Калькулятор матриц

A + B = (aᵢⱼ + bᵢⱼ) (A × B)ᵢⱼ = aᵢ₁b₁ⱼ + aᵢ₂b₂ⱼ det A = a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁ A⁻¹ = (1 ÷ det A) × (a₂₂, −a₁₂; −a₂₁, a₁₁)

Матрица A, строка 1 / строка 2

Первая матрица: по строке на поле и по два числа в каждом, например 4 7 и 2 6. Строки, а не четыре отдельные ячейки, потому что матрица — один объект: четыре поля превратили бы один ввод в четыре и позволили бы заполнить то, что матрицей вовсе не является

Матрица B, строка 1 / строка 2

Вторая матрица, записанная так же, и единственный необязательный ввод на странице. Сложению и умножению она нужна, обращение её полностью игнорирует, так что при этом действии оба поля можно оставить пустыми. Пустое поле здесь не ошибка — ключа просто нет

Действие

Что именно сделать: сложить две матрицы, перемножить их или обратить первую. Одна страница вместо трёх, потому что все три принимают один и тот же ввод и различаются только арифметикой над ним

Результат, строка 1 столбец 1

Левый верхний элемент ответа, а с ним и остальные три под такими же именами. При сложении это два левых верхних числа, сложенных между собой; при умножении это вся первая строка A против всего первого столбца B, и поэтому он не равен просто произведению двух левых верхних элементов

det A

Определитель первой матрицы: левый верхний на правый нижний минус правый верхний на левый нижний. Печатается при любом действии и всегда принадлежит A, а не ответу: это свойство набранной вами матрицы, поэтому он не меняется, когда вы переключаетесь со сложения на умножение и на обращение одних и тех же чисел

1 ÷ det A

Множитель в обратной матрице и причина, по которой нулевой определитель отклоняется: именно на это число обратная матрица делится. Ни сложению, ни умножению он не нужен, поэтому они продолжают работать и на матрице с нулевым определителем

A⁻¹

Матрица, которая отменяет A: перемножьте их в любом порядке и получите единичную — единицы по диагонали и нули вне неё. Ради этого она и нужна, и существует она ровно тогда, когда определитель не равен нулю

Единичная матрица

Матрица с единицами по диагонали и нулями вне неё — то же для матричного умножения, чем является число 1 для обычного. Проверка обратной матрицы состоит в том, чтобы перемножить и получить именно её

Четыре знака после запятой

Ширина, с которой печатаются результаты. Сложение и умножение целых чисел дают точные ответы, как и обращение любой матрицы с определителем 1 или −1; остальные округлены, и диагональная матрица с тройкой на диагонали — самый частый случай, который нацело не выходит

Сложение — действие, которое почти никому не нужно, и стоит оно здесь главным образом для того, чтобы все три стояли рядом: оно складывает поэлементно, работает всегда, и это единственное место, где матрицы ведут себя как обычные числа. Умножение важно для преобразований: повернуть фигуру, а потом растянуть её — значит перемножить две соответствующие матрицы, и порядок умножения — это порядок применения. Обращение служит для отмены: если матрица переводит координаты одним способом, обратная переводит их назад, а это ровно то, что нужно, когда результат преобразования есть, а вход, который его дал, неизвестен. Определитель, напечатанный рядом, стоит читать и сам по себе. Нулевой определитель означает, что матрица сплющивает плоскость в прямую: разные входы попадают в один выход, и отменить уже ничего нельзя — это то же самое утверждение, что и отсутствие обратной матрицы. Такая матрица называется вырожденной, и узнать её стоит по одному этому числу. А знак определителя говорит, сохраняет матрица ориентацию плоскости или переворачивает её. Две вещи стоит помнить, пользуясь этой страницей. Умножение не коммутативно: перестановка двух матриц даёт другой ответ, поэтому если вы составляете преобразования, порядок — часть задачи, а не подробность. И показан только определитель первой матрицы, так что если нужен ещё и определитель второй, обратите её отдельно: именно выбранное действие, а не поля, решает, какая матрица считается первой.

1. Строки 4 7 и 2 6, умноженные на строки 1 2 и 3 4

   1. Левый верхний: (4 × 1) + (7 × 3) = 4 + 21 = 25
   2. Правый верхний: (4 × 2) + (7 × 4) = 8 + 28 = 36
   3. Левый нижний: (2 × 1) + (6 × 3) = 2 + 18 = 20
   4. Правый нижний: (2 × 2) + (6 × 4) = 4 + 24 = 28
   5. Определитель A: (4 × 6) − (7 × 2) = 24 − 14 = 10

   Ввод, с которым страница открывается. Каждый элемент ответа — это целая строка первой матрицы против целого столбца второй, и вот на что здесь стоит смотреть: левый верхний элемент ответа равен 25, а ни одно из двух чисел, стоящих в левом верхнем углу входов, 4 и 1, на 25 не похоже. Их произведение равно 4. Определитель 10 печатается здесь же, и он принадлежит A — матрице из строк 4 7 и 2 6, — а не ответу.

2. Те же две матрицы, сложение

   1. Левый верхний: 4 + 1 = 5
   2. Правый верхний: 7 + 2 = 9
   3. Левый нижний: 2 + 3 = 5
   4. Правый нижний: 6 + 4 = 10
   5. Определитель A: по-прежнему 10, потому что A — та же матрица, что и в предыдущем примере

   Предыдущий пример с одной изменённой вещью: выбранным действием. Теперь каждый элемент — обычная сумма, и это единственное из трёх действий, где матрицы ведут себя как обычные числа: порядок не важен, и сломаться нечему. Определитель остался равен 10, потому что это факт о матрице A, а A не изменилась. Переключать действие туда и обратно между сложением и умножением — самый быстрый способ увидеть, что определитель не является свойством вычисления.

3. Обращение матрицы со строками 4 7 и 2 6

   1. Определитель A: (4 × 6) − (7 × 2) = 24 − 14 = 10
   2. Меняем местами два диагональных элемента: 6 и 4
   3. Меняем знаки у двух внедиагональных: −7 становится 7, а 2 становится −2
   4. Делим каждый на определитель: 6 ÷ 10 = 0,6; −7 ÷ 10 = −0,7; −2 ÷ 10 = −0,2; 4 ÷ 10 = 0,4
   5. Проверка: (4 × 0,6) + (7 × −0,2) = 2,4 − 1,4 = 1, а это левый верхний элемент единичной матрицы

   Первое из трёх действий с условием, и поля второй матрицы здесь пусты намеренно: обращение читает только A, и страница не возражает. Рецепт каждый раз один и тот же, из четырёх шагов: поменять местами диагональ, сменить знаки у двух оставшихся, разделить на определитель. Проверку в конце стоит один раз проделать руками: умножение ответа обратно на исходную матрицу даёт единицы по диагонали и нули вне неё, а любой другой результат означает, что где-то потерялся знак.

4. Строки 1 2 и 3 4, умноженные на строки 5 6 и 7 8

   1. Левый верхний: (1 × 5) + (2 × 7) = 5 + 14 = 19
   2. Правый верхний: (1 × 6) + (2 × 8) = 6 + 16 = 22
   3. Левый нижний: (3 × 5) + (4 × 7) = 15 + 28 = 43
   4. Правый нижний: (3 × 6) + (4 × 8) = 18 + 32 = 50
   5. Определитель A: (1 × 4) − (2 × 3) = 4 − 6 = −2

   Строка, ради которой стоит поменять матрицы местами. Введите те же четыре числа, поменяв A и B, и ответ станет 23, 34, 31 и 46 — совершенно другая матрица из тех же входов в другом порядке. Матричное умножение не коммутативно, и вот что это значит на практике: если две матрицы — это два преобразования, то порядок их умножения и есть порядок применения. Заметьте, что определитель A здесь равен −2 и там равен −2, поскольку у обеих матриц он случайно оказался одинаковым: два ответа различаются четырьмя элементами результата, а столбец определителя их не различает.

5. Матрица с нулевым определителем, умножение

   1. Левый верхний: (1 × 1) + (2 × 3) = 1 + 6 = 7
   2. Правый верхний: (1 × 2) + (2 × 4) = 2 + 8 = 10
   3. Левый нижний: (2 × 1) + (4 × 3) = 2 + 12 = 14
   4. Правый нижний: (2 × 2) + (4 × 4) = 4 + 16 = 20
   5. Определитель A: (1 × 4) − (2 × 2) = 4 − 4 = 0

   У первой матрицы определитель равен нулю — её вторая строка ровно вдвое больше первой, так что она сжимает плоскость в прямую, — и умножение всё равно считается как обычно. В этом и смысл примера: нулевой определитель мешает обращению и больше ничему. Попросите ту же страницу обратить эту матрицу — она откажется. Попросите сложить или умножить — ответит, потому что у обоих этих действий здесь вполне определённые ответы. Столбец определителя и там и тут читается как 0.

Принимаются только матрицы 2×2, по строке на поле, по два числа в каждой. Для больших матриц нужна была бы другая раскладка, а не поле побольше: число ячеек растёт как квадрат размера. Поля второй матрицы можно оставить пустыми, и нужно ли их заполнять, зависит от действия, а не от поля: сложению и умножению нужны обе матрицы, обращение читает только первую. Обратная матрица существует только при ненулевом определителе, и эта проверка сравнивает определитель с точным нулём, а не с почти нулём, — это и ограничение, и решение сразу. Допуск пришлось бы взять таким, чтобы он отвергал заведомо обратимые матрицы, лишь бы поймать случаи у самой границы, поэтому допуска нет; цена в том, что матрица с десятичными элементами, вырожденная в точной арифметике, может дать определитель порядка 1,4 × 10⁻¹⁷ вместо нуля и быть обращена, а на выходе получатся четыре огромных числа вместо отказа. Целые числа снимают этот вопрос целиком, а настолько маленький определитель — сам по себе сигнал. Показан только определитель первой матрицы, поэтому определитель второй придётся считать, поставив её на первое место. Числа в строке читаются как обычные числа: запятая с пробелом после неё разделяет два числа строки, а запятая между двумя цифрами — десятичный разделитель, так что дробь записывается привычным образом. Дальше начинается ловушка, которой нет в английской версии: числа в строке разделяет и пробел, а неразрывный пробел — это ровно тот знак, которым в русском отделяют тысячи. Поэтому строка 1 500, скопированная из таблицы или из другого документа, будет молча прочитана как два числа строки, 1 и 500, и никакой ошибки при этом не появится: в строке как раз и должно быть два числа, проверка проходит, а матрица получается не та, которую вы имели в виду. Запись с запятой, после которой стоит ровно три цифры, при ненулевой целой части отклоняется целиком: она одинаково похожа и на десятичную дробь, и на тысячу пятьсот. Целые числа пишите без разделителя: 1500. Четыре знака после запятой — это ширина печати, а не заявление о точности, и обратная матрица считается по неокруглённому определителю, поэтому умножение напечатанного ответа обратно на A может не дать ровно единиц и нулей по напечатанным числам. Единиц измерения на этой странице нет нигде и не подразумевается: элементы — простые числа, и четыре знака после запятой — единственное, что о них утверждается.

Почему по одному полю на строку, а не по одному на каждое число?

Потому что матрица — один объект, а четыре поля превратили бы её в четыре независимых ввода, которые можно заполнить как угодно, в том числе так, что матрицы не получится вовсе. Целая матрица в одном поле даёт обратную беду: нельзя отличить пропущенный элемент от переставленного. Поле на строку держит два числа строки вместе и всё же позволяет странице проверить, что в строке ровно два числа.

Когда можно оставить вторую матрицу пустой?

Когда выбранному действию она не нужна. Обращение читает только первую матрицу, поэтому оба поля второй можно оставить пустыми, и ничего не пропало. Сложению и умножению нужны обе, и страница подождёт, а не станет ругаться, пока вы ещё печатаете. Обязательность поля решает действие, а не само поле.

Почему обращение иногда отклоняется?

Потому что обратная матрица отменяет первую, а у вырожденной матрицы такой обратной нет. Вырожденная матрица — это матрица с нулевым определителем: она сплющивает плоскость в прямую, разные входы попадают в один выход, и развернуть это нельзя. Страница отказывает, а не печатает четыре числа, похожие на ответ. Сложение и умножение той же самой матрицы работают как обычно.

Какой матрице принадлежит определитель?

Всегда первой, какое бы действие вы ни выбрали, поэтому он остаётся на месте, пока вы переключаетесь между сложением, умножением и обращением одного и того же ввода. Это свойство самой матрицы, а не ответа, и именно оно решает, существует ли обратная. Если нужен определитель второй матрицы, поставьте её на первое место и выберите обращение.

Важен ли порядок двух матриц?

Для умножения — да, и это настоящее различие, а не формальность: перестановка двух матриц даёт четыре других элемента. Если это два преобразования, порядок умножения и есть порядок применения. Сложение — исключение: матрицы складываются так же, как обычные числа, и порядок не значит ничего.

Зачем вообще нужна единичная матрица?

Она делает с матричным умножением то же, что число 1 делает с обычным: ничего не меняет. Единичная матрица — это единицы по диагонали и нули вне неё, и на неё умножают, когда проверяют обратную матрицу: произведение обязано дать ровно её. Отсюда и определение обратной — матрица, которая в произведении с исходной даёт единичную.

• Matrix — the object this page takes as input, with the definitions of addition, multiplication and the identity matrix that the three operations here follow — Wolfram MathWorld (United States)
• Matrix inverse — the matrix that undoes another, its formula for the 2×2 case as used on this page, and the condition that it exists only when the determinant is not zero — Wolfram MathWorld (United States)
• Determinant — the number the page prints beside every answer: how it is computed for a 2×2 matrix, why the inverse is divided by it, and what a value of zero says about the matrix — Wolfram MathWorld (United States)