Calculadora de valor crítico

Φ(z) = 1 − α/2 T(t, df) = 1 − α/2 P(χ² > x, df) = α P(F > f, df₁, df₂) = α

α

El nivel de significación, es decir, el área de la cola a la que se traza la frontera, y la misma cantidad que el desplegable de arriba llama nivel de confianza (lo que en muchos textos se llama nivel de significancia). Los dos vocabularios están a una resta de distancia: un nivel de confianza del 95 % es α = 0,05 y uno del 99 % es α = 0,01. Repartir ese α importa, porque la página necesita saber si ese 5 % está en una sola cola o lo comparten dos, y solo la lectura en términos de α lo deja a la vista

Φ⁻¹

La inversa de la función de distribución acumulada normal estándar: la misma curva de la que se lee la tabla z, recorrida al revés. La tabla da un área para un valor z dado; un valor crítico es el valor z que corresponde a un área dada, y esa es exactamente la razón de que la respuesta tenga que salir de una aproximación y no de aritmética elemental

df

Los grados de libertad, el parámetro de forma de las distribuciones t y chi cuadrado. Son lo que hace que el mismo nivel de confianza dé respuestas distintas en páginas distintas: al 95 % de dos colas la frontera es 12,7062 con un grado de libertad, 2,2281 con diez y 1,9600 en cuanto la muestra es lo bastante grande para que la t y la normal sean indistinguibles

df₁, df₂

Los dos grados de libertad de la distribución F: el del numerador y el del denominador. Un contraste F compara dos varianzas o varias medias de grupo a la vez, así que necesita los dos, y el segundo campo de la página solo se lee en este modo. Escribirlos al revés es un desliz frecuente y da otra respuesta

tails

En qué lado de la distribución se sitúa la frontera. Dos colas parten α por la mitad y ponen α/2 en cada extremo, así que el valor z de dos colas al 95 % es 1,9600 mientras que el de una cola al 95 % es 1,6449: la misma confianza y un listón más bajo, porque ahora todo el 5 % está de un solo lado. Para chi cuadrado y para F no existe una lectura de dos colas, porque esas distribuciones son asimétricas y la frontera inferior es un número completamente distinto en lugar del negativo de la superior

Úsala cuando tengas un nivel de confianza o un nivel de significación y necesites el número con el que comparar un estadístico de contraste: para terminar un cálculo a mano, para comprobar qué usó un programa o para ver cuánto se mueve el listón cuando cambia el tamaño de la muestra. Es también la página que resuelve la confusión más común de este terreno: 1,96 y 1,645 no son dos convenciones del mismo contraste, son la frontera de dos colas y la de una cola al mismo nivel del 5 %, y decide cuál se aplica el hecho de que la hipótesis nombrara o no una dirección antes de ver los datos. Leída al revés, la página contesta también la pregunta inversa: un estadístico declarado de 2,3 está por encima de una frontera de 2,2281 y es significativo al 5 % de dos colas, y frente a 2,5706 con cinco grados de libertad no lo es. Lo que la página no decide es qué distribución deberías haber usado, porque eso es una pregunta sobre el estudio: un valor z se aplica cuando la desviación estándar es una constante conocida, un valor t cuando se estimó con los mismos datos, chi cuadrado a recuentos y varianzas, y F a cocientes de varianzas. El desplegable es decisión de quien usa la página, y las preguntas frecuentes de abajo explican las partes que se equivocan con más facilidad.

1. El caso por defecto: la frontera z de dos colas al 95 %

   1. Un nivel de confianza del 95 % es α = 0,05
   2. Dos colas significa 0,025 en cada una, así que la frontera superior es donde la curva normal estándar deja 0,975 por debajo
   3. Φ⁻¹(0,975) = 1,9600
   4. La frontera inferior es su imagen especular, −1,9600, y por eso un contraste de dos colas compara |z| con este único número

   Este es el número más citado de la estadística y el sitio correcto por donde empezar, porque se puede contrastar de memoria antes de fiarse de nada más de la página. Fíjate en lo que la lectura de dos colas le hace al problema: pide el valor z que deja por encima la mitad del 5 % y no todo, y esa partición es la diferencia entera entre 1,9600 y 1,6449. Los dos campos de grados de libertad están en pantalla y sin usar en este modo: un contraste z no tiene grados de libertad, y la página lo dice no leyéndolos en lugar de desactivándolos.

2. El mismo 95 %, pero con la desviación estándar sacada de la muestra

   1. Mismo nivel de confianza y mismo número de colas, así que el mismo α/2 = 0,025
   2. La distribución cambia de la normal a la t con 10 grados de libertad, cuyas colas son más pesadas
   3. T⁻¹(0,975, 10) = 2,2281
   4. La misma frontera con 5 grados de libertad sería 2,5706, y con 50 es 2,0086: baja hacia 1,9600 a medida que crece la muestra

   La distancia entre 1,9600 y 2,2281 es el precio de no conocer la desviación estándar de la población, y es la razón de que las dos distribuciones se mantengan separadas en lugar de tratarse como intercambiables. No es una corrección pequeña: un estadístico de 2,1 supera el listón de la z y no supera el de la t con diez grados de libertad. Los tres valores t que se citan aquí (2,5706, 2,2281 y 2,0086) son el mismo cálculo con tres grados de libertad distintos, y leerlos en secuencia es la manera más clara de ver que la t no es otra regla sino la misma con un recargo que se va desvaneciendo.

3. Una frontera de chi cuadrado no tiene versión de dos colas

   1. Chi cuadrado es una suma de cuadrados, así que nunca es negativo y su curva se inclina hacia la derecha
   2. El contraste pregunta si la desviación observada es demasiado grande, así que la frontera es la superior: donde la curva deja 0,95 por debajo
   3. P(χ² > x, df = 3) = 0,05 da x = 7,8147
   4. Pedir dos colas aquí se rechaza en lugar de aproximarse

   Pedir un chi cuadrado de dos colas es la única entrada que la página rechaza, y el rechazo es la parte informativa: en una distribución simétrica las dos fronteras son la una el negativo de la otra, así que un único número sirve para los dos extremos. En una asimétrica son valores sin relación, y el punto superior del 5 % de un chi cuadrado con 3 grados de libertad es 7,8147 mientras que el punto inferior del 5 % es 0,3518. Imprimir cualquiera de los dos como el valor crítico de dos colas sería un error silencioso, así que la página se detiene. La frontera inferior está disponible si se pide, y es la que usan las pruebas de bondad de ajuste que rechazan por variación demasiado pequeña.

4. La frontera inferior no es el negativo de la superior

   1. Un estadístico F es un cociente de varianzas, así que igual que el chi cuadrado no puede ser negativo y su curva es asimétrica
   2. La frontera superior del 5 % con 10 y 20 grados de libertad es 2,3479
   3. La frontera inferior del 5 % es el valor que deja 0,05 por debajo: 0,3605
   4. Las dos no guardan una relación de signo menos: son dos puntos independientes de la misma curva asimétrica

   Este par es la razón de que la página pregunte por la cola incluso en las distribuciones asimétricas. Como F es un cociente, su cola inferior corresponde a cocientes inusualmente pequeños, que es justo lo que mira un contraste de igualdad de varianzas cuando resulta que el segundo grupo es el más variable. La identidad recíproca F(1−α, df₁, df₂) = 1 / F(α, df₂, df₁) es la forma en que estos valores se leían antaño en una única tabla impresa solo para la cola superior, que es exactamente la aritmética que esta página hace por ti.

La página devuelve una frontera y se detiene ahí. No compara nada con ella porque no tiene con qué, ya que el estadístico de contraste procede de unos datos que la página nunca ve. Esa separación es deliberada y es también la razón de que la página te pida nombrar una distribución en lugar de deducirla: una frontera solo significa algo cuando se sabe qué cantidad se mide contra ella, y la aritmética no distingue una z de una t. Lo segundo que no hace es dar un aviso sobre los grados de libertad. Una t con un grado de libertad da una respuesta perfectamente correcta, 12,7062, y en un estudio de cinco personas esa respuesta también es casi inútil, porque la frontera es ancha al apoyarse la estimación de la desviación estándar en un solo grado de libertad. Nada en la entrada distingue un caso extremo deliberado de un error, así que el número se devuelve igual. Por último, las cuatro distribuciones suponen observaciones independientes y, en el caso de la F, que las poblaciones de partida son normales; un valor crítico bien calculado con la distribución equivocada sigue siendo el listón equivocado.

¿Qué diferencia hay entre un valor crítico y un valor p?

Son el mismo hecho leído desde extremos opuestos. Un valor crítico parte del nivel de significación que elegiste y devuelve la frontera; un valor p parte del estadístico que observaste y devuelve el área de la cola que queda por encima. Como los dos son inversos, comparar un estadístico con una frontera y comparar un valor p con α dan siempre el mismo veredicto, y por eso un programa puede informar de cualquiera de los dos. La diferencia práctica está en cuándo se toma la decisión: un valor crítico se fija antes de ver los datos y es el mismo para todos los estudios hechos a ese nivel, mientras que un valor p es una propiedad de la muestra concreta y no se puede citar de antemano. Esta página es la mitad de la frontera; la del valor p es la otra.

¿Uso 1,96 o 1,645?

Esa es una pregunta sobre las colas, no sobre convenciones. 1,9600 es la frontera de dos colas al nivel del 5 % y 1,6449 es la de una cola al mismo nivel: la primera reparte el 5 % entre los dos extremos y la segunda lo pone entero por encima. Usa el valor de dos colas salvo que se especificara una dirección antes de recoger los datos, porque un contraste de una cola compra un listón más bajo a cambio de renunciar a detectar una diferencia en la otra dirección. La tabla de arriba muestra el patrón directamente: cada α tiene las dos lecturas, y la columna de una cola para un α dado es la de dos colas para 2α.

¿Qué distribución debo elegir?

Se deduce de cómo se obtuvo la desviación estándar y de qué se está comparando. Usa z cuando la desviación estándar sea una constante conocida y no algo estimado, incluidos los casos de muestra grande en los que la estimación es lo bastante estable para dar igual. Usa t cuando la desviación estándar venga de la misma muestra que la media, que es la situación habitual y la razón de que la t sea mucho más frecuente en la práctica. Usa chi cuadrado para recuentos y varianzas: bondad de ajuste, independencia en una tabla de contingencia, un intervalo de confianza para una varianza. Usa F cuando el estadístico sea un cociente de dos varianzas o cuando se comparen varias medias de grupo a la vez en un análisis de la varianza. La página no puede deducirlo de tus números, y por eso la elección es un campo y no un paso automático.

¿Por qué no puedo pedir un valor crítico de chi cuadrado o F de dos colas?

Porque esas distribuciones son asimétricas y las dos colas no son imágenes especulares. En una curva normal o t la frontera inferior es exactamente el negativo de la superior, así que un único número describe los dos extremos y pedir dos colas está bien definido. Chi cuadrado y F empiezan en cero y se estiran hacia la derecha, así que las fronteras superior e inferior son dos valores sin relación: para un chi cuadrado con 3 grados de libertad el punto superior del 5 % es 7,8147 y el inferior del 5 % es 0,3518. Informar de cualquiera de los dos como la respuesta de dos colas sería un número equivocado sin avisar, así que la página rechaza la combinación y pregunta qué cola querías.

¿Por qué cambia el valor crítico cuando cambio los grados de libertad?

Porque los grados de libertad fijan la forma de las distribuciones t, chi cuadrado y F, y una frontera es una posición sobre esa forma. Las muestras pequeñas dan una t más ancha: al 95 % de dos colas la frontera es 12,7062 con un grado de libertad, 2,2281 con diez y 2,0086 con cincuenta, acercándose a 1,9600 a medida que crecen los grados de libertad. Esa convergencia no es casualidad: la t es lo que sale cuando se divide una normal entre una dispersión estimada, y la estimación deja de añadir incertidumbre cuando la muestra es grande. El mismo mecanismo hace que las fronteras de chi cuadrado y de F se muevan con sus grados de libertad, y por eso ninguna de las dos admite una tabla como la de la normal.

¿Es lo mismo el valor crítico que el intervalo de confianza?

No, aunque el intervalo de confianza se construya con él. La anchura de un intervalo es el valor crítico multiplicado por un error estándar, así que la frontera es uno de los dos ingredientes y la dispersión de los datos es el otro. Esa división del trabajo es la razón de que esta página pueda responder sin ningún dato: la frontera depende solo del nivel de confianza y de los grados de libertad, mientras que el intervalo necesita además la muestra. También explica por qué dos estudios con el mismo nivel de confianza tienen intervalos distintos: comparten el valor crítico y se diferencian en el error estándar. Si quieres el intervalo en sí y no el multiplicador, la página del intervalo de confianza es la que tiene la media y la dispersión como entradas.

• 1.3.6.7.1. Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the cumulative function whose inverse the z boundary is, and the table it is normally read from) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 6.2 Using the Normal Distribution — Introductory Statistics 2e (how the middle of the curve is cut off at a stated confidence level, and what the two tail areas add up to) — OpenStax (Rice University)
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (a test statistic as a quantity with its own distribution, which is what makes a boundary on that distribution mean anything) — National Institute of Standards and Technology (NIST)