• GB/T 3358.1-2009, Statistics — Vocabulary and symbols, Part 1 — 범위와 나머지 산포 측도를 다루는 중국 국가 어휘 표준(기록 페이지에 온라인 전문을 제공하지 않는다고 적혀 있음) — State Administration for Market Regulation, China