Калькулятор векторного произведения

u × v = (u₂v₃ − u₃v₂, u₃v₁ − u₁v₃, u₁v₂ − u₂v₁) |u × v| = |u| × |v| × sin θ = площадь параллелограмма

Вектор u

Первый вектор: ровно три числа через пробел или запятую, например 1 2 3. Три — единственное принимаемое число, потому что векторное произведение операция трёхмерная: пару из двух чисел отклоняют, а не дополняют нулём, ведь нуль молча изменил бы ответ

Вектор v

Второй вектор, тоже ровно из трёх чисел. Порядок двух векторов здесь важен так, как не важен для скалярного произведения: если их поменять местами, каждая компонента ответа сменит знак

Компонента x

Первая компонента ответа: вторая компонента первого вектора, умноженная на третью компоненту второго, минус его третья, умноженная на вторую. Каждая компонента векторного произведения — разность двух произведений, и отсюда берутся все знаки

Компонента y

Тот же узор со сдвигом на один шаг: третья компонента первого вектора, умноженная на первую компоненту второго, минус его первая, умноженная на третью. Этот сдвиг путают чаще всего, и получается не абсурдный ответ, а одна компонента с неверным знаком

Компонента z

Узор, сдвинутый ещё раз: первая компонента первого вектора, умноженная на вторую компоненту второго, минус его вторая, умноженная на первую. Три компоненты вместе и есть вектор, перпендикулярный обоим входам

Модуль

Длина получившегося вектора: квадратный корень из суммы квадратов трёх компонент. Это же площадь параллелограмма, натянутого на два входных вектора, и удвоенная площадь треугольника с этими сторонами — обычно именно так его и читают

|u| × |v| × sin θ

Та же длина, записанная с другой стороны, где θ — угол между двумя входами. Видно, что длина наибольшая при перпендикулярных векторах и падает до нуля, когда они выстраиваются в линию: поэтому нулевое векторное произведение означает параллельность, и поэтому скалярное произведение, ведущее себя ровно наоборот, — дополнение этой страницы, а не её замена

Перпендикулярен обоим

Свойство, ради которого результат и нужен: он направлен под прямым углом к каждому из двух входов. Проверяется на самом ответе — скалярное произведение с любым из входов равно нулю с точностью до округления

Четыре знака после запятой

Ширина, с которой печатаются результаты. Компоненты точны всегда, когда входы целые и небольшие, а это почти все ручные расчёты; в остальных случаях числа округлены

Векторное произведение отвечает на другой вопрос, чем скалярное, и эти двое дополняют друг друга, а не заменяют. Скалярное берёт два вектора и даёт число, наибольшее при одинаковом направлении; векторное берёт два вектора и даёт вектор, самый длинный при перпендикулярности. Эта страница нужна, когда требуется направление под прямым углом к двум известным — нормаль к поверхности, ось вращения, направление силы, действующей на движущийся заряд. Она нужна, когда по двум сторонам хотят площадь параллелограмма или треугольника: модуль ответа — это площадь параллелограмма, а половина его — площадь треугольника. Она нужна, когда проверяют, параллельны ли два вектора: ответ равен трём нулям ровно тогда, когда они параллельны. И она нужна, когда перпендикулярное направление важно получить в правильной ориентации — тут и вступают в дело порядок векторов и правило правой руки: первый вектор — тот, от которого пальцы отходят, второй — тот, к которому они приходят, а большой палец показывает ответ. Две оговорки. Результат перпендикулярен обоим входам, поэтому он не направлен ни по одному из них: если вы ждали ответ вдоль одного из своих векторов, вам нужно было скалярное произведение. И нулевой модуль — это настоящий ответ, а не отказ: он говорит, что векторы параллельны, включая случай, когда один из них — нулевой вектор.

1. 1 2 3 и 4 5 6

   1. Компонента x: 2 × 6 − 3 × 5 = 12 − 15 = −3
   2. Компонента y: 3 × 4 − 1 × 6 = 12 − 6 = 6
   3. Компонента z: 1 × 5 − 2 × 4 = 5 − 8 = −3
   4. Модуль: √(9 + 36 + 9) = √54 = 7,348469

   Ввод, с которым страница открывается, и строка, показывающая, насколько обычна вся арифметика: три разности двух произведений, и больше ничего. Все три компоненты ненулевые, поэтому именно эта строка удобнее всего для сверки ручного расчёта со страницей: ошибку в знаке здесь не спрячет ни один нуль. Длина 7,3485 — это площадь параллелограмма, натянутого на эти два вектора, а у треугольника с такими сторонами она вдвое меньше.

2. 1 0 0 и 0 1 0

   1. Компонента x: 0 × 0 − 0 × 1 = 0
   2. Компонента y: 0 × 0 − 1 × 0 = 0
   3. Компонента z: 1 × 1 − 0 × 0 = 1
   4. Модуль: √(0 + 0 + 1) = 1

   Единичные векторы вдоль первых двух осей, и векторное произведение возвращается третьим. Эта строка показывает циклический порядок, на котором построена страница: x на y даёт z, а длина 1 говорит, что входы были перпендикулярны, и параллелограмм получился единичным квадратом. Расписать здесь три компоненты руками стоит один раз — это тот случай, когда все члены, которым положено исчезнуть, исчезают.

3. 0 1 0 и 1 0 0

   1. Компонента x: 1 × 0 − 0 × 0 = 0
   2. Компонента y: 0 × 1 − 0 × 0 = 0
   3. Компонента z: 0 × 0 − 1 × 1 = −1
   4. Модуль: √(0 + 0 + 1) = 1

   Предыдущая строка с переставленными полями, и всё различие — знак третьей компоненты. Это и есть зависимость от порядка, и страница показывает её без всякой алгебры: введите одну и ту же пару дважды, поменяв поля местами, и одна компонента сменит знак. Длина при этом остаётся равной 1 — вторая половина утверждения: перестановка двух векторов разворачивает направление ответа, но не его величину.

4. 1 2 3 и 2 4 6

   1. Компонента x: 2 × 6 − 3 × 4 = 12 − 12 = 0
   2. Компонента y: 3 × 2 − 1 × 6 = 6 − 6 = 0
   3. Компонента z: 1 × 4 − 2 × 2 = 4 − 4 = 0
   4. Модуль: √(0 + 0 + 0) = 0

   Два вектора вдоль одной прямой — второй ровно вдвое больше первого — и ответ из трёх нулей. Это параллельный случай, и его стоит узнавать в лицо: модуль векторного произведения — это площадь, которую натягивают два вектора, а параллельные векторы не натягивают никакой площади. Получить все нули — правильный ответ, а не сбой: он говорит, что два направления лежат на одной прямой, и ни один вектор не перпендикулярен этой прямой так, как это делала бы нормаль к поверхности.

5. 3 4 0 и 4 3 0

   1. Компонента x: 4 × 0 − 0 × 3 = 0
   2. Компонента y: 0 × 4 − 3 × 0 = 0
   3. Компонента z: 3 × 3 − 4 × 4 = 9 − 16 = −7
   4. Модуль: √(0 + 0 + 49) = 7

   Два вектора лежат в плоскости, поэтому перпендикулярное направление выходит прямо из неё, и первые две компоненты равны нулю. Модуль 7 — это площадь параллелограмма с этими двумя сторонами, а у треугольника с такими сторонами она равна 3,5. Знак третьей компоненты говорит, в какую сторону от плоскости направлен ответ, и здесь он отрицателен потому, что первый вектор — тот, который поворачивается ко второму против часовой стрелки, если смотреть с обратной стороны. Оба вектора имеют длину 5, их скалярное произведение равно 24, а 7, 24 и 25 — пифагорова тройка: иначе говоря, модуль ответа и скалярное произведение — это два катета прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна произведению длин.

У каждого вектора должно быть ровно три компоненты, и пару из двух или четырёх отклоняют, а не дополняют. Векторного произведения в плоскости не существует: операция трёхмерная по определению, и тихо приписанный ноль дал бы направление, не имеющее отношения к плоскости, в которой лежат эти два вектора. Компоненты читаются как обычные числа: запятая с пробелом после неё разделяет компоненты, а запятая между двумя цифрами — десятичный разделитель, так что три вторых записываются как обычно. Дальше начинается ловушка, которой нет в английской версии: компоненты разделяет и пробел, а неразрывный пробел — это ровно тот знак, которым в русском отделяют тысячи. Поэтому число 1 500, скопированное из таблицы или из другого документа, будет молча прочитано как две компоненты, 1 и 500. Здесь это хотя бы заметно: страница ждёт ровно три числа и откажет с сообщением о количестве компонент, — но догадаться, что дело в разделителе, придётся вам. Запись с запятой, после которой стоит ровно три цифры, при ненулевой целой части отклоняется целиком: она одинаково похожа и на десятичную дробь, и на тысячу пятьсот. Целые числа пишите без разделителя: 1500. Четыре знака после запятой — это ширина печати, а не заявление о точности. Нулевой вектор здесь принимается, в отличие от страниц скалярного произведения и угла, и это различие сделано намеренно: векторное произведение с нулевым вектором действительно равно нулевому вектору, потому что нулевой вектор не натягивает площади ни с чем, так что настоящий ответ есть, и отказываться от вычисления незачем. Поэтому три нуля на выходе двусмысленны ровно настолько, насколько это неразрешимо для страницы: они означают, что векторы параллельны, и они же означают, что один из них нулевой, а какой из двух случаев ваш — знаете только вы. Оба случая — правильные результаты. Единиц измерения страница не обрабатывает: компоненты — простые числа, и модуль ответа тоже, хотя он и несёт ту единицу, в квадрат которой были возведены входы. Ничто на странице не сверяет ориентацию результата с физической правой рукой, поэтому если вы берёте ответ как нормаль или как ось вращения, то именно порядок ввода двух векторов решает, какое из двух перпендикулярных направлений вам достанется.

Почему нельзя ввести двумерные векторы?

Потому что векторного произведения у двух векторов на плоскости не существует. Операция определена в трёх измерениях: ответ обязан быть перпендикулярен обоим входам, а в плоском слое для него не остаётся направления. Если дополнить пару из двух чисел нулём, чтобы она прошла, ответ не будет иметь отношения к той плоскости, в которой лежат векторы, поэтому страница отказывает.

Что означает ответ геометрически?

Это вектор, перпендикулярный обоим входам, а его модуль — площадь параллелограмма, натянутого на входы. Половина этой длины — площадь треугольника с теми же сторонами. Именно из-за двойного прочтения один и тот же расчёт всплывает и когда нужна нормаль к поверхности, и когда нужна площадь.

У меня получились три нуля. Что-то сломалось?

Нет, нулевое векторное произведение — настоящий ответ. Оно означает, что векторы параллельны и не натягивают площади, и оно же получается, когда один из них — нулевой вектор. И то и другое — правильный результат, а не сбой, и различить эти случаи страница не может: три нуля у них одинаковые.

Важен ли порядок двух векторов?

Да, и это единственное место, где эта страница резко расходится со страницей скалярного произведения. Перестановка двух векторов разворачивает направление ответа: каждая компонента меняет знак, а модуль остаётся точно таким же. Введите одну и ту же пару дважды с переставленными полями — и увидите это своими глазами. Какое из двух перпендикулярных направлений вам нужно, решает правило правой руки.

Какая компонента идёт первой?

Сначала x, потом y, потом z, и весь ответ печатается так же, как были введены входы. Каждая компонента — разность двух произведений, и для каждой узор сдвигается на один шаг по циклу: компонента y повторяет рецепт компоненты x с прокрученными компонентами, а z прокручивает их ещё раз.

Чем это отличается от скалярного произведения?

Скалярное произведение берёт два вектора и даёт одно число, наибольшее при одинаковом направлении; векторное даёт вектор, самый длинный при перпендикулярности. Они дополняют друг друга. Если нужно одно число — угол, проекция, мера похожести, — нужно скалярное произведение; если нужно направление под прямым углом к обоим, нужна эта страница.

• Cross product — the operation this page computes, with the component-by-component definition and the two properties the page leans on, that the result is perpendicular to both inputs and that the order of the factors flips its sign — Wolfram MathWorld (United States)
• Determinant — the array of numbers whose evaluation is exactly the cross product's component formulas, which is why the same cycle turns up in both places and why this page points at the matrix calculator — Wolfram MathWorld (United States)
• Parallelogram — the figure whose area the length of a cross product gives, and the reason the answer is three zeros exactly when the two vectors are parallel — Wolfram MathWorld (United States)