동전 던지기

앞면 = 수열에 나타난 H의 개수 · 뒷면 = 던진 횟수 − 앞면 · 가장 긴 연속 = 같은 결과가 이어진 가장 긴 덩어리 · 갈릴 확률 = C(n, 앞면) / 2ⁿ

flips

동전을 던질 횟수입니다. 수열은 던짐마다 H 또는 T 하나를 담고, 다른 모든 출력은 정확히 이 횟수만큼의 던짐 위에서 세어집니다

seed

난수 시드입니다. 생성기에서 어느 수열을 뽑을지 정합니다. 같은 시드는 언제나 같은 앞면과 같은 뒷면을 만들므로 한 번의 실행을 그대로 되풀이할 수 있습니다. 어느 쪽이 더 잘 나오게 만들지는 않습니다

H

앞면이며, 똑같이 그럴듯한 두 면 가운데 하나입니다. 수열은 글자 대신 H와 T를 인쇄합니다. 그 글자가 이 페이지 나머지가 쓰는 표기이고, 모든 언어에서 같게 유지되기 때문입니다

T

뒷면이며 다른 한 면입니다. 공정한 동전에는 기억이 없으므로 한쪽이 연속으로 나오는 것은 동전이 기울었다는 뜻이 아니라 수열의 우연입니다

split chance

공정한 동전이 이 횟수 가운데 정확히 이만큼 앞면이 나오게 할 확률입니다. 이 특정한 갈림이 나올 확률이며, 실제로 나온 비율과는 다른 질문입니다

동전 없이 동전 던지기 연속을 보고 싶을 때, 또는 앞면과 뒷면의 수열을 눈으로 훑는 대신 세어야 할 때 씁니다. 가장 긴 연속은 수열에서 눈으로 읽어 낼 수 없는 부분이고, 가장 자주 잘못 판단되는 부분이기도 합니다. 200번 던져 일곱 번 연속 나오는 것은 평범한 일이며, 동전이 편향되었다는 증거가 아닙니다. 갈릴 확률은 짝을 이루는 질문에 답합니다. 이번에 앞면이 나온 비율이 얼마인지가 아니라, 공정한 동전이 애초에 그런 갈림을 낼 확률이 얼마인지입니다. 이 페이지는 동전이 공정한지 검정하지 않습니다. 공정하다고 가정하고, 공정함이 어떤 모습인지를 보여 줍니다.

1. 10번 던져 앞면 7, 뒷면 3, 가장 긴 연속 3

   1. 생성기에서 결과 10개를 뽑습니다: H, T, H, H, H, T, H, H, T, H
   2. H를 셉니다. 7개이므로 뒷면은 10 − 7 = 3개입니다
   3. 비율은 7 / 10 = 70%입니다
   4. 수열을 한 번 훑어 한쪽이 이어진 가장 긴 덩어리를 찾습니다. 3번에서 5번까지 HHH가 있고 7번에서 8번까지 H H가 또 있습니다. 가장 긴 것은 3입니다
   5. 공정한 동전 10번에서 정확히 앞면 7번이 나올 확률은 C(10,7) / 2¹⁰ = 120 / 1024 = 11.72%입니다

   마지막 두 수를 나란히 읽으세요. 이 페이지가 가장 자주 잘못 읽히는 짝이기 때문입니다. 70%는 이번에 일어난 일이고, 11.72%는 공정한 동전이 7대 3으로 갈릴 일이 얼마나 자주 있는지입니다. 어느 쪽도 다른 쪽과 모순되지 않고, 70%는 11.72%를 다시 말한 것이 아닙니다. 첫째는 이번 실행을 서술하고, 둘째는 앞면이 7개 들어 있는 10번 던지기 실행 전체의 가족을 서술합니다.

2. 같은 10번을 다른 시드로: 5대 5

   1. 시드 7은 다른 수열을 뽑습니다: T, T, H, H, H, T, T, T, H, H
   2. 앞면 5개, 뒷면 5개이므로 비율은 50%입니다
   3. 가장 긴 덩어리도 다시 3입니다. 6번에서 8번까지 TTT, 3번에서 5번까지 HHH입니다
   4. 5대 5로 갈릴 확률은 C(10,5) / 2¹⁰ = 252 / 1024 = 24.61%입니다

   두 실행 모두 가장 긴 덩어리가 3이었고, 그것이 10번 던지기에서 평범한 결과이며 의미를 부여할 우연이 아닙니다. 움직인 것은 갈릴 확률입니다. 5대 5는 7대 3보다 두 배 이상 그럴듯합니다. 앞면 5개를 10자리에 배치하는 방법이 7개를 배치하는 방법보다 훨씬 많기 때문입니다. 시드가 숨은 세부가 아니라 필드인 이유도 여기 있습니다. 같은 페이지를 두 번 열었을 때 조용히 다른 답이 나오면 안 되고, 논의할 만한 실행은 되풀이할 수 있어야 합니다.

3. 한 번 던지기, 하한

   1. 결과를 하나 뽑습니다: H
   2. 앞면 1개, 뒷면 0개이므로 비율은 1 / 1 = 100%입니다
   3. 같은 결과가 이어진 가장 긴 덩어리는 그 한 번 자체이므로 1입니다
   4. 공정한 동전 한 번에서 앞면 1개가 나올 확률은 C(1,1) / 2¹ = 1/2, 즉 50%입니다

   한 번이 이 페이지가 받는 가장 작은 입력이고, 비율과 확률이 왜 따로 있어야 하는지도 여기서 드러납니다. 한 번 던지면 한쪽으로 떨어지므로 비율은 100%입니다. 동전에 대해 아무것도 말해 주지 않는 수입니다. 갈릴 확률은 50%이고, 말해 주는 쪽은 그 수입니다. 한 번일 때 두 행은 거의 모순처럼 보입니다. 200번이면 둘이 가까워지고, 작은 횟수에서 벌어지는 그 틈이 표본 추출이라는 주제 전체입니다.

4. 200번 던져 아홉 번 연속

   1. 생성기에서 결과 200개를 뽑습니다. 수열 행에 그것이 모두 담깁니다
   2. 앞면을 셉니다. 95개이므로 뒷면은 200 − 95 = 105개입니다
   3. 비율은 95 / 200 = 47.5%이며, 반반에서 2.5퍼센트포인트 떨어져 있습니다
   4. 한쪽이 이어진 가장 긴 덩어리는 9입니다. 같은 결과가 아홉 번 연속입니다
   5. 공정한 동전 200번에서 정확히 앞면 95번이 나올 확률은 약 4.39%입니다

   곱씹어 볼 수는 아홉 번 연속입니다. 사람들은 아홉 번 연속을 동전에 문제가 있다는 증거로 읽지만, 공정한 동전 200번에서는 특별할 것이 없습니다. 가장 긴 덩어리는 수열의 길이와 함께 자랍니다. 느리게, 그러나 상한 없이 자랍니다. 두 행이 어느 쪽으로 당기는지도 눈여겨보세요. 비율은 47.5%로 반반에 가까워 맞아 보이는데 갈릴 확률은 4.39%밖에 되지 않습니다. 정확히 95번에 떨어지는 것은 모두 비슷해 보이는 여러 결과 가운데 하나의 특정한 결과이기 때문입니다.

이 던짐은 물리적이지 않습니다. 하나하나가 난수 시드가 정해진 생성기에서 나오므로, 이 페이지가 보여 주는 것은 공정한 동전처럼 행동하는 수열이지 진짜 동전의 기록이 아닙니다. 같은 시드가 언제나 같은 수열을 뽑는다는 점이 그 필드의 요점이자 한계입니다. 세 가지 한계를 더 밝혀 둡니다. 첫째, 이 페이지는 동전이 공정한지 검정하지 않습니다. 매번 확률이 2분의 1이라고 가정하고 그로부터 나오는 것을 보고하므로, 실제로 편향된 동전도 이 페이지는 공정한 것처럼 서술합니다. 둘째, 200번이 상한인데, 이는 이 페이지를 위해 고른 값이 아니라 공유 난수 커널의 뽑기 한도에서 물려받은 값입니다. 200번이면 수열 행이 여러 줄로 접힐 만큼 길어집니다. 셋째, 이 페이지는 결과를 보여 줄 뿐 판정하지 않습니다. 아홉 번 연속도, 앞면이 70%를 차지한 것도 놀라운지에 대한 어떤 논평 없이 인쇄됩니다. 그 판단은 옆에 있는 갈릴 확률을 읽어서 하는 것입니다.

같은 시드는 왜 언제나 같은 수열을 주나요?

던짐이 진짜 동전이 아니라 시드가 정해진 난수 생성기에서 나오고, 시드가 그 생성기의 흐름에서 어느 수열을 뽑을지 정하기 때문입니다. 시드 1을 두 번 넣으면 같은 10개의 앞면과 뒷면이 나오고, 7로 바꾸면 같은 길이의 다른 실행이 나옵니다. 이것은 의도된 것입니다. 방문할 때마다 답을 다시 뽑는 페이지는 확인할 수 없고 결과를 인용할 수도 없으며, 이 페이지를 받치는 자동 테스트가 비교할 대상도 갖지 못합니다. 시드가 여기서 수량이 아닌 유일한 입력인 이유이기도 합니다. 시드는 수열을 고를 뿐 어느 쪽에도 무게를 싣지 않으므로 어떤 시드도 앞면을 더 잘 나오게 만들지 않습니다.

앞면 비율과 갈릴 확률은 무엇이 다른가요?

비율은 눈앞의 실행을 서술하고, 갈릴 확률은 이 길이의 모든 실행 가운데 이 갈림에 떨어지는 것을 서술합니다. 10번 던져 앞면이 7개 나오면 비율은 70%이고, 공정한 동전이 10번에서 정확히 앞면 7개를 낼 확률은 11.72%입니다. 같은 말을 두 가지로 한 것이 아니고, 서로 반대로 움직일 수도 있습니다. 200번에서는 비율이 50% 근처에 편안히 앉아 있는데 갈릴 확률은 5% 아래일 수 있습니다. 이웃이 붐벼도 정확히 한 횟수에 떨어지는 것은 좁은 표적이기 때문입니다. 비율은 결과로, 갈릴 확률은 놀람의 예산으로 읽으세요.

앞면이 아홉 번 연속 나오면 동전이 공정하지 않다는 뜻인가요?

아닙니다. 200번 던지기에서는 드문 일도 아닙니다. 같은 결과가 이어진 가장 긴 덩어리는 수열의 길이와 함께 자랍니다. 느리지만 상한이 없이 자라므로 긴 연속은 공정한 동전이 언젠가는 만들어 내야 하는 것입니다. 공정한 동전이 하지 않는 일은 기억하는 것입니다. 앞면이 여덟 번 나온 뒤에도 아홉 번째는 여전히 2분의 1이고, 이 길이의 연속이 이렇게 긴 수열에서 나타나는 이유가 바로 그것입니다. 연속을 편향의 증거로 읽는 것은 수열 가운데 길이와 함께 자라는 유일한 부분을 상수처럼 읽는 일입니다. 가장 긴 연속 행을 인쇄하는 이유는 이 직관을 믿는 대신 확인할 수 있게 하기 위해서입니다.

왜 200번 넘게 던질 수 없나요?

200이 이 페이지와 주사위 굴리기, 난수 생성기가 함께 쓰는 공유 난수 커널의 뽑기 한도이기 때문입니다. 여기서 고른 값이 아니라 물려받은 값이고, 그대로 두면 하나의 시드가 세 페이지에서 같은 뜻을 갖습니다. 그 결과는 눈에 보입니다. 200번이면 수열 행이 여러 줄로 접힐 만큼 길어지는데, 그것은 렌더링 결함이 아니라 상한의 직접적인 결과입니다. 더 긴 수열이 필요하다면 정직한 답은 이 페이지가 맞는 도구가 아니라는 것입니다. 눈으로 세어야 하는 인쇄된 수열이 아니라 프로그램이 필요합니다.

계산기 아래에 결과 표가 없는 이유는 무엇인가요?

여기서 가질 만한 표는 여러분 자신의 수열인데, 참조표를 만드는 코드는 여러분이 입력한 것을 볼 수 없기 때문입니다. 그 코드는 빌드 시점에 계산기의 구조만으로 돌아가고 입력에 접근하지 못합니다. 일반적인 확률표를 붙이면 패널 아래에서 여러분의 질문에 대한 답처럼 보이면서 다른 질문에 답하게 됩니다. 그래서 이 페이지는 수열 자체를 패널의 마지막 행에 인쇄하고, 표는 고정된 수 집합 자체가 주제인 페이지에 맡깁니다.

H와 T는 무슨 뜻이고, 왜 단어가 아닌가요?

H는 앞면, T는 뒷면이며 뽑힌 순서대로 던짐마다 하나씩 인쇄됩니다. 모든 언어에서 글자로 유지되는 이유는 수열이 문구가 아니라 표기이기 때문입니다. 같은 던짐 실행은 페이지가 어느 언어이든 같은 문자열로 읽힐 수 있어야 하고, 번역된 수열은 옆에 있는 수와 비교하는 것 자체가 불가능해집니다. 이 행이 있는 이유는 횟수와 비율, 특히 가장 긴 연속을 손으로 확인할 수 있게 하기 위해서입니다. 가장 긴 연속은 다른 방법으로는 수열에서 읽어 낼 수 없습니다.

• Coin Tossing — from Wolfram MathWorld — 이상적인 동전: 확률이 같은 두 면을 H와 T로 씁니다 — Wolfram MathWorld
• Run — from Wolfram MathWorld — 연속은 같은 결과가 잇달아 나온 수열이며, 주어진 횟수 안에 주어진 길이의 연속이 나타날 확률을 다룹니다 — Wolfram MathWorld
• 3.1 Terminology — Introductory Statistics 2e — 큰 수의 법칙: 공정한 동전에서 앞면의 상대도수는 던진 횟수가 늘수록 2분의 1에 가까워집니다 — OpenStax (Rice University)