Qu’est-ce qu’un vecteur unitaire ?

C’est un vecteur de longueur 1 qui pointe dans une direction donnée. C’est ce que l’on obtient en divisant un vecteur par sa propre longueur, et il porte la direction sans la taille. Deux vecteurs qui ne diffèrent que par leur longueur ont le même vecteur unitaire, et c’est ce qui en fait le moyen de comparer des directions à des échelles différentes.

Pourquoi la quatrième ligne affiche-t-elle la longueur de l’entrée et non 1 ?

Parce que la longueur d’un vecteur unitaire vaut 1 dans tous les cas sans exception, et qu’une ligne affichant éternellement 1,0000 serait une constante plutôt qu’un résultat. La longueur de l’entrée est le nombre par lequel on a divisé, l’afficher rend donc la division visible : saisissez 3 4, lisez 5, et constatez que 0,6 et 0,8 sont chacun de ces nombres divisé par 5.

Puis-je saisir un vecteur avec seulement deux composantes ?

Oui, et la troisième composante revient à 0. Ce n’est pas du remplissage — un vecteur à deux dimensions est dans le plan, et 0 est la valeur de sa troisième composante lorsque la même direction est écrite en trois coordonnées. Le panneau comporte trois lignes de composantes, les entrées à deux et à trois composantes partagent donc une seule mise en page.

Pourquoi la réponse garde-t-elle le signe moins ?

Parce que diviser par une longueur ne peut pas retourner un vecteur. La longueur est un nombre positif, chaque composante garde donc son signe : le vecteur unitaire de −3 4 est −0,6 et 0,8. Si vous attendiez une réponse positive, ce serait une autre direction, et non la même normalisée.

Pourquoi un vecteur entièrement nul est-il refusé ?

Parce que le normaliser signifie diviser par sa longueur, et que sa longueur est nulle. Au-delà de la division il y a une seconde raison : le vecteur nul n’a aucune direction, la réponse n’a donc rien à préserver. Les pages sur les angles et sur le produit scalaire le refusent elles aussi, tandis que la page du produit vectoriel l’accepte — là, il produit réellement le vecteur nul.

À quoi sert de normaliser un vecteur ?

À séparer une direction d’une taille. Les formules de réflexion, de projection et d’éclairage supposent que le vecteur qu’on leur donne a une longueur de 1, et leur passer un vecteur de longueur 5 met la réponse à l’échelle 5 sans aucun avertissement. Comparer deux directions mesurées à des échelles différentes est l’autre usage : normalisez les deux et les tailles cessent de gêner.

Calculatrice de vecteur unitaire

Résultat

0,6000

Composante x du vecteur unitaire

Composante y du vecteur unitaire: 0,8000
Composante z du vecteur unitaire: 0,0000
Norme du vecteur: 5,0000

Une calculatrice de vecteur unitaire transforme un vecteur en le vecteur de longueur 1 qui pointe dans la même direction, et affiche la longueur par laquelle elle a divisé. Saisissez les composantes séparées par des espaces ou des virgules — 3 4 pour un vecteur à deux dimensions, 2 3 6 pour un vecteur à trois dimensions — et la page fait le reste. Deux ou trois composantes sont acceptées, et seulement ces deux nombres : le panneau comporte trois lignes de composantes, et un vecteur à une dimension est en réalité un nombre signé plutôt qu’une direction. Le calcul tient en une seule division. Mesurez la longueur du vecteur, qui est la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes, et divisez chaque composante par elle. Le résultat a une longueur de 1 par construction, pointe exactement sur la même droite que l’entrée, et s’appelle le vecteur unitaire dans cette direction. À quoi sert la réponse : à séparer la direction de la taille. Deux vecteurs qui ne diffèrent que par la longueur ont le même vecteur unitaire, ce qui en fait le moyen naturel de comparer des directions quand les normes ne sont pas comparables — une vitesse de vent contre un cap, ou une pente mesurée contre une pente de référence. C’est aussi ainsi qu’une direction entre dans une formule qui suppose une entrée normalisée, c’est-à-dire la plupart des formules de la géométrie et de l’infographie. Deux détails méritent d’être connus avant d’utiliser le résultat. Le signe de la réponse suit celui de l’entrée : le vecteur unitaire de 3 4 est 0,6 et 0,8, et celui de −3 4 est −0,6 et 0,8. Diviser par une longueur positive ne peut pas retourner une direction, et un vecteur qui pointe vers la gauche ou vers le bas est une entrée parfaitement ordinaire. Et la longueur affichée à côté est la longueur du vecteur que vous avez saisi, pas celle de la réponse — la longueur de la réponse vaut 1 par définition et ne dirait rien. Voir la longueur de l’entrée est ce qui rend la division visible : les nombres du panneau sont cette longueur divisée hors des nombres du champ. La seule entrée refusée est le vecteur nul, dont la longueur est nulle, ce qui ne laisse rien par quoi diviser et, plus important encore, aucune direction à préserver.

Vecteurs et leurs vecteurs unitaires

Vecteur	Norme du vecteur	Composante x du vecteur unitaire	Composante y du vecteur unitaire	Composante z du vecteur unitaire
3 4	5	0.6	0.8	0
1 0	1	1	0	0
1 1	1.4142	0.7071	0.7071	0
0 5	5	0	1	0
-3 4	5	-0.6	0.8	0
2 3 6	7	0.2857	0.4286	0.8571
1 1 1	1.7321	0.5774	0.5774	0.5774
3 4 -5	7.0711	0.4243	0.5657	-0.7071

Huit vecteurs et leurs vecteurs unitaires, et la deuxième colonne est celle qui rend le tableau intéressant : elle contient le diviseur, et non la constante 1 qui sort à la fin. La première ligne est celle avec laquelle la page se charge, et elle tombe juste des deux côtés, un triangle 3-4-5 donnant une longueur de 5 et deux composantes décimales exactes. Les deuxième et quatrième lignes sont des vecteurs déjà posés sur un axe, leur vecteur unitaire est donc la direction de l’axe elle-même, et la quatrième de ces lignes a une longueur de 5 plutôt que de 1 — l’endroit le plus clair pour voir que la colonne contient la longueur de l’entrée et non celle de la réponse. La troisième ligne est le cas à composantes égales dans le plan, qui donne deux composantes de 0,7071 et une longueur de √2. La cinquième ligne est la première avec le signe changé sur l’un des nombres, et le signe du vecteur unitaire suit : −0,6 et 0,8. Rien dans la normalisation ne retourne un vecteur, et cette ligne en est la preuve. Les sixième et septième lignes sont en trois dimensions : l’une avec une longueur entière de 7 et aucune composante exacte, l’autre avec une longueur de √3 et trois composantes égales. La huitième a une troisième composante négative et donne le seul vecteur unitaire du tableau dont le z soit négatif. Il n’y a pas de ligne pour le vecteur nul, et c’est délibéré : il n’a pas de direction et la page le refuse. Chaque valeur est recalculée à la construction de la page, et les espaces de la première colonne sont des séparateurs et non des chiffres. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (0.7071 plutôt que 0,7071), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte.

Formule

û = u ÷ |u| |u| = √(u₁² + u₂² + … + uₙ²) |û| = 1

vecteur u: Le vecteur à normaliser : deux ou trois nombres séparés par des espaces ou des virgules, par exemple 3 4. Deux composantes font un vecteur du plan et trois un vecteur de l’espace ; il n’y a aucun champ de dimension à remplir, et c’est la longueur de la liste qui dit ce que vous vouliez
|u|: La longueur du vecteur saisi : la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes. C’est le nombre par lequel tout est divisé, et c’est la quatrième sortie du panneau — la longueur du vecteur que vous avez saisi, pas celle du vecteur unitaire, dont la longueur vaut toujours 1
û: Le vecteur unitaire : chaque composante de l’entrée divisée par sa longueur. Il pointe exactement sur la même droite que l’entrée et a une longueur de 1, les deux ne diffèrent donc que par la taille et non par la direction. Le chapeau est la façon standard de l’écrire
composante x: La première composante de la réponse : la première composante de l’entrée divisée par la longueur. Son signe est celui de l’entrée — diviser par une longueur positive ne peut pas retourner une direction, un vecteur qui pointe vers la gauche donne donc un vecteur unitaire qui pointe vers la gauche
composante y: La deuxième composante, divisée de la même façon. Avec la composante x, elle fixe la direction dans le plan, quelle que soit la longueur du vecteur d’origine
composante z: La troisième composante, divisée de la même façon, et 0 pour une entrée à deux composantes. Ce zéro n’est pas du remplissage : un vecteur à deux dimensions est dans le plan, et la même direction écrite en trois coordonnées a une troisième composante exactement égale à 0
|û| = 1: La propriété pour laquelle la réponse a été construite, et la raison pour laquelle elle n’est pas affichée sur une cinquième ligne. La longueur d’un vecteur unitaire vaut 1 dans tous les cas, une ligne de panneau affichant 1,0000 serait donc une constante déguisée en résultat
quatre décimales: La largeur avec laquelle les sorties sont écrites. Exactes seulement lorsque la longueur de l’entrée tombe sur un nombre entier ou sur une racine courte — 3 4 donne 5, et les tiers et les racines en général ne tombent pas juste

Utilisez cette page quand vous voulez la direction seule, sans la taille attachée. Le cas le plus clair est la comparaison de deux directions dont les normes ne sont pas à la même échelle : deux vecteurs qui ne diffèrent que par la longueur ont le même vecteur unitaire, la normalisation enlève donc la partie qui ne vous intéressait pas. L’autre cas courant est la préparation d’une entrée pour une formule qui suppose un vecteur de longueur 1 — les réflexions, les projections et les calculs d’éclairage le supposent tous, et leur donner un vecteur de longueur 5 met discrètement la réponse à l’échelle 5. La longueur affichée à côté est ce qui rend la division vérifiable : 3 4 donne 0,6 et 0,8, et l’on voit le 5 sortir des deux. Deux choses à retenir. La réponse porte les signes de l’entrée, un vecteur qui pointe vers la gauche ou vers le bas donne donc un vecteur unitaire qui pointe vers la gauche ou vers le bas — normaliser change la longueur d’un vecteur et rien d’autre. Et la longueur de la réponse vaut 1 quoi que vous ayez saisi, ce qui explique que la page affiche celle de l’entrée ; c’est le nombre qui porte une information. Un vecteur à deux composantes convient parfaitement et revient avec une troisième composante de 0, parce que c’est à cela que ressemble la même direction écrite en trois coordonnées. Le vecteur nul est la seule entrée refusée, puisqu’il n’a aucune direction à normaliser.

Exemples détaillés

3 4
1. Longueur : √(9 + 16) = √25 = 5
2. Composante x : 3 ÷ 5 = 0,6
3. Composante y : 4 ÷ 5 = 0,8
4. Composante z : 0 ÷ 5 = 0, puisque un vecteur à deux composantes est dans le plan
L’entrée avec laquelle la page se charge, et le cas le plus net qui soit : un triangle 3-4-5 rend la longueur entière, les deux composantes tombent donc juste. C’est la ligne qui montre à quoi sert la quatrième sortie — le 5 du panneau est la longueur par laquelle 3 et 4 ont chacun été divisés, et lire 0,6 et 0,8 à côté de lui est tout le calcul. Vérifiez en mettant au carré : 0,36 + 0,64 = 1.
2 3 6
1. Longueur : √(4 + 9 + 36) = √49 = 7
2. Composante x : 2 ÷ 7 = 0,285714
3. Composante y : 3 ÷ 7 = 0,428571
4. Composante z : 6 ÷ 7 = 0,857143
Un cas en trois dimensions dont la longueur tombe elle aussi sur un nombre entier, 7, alors qu’aucune des trois composantes ne le fait : toutes les trois sont des décimaux périodiques arrondis à quatre rangs. Cette combinaison est le cas ordinaire plutôt qu’une bizarrerie — une longueur entière est assez fréquente, des composantes entières pour le vecteur unitaire ne le sont pas. La direction est la même que celle de 2 3 6, et la longueur en a été retirée.
−3 4
1. Longueur : √(9 + 16) = √25 = 5, la même que pour 3 4
2. Composante x : −3 ÷ 5 = −0,6
3. Composante y : 4 ÷ 5 = 0,8
4. Composante z : 0 ÷ 5 = 0
Le premier exemple avec la première composante rendue négative, et le vecteur unitaire garde le signe : −0,6 et 0,8. Diviser par une longueur positive ne peut pas retourner un vecteur, et c’est la ligne où cela devient visible. Un vecteur qui pointe vers la gauche et vers le haut est une entrée parfaitement ordinaire, et son vecteur unitaire pointe lui aussi vers la gauche et vers le haut. La longueur vaut 5 dans les deux cas, puisqu’inverser le signe d’une composante ne la change pas.
0 5
1. Longueur : √(0 + 25) = 5
2. Composante x : 0 ÷ 5 = 0
3. Composante y : 5 ÷ 5 = 1
4. Composante z : 0 ÷ 5 = 0
Un vecteur déjà posé sur l’un des axes, son vecteur unitaire est donc la direction de l’axe elle-même : 0, 1, 0. La quatrième sortie est la ligne à regarder ici — elle affiche 5, et non 1. Un vecteur de longueur 5 qui pointe droit vers le haut a un vecteur unitaire de longueur 1, et le panneau le dit en affichant la longueur qui a été divisée plutôt que la constante 1 qui en est sortie.
1 1 1
1. Longueur : √(1 + 1 + 1) = √3 = 1,732051
2. Chaque composante : 1 ÷ 1,732051 = 0,577350
La diagonale d’un cube, et les trois composantes tombent égales — comme elles le doivent, puisque les trois composantes de l’entrée étaient égales et que les diviser toutes par le même nombre ne peut pas rompre l’égalité. La longueur est une racine carrée plutôt qu’un nombre entier, rien n’est donc exact ici. Vérifiez le résultat comme le dit la définition de la page elle-même : 0,5774 au carré vaut 0,3334, et trois de ces valeurs s’additionnent à 1 à l’arrondi près.

Limites

Deux ou trois composantes sont acceptées, et seulement celles-là : un nombre seul est une grandeur signée plutôt qu’une direction, et quatre composantes ou plus ne rentrent pas dans les trois lignes de composantes du panneau. Un vecteur à deux composantes n’est pas complété jusqu’à trois au sens propre — il est dans le plan, et le 0 de la troisième ligne est ce à quoi ressemble cette même direction en trois coordonnées, ce qui explique que la page n’ait pas besoin de vous demander de quel genre il s’agit. Le vecteur nul est refusé entièrement : sa longueur est nulle, il n’y aurait donc rien par quoi diviser, et il n’a aucune direction que la réponse pourrait préserver. Les composantes se lisent comme des nombres ordinaires : une virgule suivie d’un espace sépare deux composantes, une virgule sans espace après elle se lit comme un séparateur décimal (1,5 vaut un et demi), et un groupement de milliers est refusé plutôt que deviné — écrivez 1500, pas 1 500. Les quatre décimales sont une largeur d’affichage et non une prétention de précision, et les composantes sont calculées à partir de la longueur non arrondie, les chiffres affichés peuvent donc ne pas donner exactement 1 quand on les met au carré et qu’on les additionne. La longueur affichée sur le panneau est celle de l’entrée, pas celle de la réponse ; la longueur de la réponse vaut 1 par définition, et l’afficher reviendrait à afficher une constante. Rien sur cette page ne sait dans quoi les composantes ont été mesurées — un vecteur unitaire n’a pas d’unité, c’est même là son intérêt, et la longueur porte l’unité que l’entrée portait. Il reste une subtilité de calcul qui mérite d’être énoncée : le signe de chaque composante suit celui de l’entrée, un vecteur qui pointe vers la gauche donne donc un vecteur unitaire qui pointe vers la gauche. Si vous attendiez une réponse positive, vous attendiez un autre vecteur.

Questions fréquentes

Qu’est-ce qu’un vecteur unitaire ?: C’est un vecteur de longueur 1 qui pointe dans une direction donnée. C’est ce que l’on obtient en divisant un vecteur par sa propre longueur, et il porte la direction sans la taille. Deux vecteurs qui ne diffèrent que par leur longueur ont le même vecteur unitaire, et c’est ce qui en fait le moyen de comparer des directions à des échelles différentes.
Pourquoi la quatrième ligne affiche-t-elle la longueur de l’entrée et non 1 ?: Parce que la longueur d’un vecteur unitaire vaut 1 dans tous les cas sans exception, et qu’une ligne affichant éternellement 1,0000 serait une constante plutôt qu’un résultat. La longueur de l’entrée est le nombre par lequel on a divisé, l’afficher rend donc la division visible : saisissez 3 4, lisez 5, et constatez que 0,6 et 0,8 sont chacun de ces nombres divisé par 5.
Puis-je saisir un vecteur avec seulement deux composantes ?: Oui, et la troisième composante revient à 0. Ce n’est pas du remplissage — un vecteur à deux dimensions est dans le plan, et 0 est la valeur de sa troisième composante lorsque la même direction est écrite en trois coordonnées. Le panneau comporte trois lignes de composantes, les entrées à deux et à trois composantes partagent donc une seule mise en page.
Pourquoi la réponse garde-t-elle le signe moins ?: Parce que diviser par une longueur ne peut pas retourner un vecteur. La longueur est un nombre positif, chaque composante garde donc son signe : le vecteur unitaire de −3 4 est −0,6 et 0,8. Si vous attendiez une réponse positive, ce serait une autre direction, et non la même normalisée.
Pourquoi un vecteur entièrement nul est-il refusé ?: Parce que le normaliser signifie diviser par sa longueur, et que sa longueur est nulle. Au-delà de la division il y a une seconde raison : le vecteur nul n’a aucune direction, la réponse n’a donc rien à préserver. Les pages sur les angles et sur le produit scalaire le refusent elles aussi, tandis que la page du produit vectoriel l’accepte — là, il produit réellement le vecteur nul.
À quoi sert de normaliser un vecteur ?: À séparer une direction d’une taille. Les formules de réflexion, de projection et d’éclairage supposent que le vecteur qu’on leur donne a une longueur de 1, et leur passer un vecteur de longueur 5 met la réponse à l’échelle 5 sans aucun avertissement. Comparer deux directions mesurées à des échelles différentes est l’autre usage : normalisez les deux et les tailles cessent de gêner.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice d’angle entre deux vecteursAngle entre deux vecteurs, à partir du produit scalaire.Calculatrice de produit vectorielProduit vectoriel de deux vecteurs et sa norme.Calculatrice de produit scalaireProduit scalaire de deux vecteurs et angle entre eux.