Kritischer-Wert-Rechner

Φ(z) = 1 − α/2 T(t, FG) = 1 − α/2 P(χ² > x, FG) = α P(F > f, FG₁, FG₂) = α

α

Signifikanzniveau – auf welcher Randfläche die Grenze liegt, und damit dasselbe wie das Konfidenzniveau im Feld darüber, nur anders ausgedrückt. Zwischen beiden Begriffen steht genau eine Subtraktion: ein Konfidenzniveau von 95 % ist α = 0,05, eines von 99 % ist α = 0,01. Diese Umrechnung ist wichtig, weil die Seite wissen muss, ob die 5 % auf einer Seite liegen oder auf beide verteilt werden, und das ist erst sichtbar, wenn man α schreibt

Φ⁻¹

Die Umkehrfunktion der Standardnormalverteilung – dieselbe Kurve, auf der die z-Tabelle beruht, nur rückwärts gelesen. Die Tabelle liefert zu einem z die Fläche; ein kritischer Wert braucht zu einer Fläche das z, und deshalb muss er genähert werden und lässt sich nicht mit den vier Grundrechenarten gewinnen

FG

Freiheitsgrade – der Formparameter der t-Verteilung und der Chi-Quadrat-Verteilung. Dass dasselbe Konfidenzniveau bei verschiedenen Freiheitsgraden verschiedene Antworten gibt, liegt hier: Die zweiseitige Grenze für 95 % beträgt bei 1 Freiheitsgrad 12,7062, bei 10 Freiheitsgraden 2,2281, und erst wenn die Stichprobe so groß ist, dass t und Normalverteilung nicht mehr zu unterscheiden sind, 1,9600

FG₁, FG₂

Die zwei Freiheitsgrade der F-Verteilung – der des Zählers und der des Nenners. Ein F-Test vergleicht zwei Varianzen oder mehrere Gruppenmittelwerte auf einmal, deshalb braucht er beide; das zweite Freiheitsgrad-Feld wird nur in diesem Modus gelesen. Die beiden zu vertauschen ist ein häufiger Schreibfehler und liefert eine andere Antwort

Seiten

Auf welcher Seite der Verteilung die Grenze liegt. Zweiseitig teilt α in zwei Hälften und legt je α/2 an beide Enden, deshalb ist der z-Wert für 95 % zweiseitig 1,9600 und für 95 % einseitig 1,6449 – dieselbe Sicherheit, eine niedrigere Hürde, weil die vollen 5 % auf einer Seite liegen. Für Chi-Quadrat und F gibt es die zweiseitige Lesart gar nicht: Diese Verteilungen sind schief, die untere Grenze ist ein völlig eigener Wert und nicht das Negative der oberen

Wenn ein Konfidenzniveau oder ein Signifikanzniveau vorliegt und eine Zahl gebraucht wird, mit der sich eine Prüfgröße vergleichen lässt – um eine Handrechnung abzuschließen, nachzusehen, womit eine Software arbeitet, oder um zu sehen, wie weit die Hürde wandert, wenn sich die Stichprobe ändert. Die Seite ist zugleich die Schiedsrichterin an der unklarsten Stelle dieses Themas: 1,96 und 1,645 sind nicht zwei Konventionen desselben Tests, sondern die zweiseitige und die einseitige Grenze zum 5-%-Niveau, und welche gilt, hängt davon ab, ob die Richtung der Hypothese vor dem Blick auf die Daten festgelegt wurde. Rückwärts gelesen beantwortet die Seite auch die umgekehrte Frage – eine berichtete Prüfgröße von 2,3 ist neben 2,2281 auf dem 5-%-Niveau zweiseitig signifikant, neben 2,5706 bei 5 Freiheitsgraden nicht. Was die Seite nicht entscheidet, ist die Frage, welche Verteilung Sie hätten nehmen sollen. Das ist eine Frage des Untersuchungsplans: z, wenn die Standardabweichung eine bekannte Konstante ist, t, wenn sie aus denselben Daten geschätzt wird, Chi-Quadrat beim Auszählen von Häufigkeiten und Varianzen, F beim Vergleich des Verhältnisses zweier Varianzen. Das Auswahlfeld ist die Entscheidung der Nutzerin oder des Nutzers, und die folgenden Fragen erklären die Stellen, an denen sie häufig schiefgeht.

1. Der Standardfall: die z-Grenze bei 95 % zweiseitig

   1. Ein Konfidenzniveau von 95 % ist α = 0,05
   2. Zweiseitig heißt 0,025 je Seite, die obere Grenze ist also der Punkt, unter dem 0,975 der Fläche der Standardnormalverteilung liegen
   3. Φ⁻¹(0,975) = 1,9600
   4. Die untere Grenze ist das Spiegelbild −1,9600; für den zweiseitigen Test genügt es daher, |z| mit dieser einen Zahl zu vergleichen

   Das ist die meistzitierte Zahl der Statistik und der beste Ausgangspunkt – sie lässt sich noch vor jedem Vertrauen in diese Seite mit dem Gedächtnis abgleichen. Zu beachten ist, was die zweiseitige Lesart mit der Frage macht: Sie verlangt den z-Wert, über dem nur die Hälfte der 5 % liegen, und genau diese Hälfte ist der ganze Unterschied zwischen 1,9600 und 1,6449. Die beiden Freiheitsgrad-Felder stehen auf dem Bildschirm, werden in diesem Modus aber nicht gelesen – ein z-Test hat keine Freiheitsgrade, und die Seite sagt das dadurch, dass sie die Felder ignoriert, statt sie auszugrauen.

2. Dasselbe 95 %, aber die Standardabweichung stammt aus der Stichprobe

   1. Konfidenzniveau und Seitenzahl bleiben gleich, α/2 ist also weiterhin 0,025
   2. An die Stelle der Normalverteilung tritt die t-Verteilung mit 10 Freiheitsgraden, deren Ränder schwerer sind
   3. T⁻¹(0,975, 10) = 2,2281
   4. Dieselbe Grenze liegt bei 5 Freiheitsgraden bei 2,5706 und bei 50 bei 2,0086 – mit wachsender Stichprobe wandert sie schrittweise auf 1,9600 zu

   Die Lücke zwischen 1,9600 und 2,2281 ist der Preis dafür, dass die Standardabweichung der Grundgesamtheit unbekannt ist, und der Grund, warum die beiden Verteilungen getrennt geführt werden müssen statt als austauschbar zu gelten. Sie ist keine kleine Korrektur: Eine Prüfgröße von 2,1 überspringt die z-Grenze, scheitert aber an der t-Grenze bei 10 Freiheitsgraden. Die drei hier genannten t-Werte – 2,5706, 2,2281 und 2,0086 – sind dieselbe Rechnung bei drei Freiheitsgraden; sie hintereinander zu lesen ist der direkteste Weg zu der Einsicht, dass t keine andere Regel ist, sondern dieselbe Regel mit einem Aufschlag, der mit der Stichprobe verschwindet.

3. Die Chi-Quadrat-Grenze hat keine zweiseitige Fassung

   1. Chi-Quadrat ist eine Summe von Quadraten, nimmt also keine negativen Werte an, und die Kurve ist nach rechts geneigt
   2. Der Test fragt, ob die beobachteten Abweichungen zu groß sind, die Grenze liegt also oben: der Punkt, unter dem 0,95 der Fläche liegen
   3. P(χ² > x, FG = 3) = 0,05 ergibt x = 7,8147
   4. Die Wahl zweiseitig wird hier direkt abgelehnt und nicht genähert

   Ein zweiseitiges Chi-Quadrat ist die einzige Eingabe, die die Seite ablehnt, und diese Ablehnung ist der informativste Teil: Bei symmetrischen Verteilungen sind die beiden Grenzen Gegenzahlen voneinander, eine Zahl genügt also für beide Enden; bei schiefen Verteilungen sind es zwei unabhängige Werte, und bei 3 Freiheitsgraden liegt das obere 5-%-Quantil des Chi-Quadrats bei 7,8147, das untere bei 0,3518. Eine davon als zweiseitige Grenze auszugeben wäre ein stiller Fehler, also hält die Seite hier an. Die untere Grenze lässt sich auf Wunsch berechnen; sie ist die, die ein Anpassungstest für die Seite einer zu geringen Schwankung braucht.

4. Die untere Grenze ist nicht die Gegenzahl der oberen

   1. Die F-Statistik ist ein Verhältnis zweier Varianzen, nimmt also wie Chi-Quadrat keine negativen Werte an, und die Kurve ist ebenfalls geneigt
   2. Die obere 5-%-Grenze liegt bei 10 und 20 Freiheitsgraden bei 2,3479
   3. Die untere 5-%-Grenze ist der Wert, unter dem 0,05 der Fläche liegen: 0,3605
   4. Zwischen beiden steht kein Vorzeichen – es sind zwei unabhängige Punkte auf derselben schiefen Kurve

   Genau dieses Paar ist der Grund, warum die Seite auch bei asymmetrischen Verteilungen nach der Seite fragt. F ist ein Verhältnis, und sein unterer Rand entspricht einem ungewöhnlich kleinen Verhältnis – wenn die zweite Gruppe die stärker streuende ist, schaut ein Test auf Varianzgleichheit auf dieses Ende. Die Identität F(1−α, FG₁, FG₂) = 1 / F(α, FG₂, FG₁) ist der Weg, auf dem man die untere Grenze früher aus den Tabellen ablas, die nur die obere abdruckten – genau die Rechnung, die diese Seite übernimmt.

Die Seite gibt eine Grenze aus und hört dort auf. Sie vergleicht nichts mit dieser Grenze, weil nichts zum Vergleichen da ist – die Prüfgröße stammt aus Daten, die die Seite nicht sieht. Diese Trennlinie ist beabsichtigt und der Grund, warum Sie die Verteilung selbst angeben müssen, statt sie erschlossen zu bekommen: Erst wenn feststeht, welche Größe gemessen wird, hat die Grenze einen Sinn, und die Arithmetik allein unterscheidet z nicht von t. Was die Seite ebenso wenig tut, ist die Freiheitsgrade zu beaufsichtigen. Ein t mit 1 Freiheitsgrad liefert 12,7062, eine völlig korrekte Antwort, die in einer Untersuchung mit fünf Personen trotzdem kaum etwas nützt – die Grenze ist so breit, weil die Schätzung der Streuung auf einem einzigen Freiheitsgrad beruht. Nichts in der Eingabe unterscheidet einen bewusst extremen Test von einem Tippfehler, also rechnet und druckt die Seite in beiden Fällen. Schließlich setzen alle vier Verteilungen voraus, dass die Beobachtungen voneinander unabhängig sind, F zusätzlich, dass die zugrunde liegenden Grundgesamtheiten normalverteilt sind; eine mit dem richtigen Verfahren aus der falschen Verteilung berechnete Grenze bleibt eine falsche Grenze.

Worin unterscheiden sich kritischer Wert und p-Wert?

Es ist dieselbe Sache von zwei Enden gelesen. Der kritische Wert geht vom gewählten Signifikanzniveau aus und liefert die Grenze; der p-Wert geht von der beobachteten Prüfgröße aus und liefert die Randfläche dahinter. Weil beide zueinander invers sind, führt der Vergleich der Prüfgröße mit der Grenze und der Vergleich des p-Werts mit α immer zum selben Urteil – deshalb darf eine Software berichten, was sie will. Der praktische Unterschied liegt im Zeitpunkt: Die Grenze steht fest, bevor die Daten da sind, und gilt für jede Untersuchung desselben Niveaus; der p-Wert ist eine Eigenschaft dieser einen Stichprobe und lässt sich nicht vorab angeben. Diese Seite ist die Grenze, die p-Wert-Seite die andere Hälfte.

Soll ich 1,96 oder 1,645 verwenden?

Das ist eine Frage nach einseitig oder zweiseitig und keine Frage der Konvention. 1,9600 ist die zweiseitige Grenze zum 5-%-Niveau, 1,6449 die einseitige Grenze desselben Niveaus – die eine verteilt die 5 % auf beide Enden, die andere legt sie ganz nach oben. Nehmen Sie den zweiseitigen Wert, außer die Richtung war vor der Datenerhebung festgelegt, denn ein einseitiger Test erkauft die niedrigere Hürde damit, dass er auf die Entdeckung eines Unterschieds in die andere Richtung verzichtet. Die Tabelle oben zeigt die Regel ganz direkt: Jedes α hat zwei Lesarten, und der einseitige Wert zu einem α ist der zweiseitige Wert zu 2α.

Welche Verteilung soll ich wählen?

Das hängt davon ab, woher die Standardabweichung stammt und was verglichen wird. z, wenn die Standardabweichung eine bekannte Konstante und keine geschätzte Größe ist, einschließlich der Fälle, in denen die Stichprobe so groß ist, dass die Schätzung stabil genug ist. t, wenn Standardabweichung und Mittelwert aus derselben Stichprobe stammen – das ist der häufigste Fall und der Grund, warum t in der Praxis viel öfter gebraucht wird als z. Chi-Quadrat beim Auszählen von Häufigkeiten und Varianzen: Anpassungstests, Unabhängigkeit in Kontingenztafeln, Konfidenzintervalle für eine Varianz. F, wenn die Prüfgröße ein Verhältnis zweier Varianzen ist oder mehrere Gruppenmittelwerte auf einmal verglichen werden (Varianzanalyse). Die Seite kann das aus Ihren Zahlen nicht ableiten, deshalb ist es ein Feld und kein automatischer Schluss.

Warum gibt es keinen zweiseitigen kritischen Wert für Chi-Quadrat oder F?

Weil diese beiden Verteilungen schief sind und ihre beiden Ränder keine Spiegelbilder. Auf einer Normal- oder t-Kurve ist die untere Grenze genau das Negative der oberen, eine Zahl beschreibt also beide Enden, und erst dadurch ist zweiseitig eine wohldefinierte Anforderung. Chi-Quadrat und F beginnen bei 0 und ziehen sich nach rechts, ihre obere und ihre untere Grenze sind zwei unabhängige Werte – bei 3 Freiheitsgraden liegt das obere 5-%-Quantil des Chi-Quadrats bei 7,8147, das untere bei 0,3518. Eine davon als zweiseitige Antwort auszugeben, wäre eine still falsche Zahl, deshalb lehnt die Seite diese Kombination ab und fragt nach der gemeinten Seite.

Warum verschiebt sich die Grenze, wenn ich die Freiheitsgrade ändere?

Weil die Freiheitsgrade die Gestalt der t-, Chi-Quadrat- und F-Verteilung festlegen und die Grenze eine Position auf dieser Gestalt ist. Kleine Stichproben ergeben ein breiteres t: zweiseitig auf dem 95-%-Niveau beträgt die Grenze bei 1 Freiheitsgrad 12,7062, bei 10 Freiheitsgraden 2,2281, bei 50 Freiheitsgraden 2,0086, und sie nähert sich mit wachsenden Freiheitsgraden 1,9600. Diese Annäherung ist kein Zufall – t entsteht, wenn man eine normalverteilte Größe durch eine geschätzte Streuung teilt, und je größer die Stichprobe, desto weniger kommt an zusätzlicher Unsicherheit hinzu. Derselbe Mechanismus verschiebt die Grenzen von Chi-Quadrat und F mit ihren Freiheitsgraden, und genau deshalb lassen sie sich nicht wie die Normalverteilung auf ein Blatt drucken.

Sind kritischer Wert und Konfidenzintervall dasselbe?

Nein, aber das Konfidenzintervall wird aus ihm gebaut. Die Breite des Intervalls ist der kritische Wert mal ein Standardfehler, die Grenze ist also einer von zwei Bestandteilen und die Streuung der Daten der andere. Diese Arbeitsteilung ist der Grund, warum diese Seite ganz ohne Daten antworten kann: Die Grenze hängt nur vom Konfidenzniveau und von den Freiheitsgraden ab, ein Intervall braucht zusätzlich die Stichprobe. Sie erklärt auch, warum zwei Untersuchungen mit demselben Konfidenzniveau verschiedene Intervalle haben – sie teilen dieselbe Grenze, und der ganze Unterschied steckt im Standardfehler. Wenn Sie das Intervall selbst brauchen und nicht den Faktor davor, ist die Konfidenzintervall-Seite die richtige, denn sie nimmt Mittelwert und Streuung als Eingabe.

• t-Test für unabhängige Stichproben — Methodenberatung der Universität Zürich: die t-Verteilung und die Freiheitsgrade, aus denen sich die Grenze ergibt, die diese Seite für 95 % zweiseitig auf 2,2281 bei 10 Freiheitsgraden setzt — Universität Zürich, Methodenberatung
• F-Test — Methodenberatung der Universität Zürich: die F-Verteilung mit ihren zwei Freiheitsgraden und das Varianzverhältnis, das hinter der unteren Grenze dieser Seite steht — Universität Zürich, Methodenberatung
• 1.3.6.7.1. Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (englische Originalfassung; die z-Werte dieser Seite sind die Umkehrfunktion genau dieser Tabelle) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 6.2 Using the Normal Distribution — Introductory Statistics 2e (englische Originalfassung; wie die Mitte der Kurve bei einem vorgegebenen Konfidenzniveau herausgeschnitten wird und wie groß die beiden Randflächen zusammen sind) — OpenStax (Rice University)