Calculatrice de matrices

A + B = (aᵢⱼ + bᵢⱼ) (A × B)ᵢⱼ = aᵢ₁b₁ⱼ + aᵢ₂b₂ⱼ det A = a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁ A⁻¹ = (1 ÷ det A) × (a₂₂, −a₁₂ ; −a₂₁, a₁₁)

matrice A, ligne 1 / ligne 2

La première matrice, une ligne par champ et deux nombres dans chacun, comme 4 7 et 2 6. Des lignes plutôt que quatre cases séparées parce qu’une matrice est un seul objet : la découper en quatre champs transformerait une entrée unique en quatre et permettrait de saisir quelque chose qui n’est pas une matrice du tout

matrice B, ligne 1 / ligne 2

La seconde matrice, écrite de la même façon, et la seule entrée facultative de la page. L’addition et la multiplication en ont toutes deux besoin ; l’inversion l’ignore complètement, donc avec cette opération sélectionnée vous pouvez laisser les deux champs vides. Les laisser vides n’est pas une erreur — la clé est simplement absente

opération

Laquelle des trois choses faire : additionner les deux matrices, les multiplier, ou inverser la première. Une seule page plutôt que trois, parce que les trois prennent la même entrée et ne diffèrent que par l’arithmétique qu’on leur applique

résultat, ligne 1 colonne 1

L’élément en haut à gauche de la réponse, et avec lui les trois autres par les mêmes étiquettes. Pour l’addition c’est la somme des deux nombres en haut à gauche ; pour la multiplication c’est toute la première ligne de A contre toute la première colonne de B, ce qui explique que ce ne soit pas simplement le produit des deux nombres du coin

det A

Le déterminant de la première matrice : en haut à gauche fois en bas à droite, moins en haut à droite fois en bas à gauche. Affiché pour toutes les opérations et appartenant toujours à A, jamais à la réponse — c’est une propriété de la matrice saisie, il ne change donc pas quand vous passez de l’addition à la multiplication puis à l’inversion des mêmes nombres

1 ÷ det A

Le facteur d’échelle de l’inverse, et la raison pour laquelle un déterminant nul est refusé : c’est le nombre par lequel l’inverse est divisé. Ni l’addition ni la multiplication n’en ont besoin, ce qui explique que ces deux-là continuent de fonctionner sur une matrice de déterminant nul

A⁻¹

La matrice qui annule A : multipliez les deux ensemble dans un ordre ou dans l’autre et vous obtenez l’identité, des uns sur la diagonale et des zéros ailleurs. C’est ce qui la rend utile, et elle existe exactement lorsque le déterminant est non nul

matrice identité

La matrice avec des uns sur la diagonale et des zéros en dehors, qui est au produit matriciel ce que le nombre 1 est à la multiplication ordinaire. Vérifier qu’un inverse est juste consiste à remultiplier et à retomber sur elle

quatre décimales

La largeur avec laquelle les sorties sont écrites. Additionner et multiplier des nombres entiers donne des résultats exacts, tout comme inverser une matrice de déterminant 1 ou −1 ; les autres sont arrondis, et une matrice diagonale portant un 3 est le cas le plus fréquent qui ne tombe pas juste

L’addition est l’opération dont presque personne n’a besoin, et elle est là surtout pour que les trois puissent se comparer : elle ajoute élément par élément, elle fonctionne toujours, et c’est le seul endroit où les matrices se comportent comme des nombres ordinaires. La multiplication est celle qui compte pour les transformations — appliquer une rotation puis une mise à l’échelle à la même figure revient à multiplier leurs deux matrices, et l’ordre dans lequel on les multiplie est l’ordre dans lequel on les applique. L’inversion sert à revenir en arrière : si une matrice transforme des coordonnées dans un sens, son inverse les transforme dans l’autre, ce qu’on veut lorsqu’on dispose du résultat d’une transformation et qu’on cherche l’entrée qui l’a produite. Le déterminant, affiché à côté, se lit pour lui-même. Un déterminant nul signifie que la matrice aplatit le plan sur une droite, donc que des entrées différentes aboutissent à la même sortie et que rien ne peut être annulé — c’est la même affirmation que l’inexistence de l’inverse. Son signe indique si la matrice conserve l’orientation du plan ou la retourne. Deux choses à garder en tête pendant l’usage de cette page. La multiplication n’est pas commutative : échanger les deux matrices donne une autre réponse, donc si vous composez des transformations, l’ordre fait partie du problème et non des détails. Et seul le déterminant de la première matrice est affiché, donc si vous voulez aussi celui de la seconde, inversez-la seule — c’est la liste déroulante, et non les champs, qui décide quelle matrice compte comme la première.

1. 4 7 sur 2 6, fois 1 2 sur 3 4

   1. En haut à gauche : (4 × 1) + (7 × 3) = 4 + 21 = 25
   2. En haut à droite : (4 × 2) + (7 × 4) = 8 + 28 = 36
   3. En bas à gauche : (2 × 1) + (6 × 3) = 2 + 18 = 20
   4. En bas à droite : (2 × 2) + (6 × 4) = 4 + 24 = 28
   5. Déterminant de A : (4 × 6) − (7 × 2) = 24 − 14 = 10

   L’entrée avec laquelle la page se charge. Chaque élément de la réponse est une ligne entière de la première matrice contre une colonne entière de la seconde, et c’est ce qu’il faut regarder ici : le coin supérieur gauche de la réponse vaut 25, et aucun des deux nombres posés en haut à gauche des entrées, 4 et 1, ne vaut 25. Leur produit vaut 4. Le déterminant 10 est affiché lui aussi, et c’est celui de A — 4 et 7 sur 2 et 6 — et non celui de la réponse.

2. Les deux mêmes matrices, additionnées

   1. En haut à gauche : 4 + 1 = 5
   2. En haut à droite : 7 + 2 = 9
   3. En bas à gauche : 2 + 3 = 5
   4. En bas à droite : 6 + 4 = 10
   5. Déterminant de A : inchangé à 10, puisque A est la même matrice que dans l’exemple précédent

   L’exemple précédent avec une seule chose changée : la liste déroulante. Chaque élément est désormais une simple somme, et c’est la seule des trois opérations où les matrices se comportent comme les nombres ordinaires — l’ordre n’a pas d’importance et rien ne peut mal tourner. Le déterminant vaut toujours 10, parce que c’est un fait concernant A et que A n’a pas changé. Faire aller et venir la liste déroulante entre addition et multiplication est le moyen le plus rapide de voir que le déterminant n’est pas une propriété du calcul.

3. Inverser 4 7 sur 2 6

   1. Déterminant de A : (4 × 6) − (7 × 2) = 24 − 14 = 10
   2. Échanger les deux coefficients diagonaux : 6 et 4
   3. Changer le signe des deux coefficients hors diagonale : −7 devient 7, 2 devient −2
   4. Diviser chacun par le déterminant : 6 ÷ 10 = 0,6, −7 ÷ 10 = −0,7, −2 ÷ 10 = −0,2, 4 ÷ 10 = 0,4
   5. Vérification : (4 × 0,6) + (7 × −0,2) = 2,4 − 1,4 = 1, qui est le coin supérieur gauche de l’identité

   La première des trois opérations qui porte une condition, et les champs de la seconde matrice sont vides à dessein — l’inversion ne lit que A, et la page ne s’en plaint pas. La recette est toujours les mêmes quatre étapes : échanger la diagonale, changer le signe des deux autres, diviser par le déterminant. La vérification de la fin vaut la peine d’être faite une fois à la main : remultiplier la réponse par l’originale donne des uns sur la diagonale et des zéros en dehors, et obtenir autre chose signale un signe qui a glissé.

4. 1 2 sur 3 4, fois 5 6 sur 7 8

   1. En haut à gauche : (1 × 5) + (2 × 7) = 5 + 14 = 19
   2. En haut à droite : (1 × 6) + (2 × 8) = 6 + 16 = 22
   3. En bas à gauche : (3 × 5) + (4 × 7) = 15 + 28 = 43
   4. En bas à droite : (3 × 6) + (4 × 8) = 18 + 32 = 50
   5. Déterminant de A : (1 × 4) − (2 × 3) = 4 − 6 = −2

   La ligne à intervertir. Remettez les quatre mêmes nombres avec A et B échangées et la réponse devient 23, 34, 31 et 46 — une matrice complètement différente, à partir des mêmes entrées dans un autre ordre. Le produit matriciel n’est pas commutatif, et voilà ce que cela veut dire en pratique : si les deux matrices sont deux transformations, l’ordre dans lequel on les multiplie est l’ordre dans lequel on les applique. Remarquez que le déterminant de A vaut −2 ici et −2 là-bas, puisque les deux matrices ont par hasard le même déterminant — les deux réponses diffèrent par les quatre éléments du résultat, et la colonne du déterminant ne sait pas les distinguer.

5. Une matrice de déterminant nul, multipliée

   1. En haut à gauche : (1 × 1) + (2 × 3) = 1 + 6 = 7
   2. En haut à droite : (1 × 2) + (2 × 4) = 2 + 8 = 10
   3. En bas à gauche : (2 × 1) + (4 × 3) = 2 + 12 = 14
   4. En bas à droite : (2 × 2) + (4 × 4) = 4 + 16 = 20
   5. Déterminant de A : (1 × 4) − (2 × 2) = 4 − 4 = 0

   La première matrice a un déterminant nul — sa deuxième ligne vaut exactement le double de la première, elle écrase donc le plan sur une droite — et la multiplication est calculée normalement malgré tout. C’est tout l’intérêt de l’exemple : un déterminant nul est un problème pour l’inversion et pour rien d’autre. Demandez à la même page d’inverser cette matrice et elle refusera. Demandez-lui de l’additionner ou de la multiplier et elle répondra, parce que ces deux opérations ont ici des réponses parfaitement bien définies. La colonne du déterminant affiche 0 dans les deux cas.

Seules les matrices 2×2 sont acceptées, une ligne par champ, deux nombres dans chacun. Des matrices plus grandes demanderaient une autre disposition plutôt qu’un champ plus grand, puisque le nombre de cases croît comme le carré de la taille. Les champs de la seconde matrice peuvent rester vides, et la nécessité de les remplir dépend de l’opération et non du champ : l’addition et la multiplication ont besoin des deux matrices, l’inversion ne lit que la première. L’inverse n’existe que lorsque le déterminant est non nul, et ce test se fait contre zéro exactement plutôt que contre presque zéro, ce qui est une vraie limitation autant qu’un choix. Une tolérance devrait refuser des matrices réellement inversibles pour attraper les cas proches de la frontière, il n’y en a donc aucune ; le prix à payer est qu’une matrice saisie avec des éléments décimaux, singulière en arithmétique exacte, peut produire un déterminant comme 1,4e-17 au lieu de 0 et être inversée, ce qui donne quatre nombres énormes au lieu d’un refus. Saisir des nombres entiers évite complètement ce cas, et un déterminant aussi petit est un signal en soi. Seul le déterminant de la première matrice est affiché, celui de la seconde doit donc être obtenu en la plaçant en première position. Les coefficients se lisent comme des nombres ordinaires : une virgule suivie d’un espace sépare les deux nombres d’une ligne, une virgule sans espace après elle se lit comme un séparateur décimal (1,5 vaut un et demi), et un groupement de milliers est refusé plutôt que deviné — écrivez 1500, pas 1 500. Les quatre décimales sont une largeur d’affichage et non une prétention de précision, et l’inverse est calculé à partir du déterminant non arrondi, donc remultiplier la réponse affichée par A peut ne pas redonner exactement des uns et des zéros sur les chiffres affichés. Il n’y a d’unités nulle part sur cette page, et aucune n’est sous-entendue : les coefficients sont des nombres purs, et les quatre décimales sont la seule chose qu’on affirme à leur sujet.

Pourquoi un champ par ligne plutôt qu’un par nombre ?

Parce qu’une matrice est un seul objet, et que quatre champs la transformeraient en quatre entrées remplissables indépendamment — y compris de façons qui ne forment pas une matrice du tout. Une matrice entière dans un seul champ pose le problème inverse : impossible de distinguer un coefficient manquant d’un coefficient mal placé. Un champ par ligne garde ensemble les deux nombres d’une ligne et permet tout de même à la page de vérifier que chaque ligne en compte exactement deux.

Quand puis-je laisser la seconde matrice vide ?

Quand l’opération choisie n’en a pas besoin. L’inversion ne lit que la première matrice, donc les deux champs de la seconde peuvent rester vides sans que rien ne manque. L’addition et la multiplication ont besoin des deux, et la page attendra plutôt que de se plaindre pendant que vous tapez encore. Qu’un champ doive être rempli est décidé par l’opération, pas par le champ.

Pourquoi l’inversion d’une matrice est-elle parfois refusée ?

Parce que l’inverse est la matrice qui annule la première, et qu’une matrice singulière — de déterminant nul — n’a pas un tel inverse : la première matrice aplatit le plan sur une droite, donc des entrées différentes aboutissent à la même sortie et rien ne peut être annulé. La page refuse plutôt que d’afficher quatre nombres qui ressembleraient à une réponse. Additionner et multiplier cette même matrice fonctionnent normalement.

À quelle matrice appartient le déterminant ?

Toujours à la première, quelle que soit l’opération choisie, il reste donc en place quand vous passez de l’addition à la multiplication puis à l’inversion des mêmes entrées. C’est une propriété de cette matrice et non de la réponse, et c’est lui qui décide si l’inverse existe. Si vous voulez le déterminant de la seconde matrice, placez-la en première position et inversez-la.

L’ordre des deux matrices a-t-il une importance ?

Pour la multiplication, oui, et c’est une vraie différence et non un détail technique : échanger les deux matrices donne quatre éléments différents. Si ce sont deux transformations, l’ordre dans lequel on les multiplie est l’ordre dans lequel on les applique. L’addition fait exception — les matrices s’additionnent comme les nombres ordinaires, et l’ordre ne change absolument rien.

À quoi sert la matrice inverse ?

À annuler la matrice. Multipliez une matrice par son inverse dans un ordre ou dans l’autre et vous obtenez l’identité : des uns sur la diagonale et des zéros en dehors. C’est ce qui la rend utile pour revenir en arrière — d’un jeu de coordonnées transformé vers celui qui l’a produit. La page affiche le déterminant à côté parce qu’un déterminant nul est exactement le cas où cela est impossible.

• Matrix — the object this page takes as input, with the definitions of addition, multiplication and the identity matrix that the three operations here follow — Wolfram MathWorld (United States)
• Matrix inverse — the matrix that undoes another, its formula for the 2×2 case as used on this page, and the condition that it exists only when the determinant is not zero — Wolfram MathWorld (United States)
• Determinant — the number the page prints beside every answer: how it is computed for a 2×2 matrix, why the inverse is divided by it, and what a value of zero says about the matrix — Wolfram MathWorld (United States)
• Matrice — la définition d’une matrice et les opérations élémentaires sur les matrices : somme, produit matriciel, matrice identité et matrice inverse — Bibm@th, encyclopédie des mathématiques (France)