Calculatrice de remise

Prix après la première remise ＝ prix catalogue × (1 − première remise ÷ 100)　｜　Prix que vous payez ＝ ce prix × (1 − deuxième remise ÷ 100)

listPrice

Le prix avant toute remise. Chaque chiffre du panneau en découle, et c’est pourquoi un prix de zéro est refusé : il produirait un panneau de zéros plutôt qu’une réponse

discountPercent

La première remise, retirée du prix plein. C’est en pratique la plus forte des deux, parce que la seconde a moins de matière sur quoi travailler

additionalDiscountPercent

La deuxième remise, retirée du prix que la première a laissé. Elle ampute moins que son propre taux ne le suggère, et c’est précisément l’arithmétique dont cette page traite : une double remise n’est jamais la somme des deux taux

priceAfterFirstDiscount

Ce que vaut le prix une fois la première remise passée. C’est la base sur laquelle travaille la seconde, et c’est pourquoi dix pour cent de plus ne valent que huit

finalPrice

Le prix que vous payez. C’est le chiffre principal du panneau, celui qu’on obtient après avoir appliqué la deuxième remise

savings

Le prix catalogue moins ce que vous payez, obtenu par une soustraction entre les deux chiffres affichés plutôt qu’en additionnant les deux taux de remise

effectiveDiscountPercent

Les deux taux exprimés en un seul, c’est-à-dire le taux de remise global. Il est toujours plus petit que leur somme, et sur vingt puis dix il vaut vingt-huit et non trente

Utilisez-la lorsque deux réductions successives s’appliquent au même prix et que vous voulez savoir ce qu’elles donnent ensemble : un prix soldé avec une démarque supplémentaire en caisse, un bon de réduction qui vient après la remise saisonnière, un taux de fidélité empilé sur une promotion. Prenez plutôt la page de la remise unique quand il n’y a qu’un seul taux, parce que la ligne intermédiaire que cette page affiche n’aurait rien à montrer. Le calcul ne porte que sur les deux taux que vous saisissez : rien ici ne juge si la remise est réelle : le prix catalogue est un nombre que vous saisissez, et cette page n’a pas de seconde source à lui opposer.

1. Cas par défaut : 100 avec 20 pour cent de remise, puis 10 pour cent de plus

   1. Après la première remise : 100 × (1 − 20 ÷ 100) ＝ 80,00
   2. Après la seconde : 80 × (1 − 10 ÷ 100) ＝ 72,00
   3. Économie : 100,00 − 72,00 ＝ 28,00
   4. Taux global : 28,00 ÷ 100 × 100 ＝ 28,00 %

   Vingt puis dix, c’est le couple à partir duquel se lit toute la page, parce que la réponse est vingt-huit et non la trentaine à laquelle les deux taux additionnés feraient penser, les deux points d’écart venant de ce que la seconde remise tombe sur quatre-vingts et non sur cent. Vérifiez l’addition plutôt que la multiplication : 100,00 moins 28,00 font exactement 72,00, et c’est l’identité que les deux dernières lignes sont construites pour préserver.

2. Une deuxième remise nulle : 250 avec 10 pour cent de remise

   1. Après la première remise : 250 × (1 − 10 ÷ 100) ＝ 225,00
   2. Après la seconde : 225 × (1 − 0 ÷ 100) ＝ 225,00
   3. Économie : 250,00 − 225,00 ＝ 25,00
   4. Taux global : 25,00 ÷ 250 × 100 ＝ 10,00 %

   Une deuxième remise nulle est une saisie légitime et non un champ vide, et les deux lignes de prix se superposent alors l’une à l’autre — ce qui est justement la vérification que la seconde étape est bien une multiplication et non un supplément déguisé. C’est aussi ce qui fait de cette page un sur-ensemble de la page de la remise unique : avec un second taux à zéro, les deux donnent chiffre pour chiffre le même résultat.

3. Un prix avec des centimes : 49,99 avec 15 pour cent, puis 5 pour cent

   1. Après la première remise : 49,99 × 0,85 ＝ 42,4915, arrondi à deux décimales ＝ 42,49
   2. Après la seconde : 42,49 × 0,95 ＝ 40,3655, arrondi à deux décimales ＝ 40,37
   3. Économie : 49,99 − 40,37 ＝ 9,62
   4. Taux global : 9,62 ÷ 49,99 × 100 ＝ 19,2448… ＝ 19,24 %

   C’est ici que l’arrondi au centime à chaque étape devient visible, et que la ligne intermédiaire vaut la peine d’être regardée. La première étape non arrondie donne 42,4915, donc la seconde remise est calculée sur 42,49 et non sur la valeur qu’une multiplication unique aurait reportée. Le taux global tombe à 19,24 au lieu des 20 auxquels 15 et 5 additionnés font penser, et la seconde remise est la plus petite moitié de cet écart.

4. Deux taux égaux, là où les deux conventions se séparent

   1. Après la première remise : 10 × (1 − 33,33 ÷ 100) ＝ 6,667, arrondi à deux décimales ＝ 6,67
   2. Après la seconde : 6,67 × (1 − 33,33 ÷ 100) ＝ 4,446889, arrondi à deux décimales ＝ 4,45
   3. Économie : 10,00 − 4,45 ＝ 5,55
   4. Taux global : 5,55 ÷ 10 × 100 ＝ 55,50 %

   Un prix de dix et deux taux d’un tiers, c’est le cas qui sépare les deux façons de faire. Multiplier les deux taux d’un seul coup donne 10 × 0,6667 × 0,6667 ＝ 4,444889, qui s’arrondit à 4,44 ; arrondir après chaque étape donne 4,45. La page retient la version étape par étape et l’écart est d’un centime, mais c’est un centime qu’un lecteur qui a son reçu sous les yeux peut voir, et c’est pourquoi la page dit laquelle des deux elle emploie au lieu de laisser le découvrir.

5. Le plus petit prix accepté par le champ, avec deux moitiés

   1. Après la première remise : 0,01 × 0,5 ＝ 0,005, arrondi à deux décimales ＝ 0,01
   2. Après la seconde : 0,01 × 0,5 ＝ 0,005, arrondi à deux décimales ＝ 0,01
   3. Économie : 0,01 − 0,01 ＝ 0,00
   4. Taux global : 0,00 ÷ 0,01 × 100 ＝ 0,00 %

   La moitié d’un centime n’est pas un prix, et arrondir vers le haut est ce qu’un prix est tenu de faire. Chaque étape laisse donc le prix là où il était, le panneau n’annonce aucune économie sur deux remises de cinquante pour cent, et le taux global affiche zéro. Cela ressemble à une panne et c’est l’arithmétique d’un centime : la page ne peut pas imprimer un prix inférieur à sa plus petite unité, donc la remise la plus profonde qu’elle puisse exprimer sur le plus petit prix est nulle.

Deux conventions de l’arithmétique valent la peine d’être connues avant de prendre les chiffres trop au pied de la lettre. La première est que chaque étape est arrondie au centime au fur et à mesure, comme le fait une caisse, plutôt que de multiplier les deux taux ensemble et d’arrondir une seule fois. Sur la plupart des prix les deux donnent la même chose ; sur quelques-uns ils diffèrent d’un centime, et la page retient la version étape par étape parce que c’est celle dont les chiffres s’additionnent à l’écran — le prix moins l’argent économisé égale le prix payé, exactement, sur ce qui est affiché. Si vous rapprochez cette page d’un ticket de caisse et tombez à un centime près, c’est la raison la plus probable, et c’est le ticket qui fait foi sur l’ordre dans lequel les deux réductions ont été appliquées. La seconde est qu’un prix ne peut pas descendre sous sa plus petite unité, si bien qu’un couple de remises suffisamment fortes sur un prix suffisamment petit finira par ne plus rien réduire du tout : deux remises de cinquante pour cent sur un centième le laissent à un centième et n’annoncent aucune économie. Ce n’est pas un défaut de la remise, c’est le plancher. Rien ici ne juge si la remise est réelle ni si elle est intéressante. Le prix d’origine est un nombre que vous tapez, et cette page n’a pas de seconde source à lui comparer : elle peut donc vous dire ce que donne une réduction depuis ce prix, et elle ne peut pas vous dire si le prix dont on est parti a un jour été pratiqué. Aux États-Unis, cette question relève des guides de la Federal Trade Commission contre les prix trompeurs, dont deux articles sont cités plus bas ; en France, l’annonce d’une réduction est encadrée par le droit de la consommation, qui impose de pouvoir justifier d’un prix de référence. Dans les deux cas il s’agit de ce qu’un vendeur a le droit d’annoncer, et non d’arithmétique, et cette page ne tente aucun contrôle de ce genre sur vos saisies. Tout est un montant brut. Aucune devise n’y est attachée, parce que l’arithmétique est identique dans toutes, et aucune taxe, aucun frais de port ni aucun frais n’est modélisé — si une taxe sur les ventes s’applique, elle s’applique à ce qui reste après les remises et non au prix d’origine, et ce calcul-là est une autre page. Les deux taux sont également supposés indépendants l’un de l’autre. Certaines promotions ne le sont pas : un bon dont les conditions disent qu’il n’est pas cumulable avec d’autres offres est une remise unique, et le saisir dans le second champ produira une réduction plus forte que ce que les conditions autorisent, parce que cette page n’a aucun moyen de savoir ce que disent les conditions.

Vingt pour cent de remise puis dix pour cent de plus, est-ce la même chose que trente pour cent ?

Non, et c’est l’écart qui justifie cette page. Les dix pour cent de la seconde remise sont retirés du prix que la première a laissé, soit quatre-vingts sur cent, donc ils retirent 8,00 et non 10,00, et les deux ensemble font vingt-huit pour cent. Plus les deux taux sont éloignés l’un de l’autre, plus le taux global reste en dessous de leur somme ; deux taux de cinquante pour cent donnent 75 au lieu de 100, et deux taux de dix pour cent donnent 19 au lieu de 20. Le panneau affiche le taux global sur sa propre ligne, pour que le nombre qu’on vous a annoncé et celui que vous avez obtenu se lisent côte à côte.

L’ordre des deux remises a-t-il une importance ?

Pas sur le résultat, compte tenu de la façon dont cette page arrondit. Les deux mêmes taux appliqués dans l’autre ordre aboutissent au même prix, parce que les deux étapes sont les deux mêmes multiplications prises dans l’autre ordre — la multiplication est commutative même lorsqu’on arrondit entre les deux, puisque chaque étape arrondit la même valeur intermédiaire. Ce qui change avec l’ordre, c’est la ligne intermédiaire, qui est le prix après la première remise et non après la seconde : une remise décrite comme appliquée en caisse a donc intérêt à être saisie dans le second champ si vous voulez que les lignes suivent l’ordre que vous avez vécu.

Pourquoi l’économie est-elle une soustraction plutôt que l’addition des deux remises ?

Parce que le panneau doit s’additionner sur les chiffres qu’il imprime. Les deux remises additionnées compteraient deux fois la part du prix d’origine que la première a déjà retirée, et le résultat ne se réconcilierait pas avec la ligne de prix. Prendre le prix d’origine moins le prix payé donne un chiffre qu’un lecteur peut vérifier d’une seule soustraction, et c’est autour de cette soustraction que les deux dernières lignes sont construites : prix moins économie égale prix payé, exactement, sur ce qui est à l’écran.

Pourquoi la page arrondit-elle après chaque remise plutôt qu’à la fin ?

Parce que c’est ce que fait l’application de deux remises en séquence, et parce que c’est la version dont les chiffres se réconcilient à l’écran. Une caisse retire la première remise, arrive à un prix, puis retire la seconde de ce prix-là. Les deux conventions donnent la même chose sur la plupart des prix et peuvent différer d’un centime : sur un prix de dix avec deux remises de 33,33 pour cent, arrondir à chaque étape donne 4,45 et multiplier les deux taux d’un seul coup donne 4,44. La page emploie la version étape par étape et un exemple le démontre, de sorte que la convention est visible au lieu d’être quelque chose que l’on découvre en la contredisant.

Pourquoi un prix d’un centime n’annonce-t-il aucune économie après deux remises de cinquante pour cent ?

Parce que la moitié d’un centime n’est pas un prix, et qu’un prix s’arrondit vers le haut jusqu’à sa plus petite unité. Un centième amputé de moitié donne un demi-centième, qui remonte à un centième, et la seconde remise fait exactement la même chose. La page ne peut pas imprimer un prix inférieur à sa plus petite unité, donc sur le plus petit prix les remises les plus fortes qu’elle puisse exprimer ne donnent rien. C’est le plancher de l’arithmétique et non une erreur, et c’est le même plancher qui produit 4,45 plutôt que 4,44 dans l’exemple ci-dessus.

Puis-je m’en servir pour une remise non cumulable avec d’autres offres ?

Seulement si les deux réductions s’appliquent réellement toutes les deux, ce qui est une question de conditions générales et non d’arithmétique. Un bon qui précise qu’il n’est pas cumulable avec d’autres offres est une remise unique, et le saisir dans le second champ produira une réduction plus forte que ce que les conditions autorisent, parce que cette page n’a aucun champ pour ce que disent les conditions et aucun moyen de vérifier une saisie par rapport à elles. La page calcule l’arithmétique de deux réductions successives et prend les deux taux au pied de la lettre ; savoir si vous pouvez réellement bénéficier des deux est une question à régler avec le vendeur, pas ici.

• 16 CFR §233.1 — Former price comparisons: a reduction is a genuine bargain only if the former price was the actual, bona fide price the article was offered at on a regular basis, and an artificial inflated price established to enable a later large reduction makes the advertised bargain a false one — Legal Information Institute, Cornell Law School (United States)
• 16 CFR §233.3 — Advertising retail prices which have been established or suggested by manufacturers: a reduction advertised from a list or suggested retail price may mislead to the extent that price does not correspond to the prices a substantial number of sales are actually made at, which is why the field on this page is named after the list price rather than after a saving — Legal Information Institute, Cornell Law School (United States)