Calculatrice de produit vectoriel

u × v = (u₂v₃ − u₃v₂, u₃v₁ − u₁v₃, u₁v₂ − u₂v₁) |u × v| = |u| × |v| × sin θ = aire du parallélogramme

vecteur u

Le premier vecteur : exactement trois nombres, séparés par des espaces ou des virgules, comme 1 2 3. Trois est le seul nombre de composantes accepté, parce que le produit vectoriel est une opération de dimension trois — un couple du plan est refusé plutôt que complété par un zéro, ce qui changerait la réponse sans rien dire

vecteur v

Le second vecteur, également trois nombres exactement. L’ordre des deux vecteurs compte ici d’une manière qu’il n’a pas pour un produit scalaire : les échanger change le signe de chaque composante de la réponse

composante x

La première composante de la réponse : la deuxième composante du premier vecteur multipliée par la troisième du second, moins sa troisième multipliée par la deuxième du second. Chaque composante d’un produit vectoriel est une différence de deux produits, et c’est de là que viennent les signes

composante y

Le même schéma décalé d’un rang : la troisième composante du premier vecteur multipliée par la première du second, moins sa première multipliée par la troisième du second. Se tromper dans ce décalage est l’erreur la plus fréquente — elle ne donne pas une réponse absurde, seulement une composante au signe inversé

composante z

Le schéma décalé une fois de plus : la première composante du premier vecteur multipliée par la deuxième du second, moins sa deuxième multipliée par la première du second. Les trois composantes réunies forment le vecteur perpendiculaire aux deux entrées

norme

La longueur du vecteur résultant : la racine carrée de la somme des carrés des trois composantes. C’est aussi l’aire du parallélogramme engendré par les deux vecteurs d’entrée, et le double de l’aire du triangle ayant ces deux côtés — ce qui est en général la lecture la plus utile

|u| × |v| × sin θ

La même longueur écrite depuis l’autre bout, θ désignant l’angle entre les deux entrées. Elle dit que la longueur est maximale quand les deux vecteurs sont perpendiculaires et qu’elle tombe à zéro quand ils s’alignent, ce qui explique qu’un produit vectoriel nul veuille dire parallèles — et pourquoi le produit scalaire, qui se comporte exactement à l’inverse, est le complément de cette page

perpendiculaire aux deux

La propriété qui rend le résultat utile : le résultat est à angle droit avec chacune des deux entrées. Vérifiable sur la sortie en prenant l’un ou l’autre produit scalaire — les deux valent zéro, à l’arrondi près

quatre décimales

La largeur avec laquelle les sorties sont écrites. Les composantes sont exactes dès que les entrées sont des nombres entiers et petits, ce qui couvre la plupart des calculs à la main ; sinon les valeurs sont arrondies

Le produit vectoriel répond à une autre question que le produit scalaire, et les deux sont complémentaires plutôt qu’équivalents. Le produit scalaire prend deux vecteurs et rend un nombre, d’autant plus grand qu’ils pointent dans le même sens ; le produit vectoriel prend deux vecteurs et rend un vecteur, d’autant plus long qu’ils sont perpendiculaires. Utilisez celui-ci quand vous avez besoin d’une direction à angle droit avec deux directions connues — la normale à une surface, l’axe autour duquel tourne une rotation, la direction dans laquelle une force magnétique pousse une charge en mouvement. Utilisez-le quand vous voulez l’aire d’un parallélogramme ou d’un triangle à partir de deux vecteurs côtés : la norme de la réponse est l’aire du parallélogramme, et sa moitié celle du triangle. Utilisez-le quand vous voulez tester si deux vecteurs sont parallèles, puisque la réponse vaut exactement trois zéros dans ce cas. Et utilisez-le quand vous avez besoin de la direction perpendiculaire dans la bonne orientation, ce qui est le moment où l’ordre des deux vecteurs et la règle de la main droite entrent en jeu : le premier vecteur est celui dont les doigts s’écartent et le second celui vers lequel ils se replient, le pouce donnant la réponse. Deux mises en garde. Le résultat est perpendiculaire aux deux entrées, donc il ne s’agit pas d’une direction que l’une des entrées indiquait — si vous attendiez une réponse le long de l’une d’elles, c’est le produit scalaire qu’il vous fallait. Et une norme nulle est une vraie réponse, pas un échec : elle dit que les deux vecteurs sont parallèles, y compris le cas où l’un des deux est le vecteur nul.

1. 1 2 3 et 4 5 6

   1. Composante x : 2 × 6 − 3 × 5 = 12 − 15 = −3
   2. Composante y : 3 × 4 − 1 × 6 = 12 − 6 = 6
   3. Composante z : 1 × 5 − 2 × 4 = 5 − 8 = −3
   4. Norme : √(9 + 36 + 9) = √54 = 7,348469

   L’entrée avec laquelle la page se charge, et la ligne qui montre à quel point l’arithmétique est ordinaire : trois différences de deux produits et rien d’autre. Les trois composantes sont non nulles, ce qui en fait la ligne la plus utile pour confronter un pas de calcul fait à la main à ce qu’affiche la page, puisqu’une erreur de signe ne peut pas s’y cacher derrière un zéro. La norme, 7,3485, est l’aire du parallélogramme engendré par ces deux vecteurs — le triangle ayant ces deux côtés en a la moitié.

2. 1 0 0 et 0 1 0

   1. Composante x : 0 × 0 − 0 × 1 = 0
   2. Composante y : 0 × 0 − 1 × 0 = 0
   3. Composante z : 1 × 1 − 0 × 0 = 1
   4. Norme : √(0 + 0 + 1) = 1

   Les vecteurs unitaires des deux premiers axes, et le produit vectoriel revient comme le troisième. C’est la ligne qui montre l’ordre cyclique sur lequel la page est construite : x vectoriel y donne z, et la norme de 1 dit que les deux entrées étaient perpendiculaires et que le parallélogramme est un carré unité. Écrire les trois composantes à la main ici vaut la peine une fois — c’est le cas où tous les termes qui doivent s’annuler s’annulent.

3. 0 1 0 et 1 0 0

   1. Composante x : 1 × 0 − 0 × 0 = 0
   2. Composante y : 0 × 1 − 0 × 0 = 0
   3. Composante z : 0 × 0 − 1 × 1 = −1
   4. Norme : √(0 + 0 + 1) = 1

   La ligne précédente avec les deux champs permutés, et toute la différence tient au signe de la troisième composante. C’est la propriété d’ordre de cette opération, et cette page la met en évidence sans aucun calcul littéral : saisissez deux fois le même couple, permutez les champs, regardez une composante changer de signe. La norme reste égale à 1, ce qui est l’autre moitié de l’affirmation — permuter les deux vecteurs renverse la direction de la réponse mais pas sa taille.

4. 1 2 3 et 2 4 6

   1. Composante x : 2 × 6 − 3 × 4 = 12 − 12 = 0
   2. Composante y : 3 × 2 − 1 × 6 = 6 − 6 = 0
   3. Composante z : 1 × 4 − 2 × 2 = 4 − 4 = 0
   4. Norme : √(0 + 0 + 0) = 0

   Deux vecteurs portés par la même droite — le second vaut exactement le double du premier — et la réponse est trois zéros. C’est le cas des vecteurs parallèles, et c’est celui qu’il faut savoir reconnaître, parce que la norme d’un produit vectoriel est l’aire engendrée par les deux vecteurs et que des vecteurs parallèles n’engendrent aucune aire. Obtenir trois zéros est une réponse correcte et non un échec : elle dit que les deux directions sont la même droite, et qu’aucun vecteur n’est perpendiculaire à cette droite comme le serait une normale à une surface.

5. 3 4 0 et 4 3 0

   1. Composante x : 4 × 0 − 0 × 3 = 0
   2. Composante y : 0 × 4 − 3 × 0 = 0
   3. Composante z : 3 × 3 − 4 × 4 = 9 − 16 = −7
   4. Norme : √(0 + 0 + 49) = 7

   Deux vecteurs couchés dans le plan, donc la direction perpendiculaire est celle qui sort du plan et les deux premières composantes sont nulles. La norme de 7 est l’aire du parallélogramme ayant ces deux vecteurs pour côtés, et le triangle ayant ces deux côtés en a 3,5. Le signe de la troisième composante indique de quel côté du plan pointe la réponse, et il est négatif ici parce que le premier vecteur est celui qui bascule vers le second dans le sens direct vu de l’autre côté. Ces deux vecteurs ont pour norme 5, leur produit scalaire vaut 24, et 7, 24 et 25 forment un triplet pythagoricien — ce qui est une autre façon de dire que la norme d’ici et le produit scalaire sont les deux côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle dont l’hypoténuse est le produit des deux longueurs.

Les deux vecteurs doivent avoir exactement trois composantes, et un couple qui en compte deux ou quatre est refusé plutôt que complété. Il n’existe pas de produit vectoriel en deux dimensions : l’opération est tridimensionnelle par définition, et ajouter discrètement un zéro pour faire rentrer un couple du plan produirait une direction qui n’a rien à voir avec le plan contenant les deux vecteurs. Les composantes se lisent comme des nombres ordinaires : une virgule suivie d’un espace sépare deux composantes, une virgule sans espace après elle se lit comme un séparateur décimal (1,5 vaut un et demi), et un groupement de milliers est refusé plutôt que deviné — écrivez 1500, pas 1 500. Les quatre décimales sont une largeur d’affichage et non une prétention de précision. Le vecteur nul est accepté ici, contrairement aux pages du produit scalaire et de l’angle, et cette différence est délibérée : un produit vectoriel avec le vecteur nul vaut réellement le vecteur nul, parce que le vecteur nul n’engendre aucune aire avec quoi que ce soit, il y a donc une vraie réponse à donner plutôt qu’un calcul à refuser. Obtenir trois zéros est par conséquent ambigu d’une manière que la page ne peut pas lever à votre place — cela signifie que les deux vecteurs sont parallèles, et cela signifie aussi que l’un des deux est le vecteur nul, et vous seul savez lequel. Les deux cas sont des sorties correctes. Aucune gestion d’unités n’est prévue : les composantes sont des nombres purs et la norme de la réponse aussi, étant entendu que cette norme porte l’unité dans laquelle les entrées ont été élevées au carré. Rien sur la page ne vérifie l’orientation du résultat par rapport à une main droite physique, donc si vous utilisez la sortie comme normale ou comme axe de rotation, c’est l’ordre dans lequel les deux vecteurs ont été saisis qui décide laquelle des deux directions perpendiculaires vous obtenez.

Pourquoi ne puis-je pas saisir des vecteurs à deux dimensions ?

Parce qu’il n’existe pas de produit vectoriel de deux vecteurs d’un plan. L’opération est définie en trois dimensions — la réponse doit être perpendiculaire aux deux entrées, et dans un plan il ne reste aucune direction où la faire pointer. Compléter un couple du plan par un zéro pour le faire rentrer donnerait une réponse sans rapport avec ce plan, la page refuse donc plutôt que d’inventer.

Que signifie la réponse sur le plan géométrique ?

C’est le vecteur à angle droit avec les deux entrées, et sa norme est l’aire du parallélogramme engendré par les deux entrées. La moitié de cette norme est l’aire du triangle ayant ces deux côtés. C’est cette double lecture qui fait apparaître le même calcul aussi bien quand vous cherchez une normale à une surface que quand vous cherchez une aire.

J’ai obtenu trois zéros. Est-ce qu’il y a une erreur ?

Non — un produit vectoriel nul est une vraie réponse. Cela signifie que les deux vecteurs sont parallèles, qu’ils n’engendrent aucune aire, et cela arrive aussi quand l’un des deux est le vecteur nul. Ce sont deux résultats corrects et non deux échecs, et la page n’a aucun moyen de vous dire dans lequel des deux cas vous êtes, puisque les deux produisent les mêmes trois zéros.

L’ordre des deux vecteurs a-t-il une importance ?

Oui, et c’est le point sur lequel cette page se distingue nettement de celle du produit scalaire. Permuter les deux vecteurs renverse la direction de la réponse : chaque composante change de signe, tandis que la norme reste exactement la même. Saisissez deux fois le même couple en échangeant les champs et vous le verrez se produire. Laquelle des deux directions perpendiculaires vous voulez est décidée par la règle de la main droite.

Quelle composante vient en premier ?

La composante x, puis y, puis z, et la réponse s’affiche comme un vecteur exactement comme les entrées ont été saisies. Chacune est une différence de deux produits, le schéma se décalant d’un rang à chaque fois : la composante y reprend la recette de x avec les composantes décalées d’un cran, et la composante z décale encore une fois.

En quoi est-ce différent du produit scalaire ?

Le produit scalaire prend deux vecteurs et rend un seul nombre, d’autant plus grand que les deux pointent dans le même sens ; le produit vectoriel rend un vecteur, d’autant plus long qu’ils sont perpendiculaires. Les deux sont complémentaires. Si vous vouliez un seul nombre — un angle, une projection, une similarité — c’est le produit scalaire qu’il vous faut ; si vous vouliez une direction à angle droit avec les deux, c’est cette page.

• Cross product — the operation this page computes, with the component-by-component definition and the two properties the page leans on, that the result is perpendicular to both inputs and that the order of the factors flips its sign — Wolfram MathWorld (United States)
• Determinant — the array of numbers whose evaluation is exactly the cross product's component formulas, which is why the same cycle turns up in both places and why this page points at the matrix calculator — Wolfram MathWorld (United States)
• Parallelogram — the figure whose area the length of a cross product gives, and the reason the answer is three zeros exactly when the two vectors are parallel — Wolfram MathWorld (United States)
• Produit vectoriel — la définition du produit vectoriel de deux vecteurs de l’espace, composante par composante, avec l’antisymétrie et l’interprétation en aire du parallélogramme — Bibm@th, encyclopédie des mathématiques (France)