주사위 굴리기

가짓수(합계) = (x + x² + … + x^면수)^주사위수 전개식에서 x^합계의 계수 → 확률 = 가짓수(합계) / 면수^주사위수

diceCount

굴리는 주사위의 수이며 최대 20개입니다. 하나면 모든 눈이 똑같이 그럴듯한 평평한 분포가 되고, 둘 이상이면 가운데 합계가 쌓입니다. 합계의 확률을 보고할 값어치가 생기는 이유가 전부 이것입니다

sides

주사위마다의 면 수이며 2에서 100까지입니다. 익숙한 d6도 여기 있고, 스무 면체와 백 면체도 여기 있습니다

ways(total)

가능한 결과 가운데 그 합계가 되는 것이 몇 가지인지입니다. 가짓수는 주사위에서 정직한 단위입니다. 육면체 주사위 둘로 합계 7은 36가지 가운데 여섯 가지이고, 그 비가 곧 확률입니다

seed

굴림의 시작점이며 0에서 4294967295까지의 정수입니다. 같은 시드에 같은 묶음이면 같은 눈이 나오므로, 굴림을 다시 돌려 확인할 수 있는 것이 됩니다

total

눈의 합입니다. 전부 1일 때의 주사위수부터 전부 윗면일 때의 주사위수 × 면수까지이며, 한 묶음이 만들 수 있는 합계의 수는 주사위수 × 면수 − 주사위수 + 1입니다

합계가 중요하고 개별 눈은 세부일 때 손을 뻗으세요. 3d6 굴림이 목표 수를 넘길 만한지 따져볼 때, 게임 전에 2d6 합계의 확률을 확인할 때, 세션을 그대로 재현할 수 있도록 시드를 고정한 굴림을 만들 때가 그렇습니다. 시드를 고정하는 부분이 이것을 단순한 장난감 이상으로 만듭니다. 레벨을 생성하는 프로그램, 시나리오를 다시 돌리는 모임, 규칙을 시험하는 사람 모두 재현할 수 있는 굴림이 필요하고, 시드가 굴림 하나를 누구나 재현할 수 있는 굴림으로 바꿔 줍니다. 물리적 무작위성이라는 뜻의 공정한 주사위 시뮬레이터는 아닙니다. 수가 작고 결정적인 수열에서 나오므로, 참가자가 눈을 예측해서는 안 되는 자리는 이 페이지의 범위 밖입니다.

1. 육면체 주사위 둘, 시드 1: 4와 1, 합계 5

   1. 묶음이 육면체 주사위 둘이므로 똑같이 그럴듯한 눈의 짝이 6 × 6 = 36가지입니다
   2. 시드 1이 그 짝을 4와 1로 고정하고, 합계는 4 + 1 = 5입니다
   3. 합계 5는 1+4, 2+3, 3+2, 4+1로 나옵니다. 36가지 가운데 네 가지입니다
   4. 4 / 36 = 0.1111…이므로 확률은 11.11%입니다

   11.11%가 굴림 옆에 확률을 놓는 이유입니다. 합계 5는 특별해 보이지 않고 공동 3위로 그럴듯한 합계인데도 아홉 번에 한 번꼴로밖에 나오지 않습니다. 합계 2와 12가 각각 2.78%로 가장 드뭅니다. 만들 수 있는 방법이 각각 하나뿐이기 때문이고, 7은 방법이 여섯 가지라 16.67%입니다. 주사위가 하나면 이 구조가 아예 없습니다. 모든 눈이 1/면수이기 때문이며, 확률이 뜻밖으로 나올 때 묶음의 크기를 가장 먼저 보라는 이유가 이것입니다.

2. 육면체 주사위 셋, 시드 5: 5, 5, 2, 합계 12

   1. 육면체 주사위 셋은 똑같이 그럴듯한 결과가 6 × 6 × 6 = 216가지입니다
   2. 시드 5가 눈 5, 5, 2를 주고, 더하면 12입니다
   3. 이 묶음은 3 × 6 − 3 + 1 = 16가지 서로 다른 합계를 만들 수 있고, 3에서 18까지입니다
   4. 합계 12는 216가지 가운데 25가지이므로 확률은 11.57%입니다

   주사위 셋은 범위 가운데를 둘보다 훨씬 빽빽하게 만듭니다. 10과 11이 각각 12.5%로 가장 그럴듯하고, 12가 11.57%로 바짝 뒤따릅니다. 같은 합계 12가 주사위 둘에서는 아주 다른 이야기가 됩니다. 거기서는 2.78%로 가장 드문 결과입니다. 그러므로 합계에 대해 인용한 확률은 묶음을 함께 말하지 않으면 의미가 없습니다. 16가지라는 수는 왜 합계의 수가 면 수가 아닌지도 보여 줍니다. 주사위 셋이면 합계가 3에서 18까지이고 그 수가 16이며, 18도 6도 아닙니다.

3. 스무 면체 주사위 하나, 시드 7

   1. 주사위 하나는 눈을 조합할 방법이 없으므로 모든 눈이 똑같이 그럴듯합니다
   2. 시드 7이 눈 1을 줍니다
   3. 20가지 가운데 한 가지이므로 1 / 20 = 5%입니다

   분포가 평평한 경우입니다. 주사위가 하나뿐이라 가운데에 쌓이는 것이 없으므로 1과 20이 다른 어느 눈과도 정확히 같은 확률입니다. 주사위를 더 얹는 일이 무엇을 하는지 가장 분명하게 보여 줍니다. 2d6에서는 양 끝 합계가 드물고, 1d20에서는 드문 것이 없으며, 그 구조는 전적으로 각 합계를 만들 수 있는 가짓수에서 나옵니다. 옆의 난수 생성기가 같은 사실을 반대쪽에서 말합니다. 균등한 뽑기 하나는 뽑기들의 합과 같지 않습니다.

4. 시드를 상한에 두기

   1. 시드는 4294967295까지 갈 수 있고, 이는 2³² − 1, 즉 생성기 상태가 담을 수 있는 가장 큰 값입니다
   2. 첫 번째 예와 같은 주사위 둘이지만 시드가 달라 다른 손패가 나옵니다
   3. 6과 2를 더하면 8이고, 합계 8은 36가지 가운데 다섯 가지입니다
   4. 5 / 36 = 13.89%

   시드 4294967295는 한번 시도해 볼 만합니다. 생성기의 상태를 부주의하게 구현했을 때 그 어긋남이 잘 보이지 않는 유일한 시드 값이기 때문입니다. 상태는 32비트 부호 없는 정수로 유지되고, 그 단계에서 하나 어긋나는 실수가 더 이상 눈에 띄지 않게 되는 자리가 바로 이 최댓값입니다. 여기서 보이는 결과는 6과 2라는 평범한 손패입니다. 패널이 달라 보여서는 안 되기 때문이며, 이 경계가 사용자에게 보이는 기능이 아니라 테스트인 이유가 정확히 그것입니다.

눈은 예측할 수 없지 않습니다. 보통 소프트웨어가 쓰는 작은 시드 수열에서 나오므로, 시드를 아는 사람은 손패를 재현할 수 있고 몇 번의 손패를 본 사람은 시드를 알아낼 수 있습니다. 참가자가 굴림을 예측하거나 복원해서는 안 되는 자리, 즉 돈이 걸린 추첨, 키, 토큰, 일회용 코드에는 쓸 수 없습니다. 그런 자리에는 암호학적 난수원만이 정답입니다. 시드를 고정한 굴림은 재현하는 것이 요점인 재현, 생성, 시험을 위한 것입니다. 두 가지 한계를 더 분명히 밝혀 둡니다. 계산기 아래의 참조표는 육면체 주사위 두 개를 서술하며 입력한 주사위를 따라가지 않습니다. 표는 고정된 참조이고, 여러분의 묶음에 맞는 것은 결과 패널의 확률입니다. 그리고 합계의 확률은 공정한 주사위를 가정합니다. 편향된 실제 주사위는 묶음이 무엇이든 이 수와 맞지 않습니다.

계산기 아래의 표가 제가 입력한 주사위와 왜 맞지 않나요?

참조표가 육면체 주사위 두 개로 고정되어 있기 때문입니다. 입력이 아니라 상수로 계산되므로 묶음을 바꿔도 그대로 있습니다. 결과 패널에 보이는 확률이 여러분의 주사위를 따르는 값이고, 둘이 다를 때 읽어야 할 수가 그것입니다. 이 표가 있는 이유는 사람들이 주사위 확률을 물을 때 실제로 뜻하는 분포가 2d6이기 때문입니다. 가운데에 7, 양 끝에 2와 12입니다. 다른 묶음의 확률이 필요하면 패널이 굴린 합계의 확률을 주고, 궁금한 다른 합계가 있으면 같은 시드를 다시 굴려 확인할 수 있습니다.

시드는 무엇을 하며, 왜 같은 손패가 매번 돌아오나요?

시드는 굴림이 시작하는 상태이므로 같은 시드에 같은 묶음이면 언제나 같은 눈이 나옵니다. 그것은 지름길이 아니라 기능입니다. 시드를 고정한 굴림은 세션을 정확히 재현하는 방법이고, 생성한 레벨이 실행할 때마다 같게 유지되는 방법이며, 고정된 손패에 대해 규칙을 시험하는 방법입니다. 시드를 바꾸면 같은 묶음에서 다른 손패가 나옵니다. 굴림마다 다르게 하고 싶으면 굴림 사이에 시드를 바꾸세요. 패널이 조용히 시드를 진행시켜 주지는 않습니다.

아무도 결과를 예측해서는 안 되는 게임에 이 굴림을 써도 되나요?

안 됩니다. 그리고 그 구분이 중요합니다. 눈은 작고 결정적인 수열에서 나오므로 시드로부터 손패 전체가 재현되고, 몇 번의 손패로부터 시드가 복원됩니다. 참가자가 굴림을 예측하거나 복원해서는 안 되는 자리에는 암호학적 난수원이 필요합니다. 탁상 재현, 레벨 생성, 규칙 시험, 재현 가능한 표본 추출은 모두 괜찮습니다. 굴림을 재현할 수 있다는 것이 바로 그것을 쓰는 이유인 자리들이기 때문입니다.

주사위 둘에서는 합계 7이 가장 그럴듯한데 셋에서는 왜 아닌가요?

가운데에 쌓이는 것이 합계를 만들 수 있는 가짓수이고, 그것이 묶음에 달려 있기 때문입니다. 육면체 주사위 둘이면 36가지 짝이 있고 7이 그중 여섯 가지로 다른 어떤 합계보다 많습니다. 주사위 셋이면 가장 그럴듯한 합계가 10과 11로 각각 12.5%이고 7은 목록 아래로 내려갑니다. 그러므로 같은 합계가 묶음마다 다른 뜻을 갖고, 패널이 언제나 실제로 설정한 묶음에 대한 확률과 함께 합계를 보고하는 이유가 이것입니다.

한 묶음이 만들 수 있는 합계는 몇 가지인가요?

가장 작은 합계인 전부 1일 때부터 가장 큰 합계인 모든 주사위가 윗면일 때까지, 주사위 수와 면수를 알면 주사위수 × 면수 − 주사위수 + 1가지입니다. 2d6이면 2에서 12까지 11가지이고, 3d6이면 3에서 18까지 16가지이며, 20d100이면 1981가지입니다. 이 수는 면 수가 아니고, 범위의 양 끝은 언제나 가장 드문 합계입니다. 각각 만드는 방법이 정확히 하나뿐이기 때문입니다.

패널의 확률은 합계에 대한 것인가요, 정확한 눈에 대한 것인가요?

합계에 대한 것입니다. 주사위 둘이 4와 1을 보여 주는 것과 1과 4를 보여 주는 것은 같은 합계 5이고, 보고되는 확률은 그 합계의 확률로서 거기에 더해지는 모든 조합을 셉니다. 5라면 36가지 가운데 네 가지입니다. 정확한 순서 있는 손패는 다른, 훨씬 작은 확률이고(특정한 짝 하나에 1/36), 패널이 보고하는 것이 아닙니다. 굴림이 목표를 넘는지를 정하는 수는 합계이기 때문입니다.

• Dice — from Wolfram MathWorld — 주사위 합의 생성함수 형태와, 각 합계를 만들 수 있는 가짓수를 세는 계수 — Wolfram MathWorld
• Uniform Sum Distribution — from Wolfram MathWorld — 균등한 뽑기들의 합의 분포이며, 주사위 여러 개의 합이 바로 이것입니다 — Wolfram MathWorld
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods — 어떤 변수의 도수분포와, 그것이 센 결과에서 확률을 읽는 방법 — National Institute of Standards and Technology (NIST)