Калькулятор ожидаемого значения

E[X] = Σ pᵢ xᵢ Var(X) = Σ pᵢ (xᵢ − E[X])² σ = √Var(X)

xᵢ

Один исход — значение i-го результата в списке. Оно может быть отрицательным и может быть дробным; список — это ряд чисел, разделённых точкой с запятой, запятой или пробелами, до 200 чисел

pᵢ

Вероятность этого исхода, вводимая в процентах от 0 до 100. Два списка читаются рядом, поэтому третья вероятность принадлежит третьему исходу, и длины у них должны совпадать

E[X]

Ожидаемое значение: каждый исход, умноженный на свою вероятность, со сложением произведений. Это то взвешенное среднее, которое панель сообщает первым, и то единственное число на странице, относительно которого измеряются остальные

Var(X)

Дисперсия: для каждого исхода — квадрат расстояния до ожидаемого значения, взвешенный вероятностью этого исхода. Из-за возведения в квадрат один далёкий исход может её полностью определять

σ

Стандартное отклонение, квадратный корень дисперсии. Оно возвращается в те же единицы, что и сами исходы, и именно поэтому его стоит читать, когда нужно понять ширину разброса

Σ

Сложить по всем исходам списка. Ничто не учитывается дважды и ничто не отбрасывается: то, что вероятности дают в сумме 100 %, и делает весь список полным описанием возможностей

Берите его, когда исходов достаточно мало, чтобы их перечислить, и у каждого есть вероятность, которую можно назвать: игра с таблицей выплат, гарантия, которая стоит фиксированную сумму и срабатывает на известной доле изделий, решение с тремя сценариями. Обращайтесь к среднему арифметическому, когда числа — это наблюдения, а не возможности: списку измерений нужно среднее, а не ожидаемое значение, и деление на количество предполагает, что все значения равновероятны, — именно это допущение страница и заменяет явными вероятностями. А к распределению обращайтесь тогда, когда исходы следуют образцу, описываемому формулой: число успехов из фиксированного числа испытаний имеет собственное среднее, а у пуассоновской величины среднее равно дисперсии, так что выписывать каждое число и его вероятность не нужно. Длинная серия — та рамка, в которой все эти числа имеют смысл: ожидаемое значение есть то, к чему сходится среднее при многократном повторении, а не прогноз следующего раза. В теории вероятностей математическое ожидание — это ровно это число, и записывают его как E[X].

1. Пять исходов с неравными шансами

   1. Умножим каждый исход на его вероятность как долю: 5 × 0,10 = 0,5, 10 × 0,20 = 2, 20 × 0,30 = 6, 40 × 0,25 = 10, 100 × 0,15 = 15
   2. Сложим пять произведений: 0,5 + 2 + 6 + 10 + 15 = 33,5 — это и есть ожидаемое значение
   3. Для дисперсии вычтем 33,5 из каждого исхода, возведём в квадрат и взвесим: 0,10 × 812,25 + 0,20 × 552,25 + 0,30 × 182,25 + 0,25 × 42,25 + 0,15 × 4422,25 = 920,25
   4. Квадратный корень из 920,25 равен 30,3356 — это стандартное отклонение

   Вероятности вводятся в процентах, и это здесь самое простое, что можно сделать неправильно: если прочитать 10 как долю, а не как десять процентов, получится 3,35 вместо 33,5, и в неверном ответе не будет ничего, что выглядело бы неверно. На разброс тоже стоит взглянуть второй раз: стандартное отклонение 30,34 при ожидаемом значении 33,5 означает, что основную работу делает исход 100 — маловероятный при своих 15 %, — и дисперсия 920,25 говорит то же самое в квадратных единицах.

2. Честный кубик, где ответ не может выпасть

   1. Шесть исходов, у каждого вероятность 16,67 % — у последнего стоит 16,65 %, чтобы шесть в сумме дали ровно 100
   2. Каждое произведение идёт от 1 × 0,1667 до 6 × 0,1667, и в сумме они дают 3,4995
   3. Дисперсия — это средний квадрат расстояния от 3,4995, что составляет 2,916
   4. Квадратный корень из 2,916 равен 1,7076

   Это тот пример, который стоит держать в голове, когда ожидаемое значение кажется невозможным: 3,5 — правильный ответ для шестигранного кубика, и ни одна грань его не показывает. Ожидаемое значение — свойство всего распределения, а не предсказание одного броска. Это и самый чистый случай, когда стандартное отклонение оправдывает себя: 1,7076 измеряется в очках, то есть в тех же единицах, что и исходы, поэтому фраза «бросок в среднем отстоит от 3,5 примерно на 1,7» — это фраза, с которой можно что-то делать, тогда как дисперсия 2,916 выражена в квадратных очках.

3. Страховая выплата и отрицательное ожидаемое значение

   1. Два исхода: ничего не происходит — или происходит и стоит 5000, что записывается как −5000
   2. Взвесим их: 0 × 0,97 + (−5000) × 0,03 = −150
   3. Дисперсия равна 0,97 × (0 + 150)² + 0,03 × (−5000 + 150)² = 727 500
   4. Её квадратный корень равен 852,9361

   Отрицательное ожидаемое значение — не ошибка и не повод избегать расчёта, это ответ на настоящий вопрос, причём самый частый из тех, с которыми сюда приходят: если у события есть 3 % шанс стоить 5000, то в среднем каждый период стоит 150, а взнос выше 150 — это цена того, чтобы не нести риск самому. Заметьте, как мало стандартное отклонение 852,94 говорит само по себе: им управляет та же редкая ветвь с 3 %, поэтому оно в основном повторяет, что убыток велик и редок, а не что исходы интересно разбросаны.

4. Почему взвешенное среднее не равно простому

   1. Четыре исхода дают в сумме 160, поэтому их простое среднее равно 40
   2. Взвешенно же: 10 × 0,40 + 20 × 0,30 + 30 × 0,20 + 100 × 0,10 = 4 + 6 + 6 + 10 = 26
   3. Дисперсия равна 0,40 × 256 + 0,30 × 36 + 0,20 × 16 + 0,10 × 5476 = 664
   4. Её квадратный корень равен 25,7682

   Эти два числа расходятся более чем на треть, и причина целиком в вероятностях: большой исход 100 несёт всего 10 % веса, тогда как малые исходы 10 и 20 несут на двоих 70 %. Всякий раз, когда кто-то называет среднее, не говоря, взвешенное ли оно, за этим словом прячется именно такой разрыв. Поэтому же вероятность 0 — осмысленная запись, а не пустая: этот исход всё равно занимает своё место в списке и не вносит ничего, и в этом разница между «невозможно» и «о нём не спрашивали».

Три вещи на этой странице легко понять неправильно, и все три касаются входных данных, а не арифметики. Вероятности должны давать в сумме 100 %, и страница отказывается это исправлять за вас: молчаливое перемасштабирование разделения 40/50 в 44,4/55,6 дало бы совершенно обычное на вид число, отвечающее на вопрос, которого вы не задавали. Допуск — половина последнего знака на запись, поэтому три равные доли, записанные как 33,33, принимаются при сумме 99,99, а пара 40/50 — нет. Два списка должны быть одной длины, потому что записи читаются рядом: отсутствующая вероятность — это не ноль, а рассогласование, и страница говорит об этом, вместо того чтобы тихо сопоставить не те числа. За пределами входных данных ограничения у самой трактовки. Ожидаемое значение описывает длинную серию повторений, поэтому о единичном случае оно не говорит ничего полезного, и им может управлять редкий крайний исход так, что по одному числу этого не видно, — читайте рядом стандартное отклонение или дисперсию. Оно также предполагает, что введённые вами вероятности и есть настоящие: здесь всё — арифметика над числами, которые вы подали, а точное ожидаемое значение, построенное на угаданной вероятности, есть точный ответ на другой вопрос. И наконец, таблицы распространённых ожидаемых значений на этой странице нет, потому что такая таблица не видит введённых вами исходов и вероятностей, а таблица, расходящаяся с панелью выше, была бы хуже отсутствия таблицы.

Что ожидаемое значение на самом деле мне говорит?

Оно говорит, какой исход вы увидите в среднем, если повторите одну и ту же ситуацию много раз и усредните результаты, взвесив каждый исход по тому, как часто он встречается. Для игры с таблицей выплат это цена безубыточности: ожидаемое значение −150 за раунд означает, что честная цена игры — 150, а цена ниже играет в вашу пользу. Чего оно не говорит, так это что будет дальше. Один раунд даёт один исход из списка и никогда — само среднее, поэтому положительное ожидаемое значение вполне совместимо с проигрышем каждый раз, когда вы играете несколько раундов.

Может ли ожидаемое значение быть числом, которое никогда не выпадет?

Да, и обычно так и бывает. У каждой из шести граней честного кубика вероятность 16,67 %, а ожидаемое значение равно 3,5 — грани с таким числом у кубика нет. Причина в том, что ожидаемое значение есть взвешенное среднее всего списка, а не его член: это точка равновесия распределения, а точка равновесия может оказаться в пустом месте между грузами. То же самое происходит с лотереей, где ожидаемое значение — небольшое отрицательное число, которого не может дать ни один билет.

Почему вероятности должны давать в сумме 100 %?

Потому что два списка, описывающие один и тот же набор возможностей, должны учитывать их все. Если ваши вероятности дают в сумме 90 %, значит либо в списке не хватает исхода, либо одна из вероятностей неверна, и страница не может определить, что именно, поэтому она сообщает сумму вместо догадки. Она намеренно не пересчитывает ваши числа к 100 %: деление 40 и 50 на их сумму превратило бы их в 44,4 и 55,6 и дало бы ответ на вопрос, которого вы не задавали, причём на панели не было бы ничего, что это показало бы. Допуск — половина последнего знака на запись, поэтому три равные доли, набранные как 33,33, дают в сумме 99,99 и принимаются.

Чем это отличается от среднего арифметического?

Среднее арифметическое делит на количество значений, что равносильно допущению, будто все значения равновероятны. Ожидаемое значение заменяет это допущение выбранными вами вероятностями, поэтому значение с шансом 10 % тянет результат в десять раз слабее, чем значение с шансом 100 %. Совпадают они только тогда, когда все вероятности равны: четыре исхода по 25 % дают одинаковое число и так и так. Когда они расходятся, разница целиком в весах, поэтому среднее, названное без указания, взвешенное ли оно, стоит уточнить.

Что означает отрицательное ожидаемое значение?

Оно означает, что исходы на проигрышной стороне достаточно велики или достаточно вероятны, чтобы перевесить остальные, так что повторение решения в среднем даёт убыток. Это не то же самое, что «вы будете терять»: шанс 3 % потерять 5000 против шанса 97 % не потерять ничего даёт ожидаемое значение −150, и большинство периодов не стоит вообще ничего. Что отрицательное число действительно говорит, так это сколько риск стоит в среднем, а это и есть число для сравнения со взносом, ценой или страховой котировкой. Это та область, где расчёт чаще всего и полезен, и отрицательный ответ там — результат, а не неудача.

Почему на этой странице нет таблицы ожидаемых значений?

Потому что ответ целиком зависит от двух списков, которые вы вводите, а справочная таблица их не видит. Таблица, которую хотят видеть, — это короткий список знакомых случаев: кубик, лотерейный билет, ставка в рулетке, — но у каждого из них свои исходы и свои вероятности, поэтому напечатанная строка отвечала бы на другой вопрос, нежели панель, и иногда эти двое расходились бы публично. Панель и есть таблица: измените исходы и вероятности — и те же три строки пересчитаются. Фиксированная таблица по-настоящему полезна там, где она не зависит от входных данных, — например, шкала оценок или набор пороговых диапазонов.

• Measures of the Center of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.5 (the mean as the balance point of a list of values, and how a single extreme value moves it — the reason an expected value can sit far from every outcome on the list) — OpenStax, Rice University
• Measures of the Spread of the Data — OpenStax, Introductory Statistics 2e, section 2.7 (states that the variance is the average of the squares of the deviations, which is the quantity this page weights by the probabilities instead of counting equally) — OpenStax, Rice University
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (what it means for an outcome to have a distribution, and how probabilities are read off the outcomes it assigns them to) — National Institute of Standards and Technology (NIST)