Калькулятор критического значения

Φ(z) = 1 − α/2 T(t, df) = 1 − α/2 P(χ² > x, df) = α P(F > f, df₁, df₂) = α

α

Уровень значимости — площадь хвоста, на которой проводится граница, и та же самая величина, которую в списке выше называют доверительным уровнем. Эти два словаря разделяет одно вычитание: доверительный уровень 95 % — это α = 0,05, уровень 99 % — это α = 0,01. Разница существенна: странице нужно знать, лежат ли эти 5 % в одном хвосте или поделены между двумя, а видно это только в записи через α

Φ⁻¹

Обратная функция стандартного нормального распределения — та же кривая, с которой читают таблицу z, только в обратную сторону. Таблица даёт площадь по заданному z, а критическое значение — это z по заданной площади, и именно поэтому ответ приходится получать приближением, а не арифметикой

df

Степени свободы — параметр формы распределений t и хи-квадрат: степени свободы задают, насколько тяжёлыми будут хвосты. Именно из-за них один и тот же доверительный уровень даёт разные ответы на разных страницах: при 95 % и двух сторонах граница равна 12,7062 при одной степени свободы, 2,2281 при десяти и 1,9600, когда выборка становится настолько большой, что t и нормальное распределение уже неразличимы

df₁, df₂

Две степени свободы распределения F — числителя и знаменателя. Критерий F сравнивает две дисперсии или сразу несколько средних групп, поэтому ему нужны обе, и второе поле на странице читается только в этом режиме. Ввести их в обратном порядке — частая ошибка, и ответ получается другим

хвосты

С какой стороны распределения стоит граница. Два хвоста делят α пополам и кладут по α/2 на каждый конец, поэтому двустороннее z для 95 % равно 1,9600, а одностороннее z для тех же 95 % — 1,6449: уверенность та же, планка ниже, потому что все 5 % теперь с одной стороны. У хи-квадрата и F двустороннего прочтения нет вовсе: эти распределения скошены, поэтому нижняя граница — совершенно отдельное число, а не минус верхняя

Берите эту страницу, когда есть доверительный уровень или уровень значимости и нужно критическое значение, чтобы сравнить с ним статистику критерия: закончить расчёт вручную, проверить, что подставила программа, или посмотреть, как далеко уезжает планка при изменении объёма выборки. Здесь же разбирается и самая частая путаница в этой области: 1,96 и 1,645 — это не два соглашения об одном критерии, а двусторонняя и односторонняя границы на уровне 5 %, и выбор между ними решает, назвала ли гипотеза направление до того, как увидели данные. Читается страница и в обратную сторону: статистика 2,3 рядом с границей 2,2281 значима на 5 % при двух сторонах, а рядом с 2,5706 при пяти степенях свободы — уже нет. Чего страница не решает, так это какое распределение вам вообще нужно: распределение Стьюдента берут, когда стандартное отклонение оценили по той же выборке, z — когда оно известно заранее, хи-квадрат — для частот и дисперсий, F — для отношения дисперсий. Выбор остаётся за вами, а разделы ниже разбирают те места, где ошибиться проще всего.

1. По умолчанию: двусторонняя граница z для 95 %

   1. Доверительный уровень 95 % — это α = 0,05
   2. Две стороны означают по 0,025 в каждой, поэтому верхняя граница там, где под стандартной нормальной кривой остаётся 0,975
   3. Φ⁻¹(0,975) = 1,9600
   4. Нижняя граница — её зеркальное отражение в −1,9600, поэтому двусторонний критерий и сравнивает |z| с одним этим числом

   Это самое цитируемое число в статистике и правильное место для начала: его можно сверить с памятью, прежде чем доверять остальному на странице. Обратите внимание, что двустороннее прочтение делает с задачей: оно ищет z, выше которого остаётся половина от 5 %, а не все 5 %, и это деление пополам и есть вся разница между 1,9600 и 1,6449. Оба поля для степеней свободы на экране и в этом режиме не используются: у критерия z степеней свободы нет, и страница говорит об этом тем, что не читает их, а не тем, что гасит их.

2. Те же 95 %, но стандартное отклонение взято из выборки

   1. Тот же доверительный уровень и то же число сторон, значит то же α/2 = 0,025
   2. Распределение меняется с нормального на распределение Стьюдента с 10 степенями свободы, у которого хвосты тяжелее
   3. T⁻¹(0,975, 10) = 2,2281
   4. Та же граница при пяти степенях свободы была бы 2,5706, а при 50 — 2,0086: она спускается к 1,9600 по мере роста выборки

   Разрыв между 1,9600 и 2,2281 — это цена незнания стандартного отклонения совокупности, и именно из-за него два распределения держат врозь, а не считают взаимозаменяемыми. Это не мелкая поправка: статистика 2,1 проходит планку z и не проходит планку t при десяти степенях свободы. Три значения t, названные здесь — 2,5706, 2,2281 и 2,0086, — это один и тот же расчёт при трёх разных степенях свободы, и читать их подряд самый наглядный способ увидеть, что t не другое правило, а то же правило с надбавкой, которая тает.

3. У границы хи-квадрата нет двустороннего варианта

   1. Хи-квадрат — это сумма квадратов, поэтому он никогда не отрицателен, а его кривая скошена вправо
   2. Критерий спрашивает, не слишком ли велико наблюдённое отклонение, поэтому граница верхняя: там, где под кривой остаётся 0,95
   3. P(χ² > x, df = 3) = 0,05 даёт x = 7,8147
   4. Выбор двух сторон здесь отклоняется, а не приближается

   Запрос двустороннего хи-квадрата — единственный ввод, который страница отклоняет, и отказ здесь самое содержательное. На симметричном распределении две границы являются минус-отражениями друг друга, поэтому одно число обслуживает оба конца. На скошенном они никак не связаны: верхняя точка 5 % у хи-квадрата с тремя степенями свободы равна 7,8147, а нижняя — 0,3518. Напечатать любую из них как «двустороннее критическое значение» было бы тихой ошибкой, поэтому страница останавливается. Нижнюю границу можно запросить отдельно, и именно её используют критерии согласия, отвергающие гипотезу при слишком малом разбросе.

4. Нижняя граница — не минус верхняя

   1. Статистика F — это отношение дисперсий, поэтому, как и хи-квадрат, она не бывает отрицательной, а её кривая скошена
   2. Верхняя граница 5 % при 10 и 20 степенях свободы равна 2,3479
   3. Нижняя граница 5 % — это значение, под которым остаётся 0,05: 0,3605
   4. Эти два числа не связаны знаком минус — это две независимые точки на одной и той же скошенной кривой

   Эта пара и есть причина, по которой страница спрашивает про хвост даже у несимметричных распределений. Поскольку F — отношение, его нижний хвост принадлежит необычно малым отношениям, а на них и смотрит критерий равенства дисперсий, когда вторая группа оказывается более изменчивой. Тождество F(1−α, df₁, df₂) = 1 / F(α, df₂, df₁) — это способ, которым такие границы когда-то читали по единственной таблице, напечатанной только для верхнего хвоста, и ровно эту арифметику страница и делает за вас.

Страница возвращает границу и на этом останавливается. Она ничего с ней не сравнивает, потому что сравнивать не с чем: статистика критерия берётся из данных, которых страница не видит. Это разделение сделано намеренно, и оно же объясняет, почему страница просит назвать распределение, а не угадывает его: критическое значение осмысленно только тогда, когда известно, какая величина с ним сравнивается, а арифметика не отличит z от t. Второе, чего страница не делает, — не проверяет здравость степеней свободы. При одной степени свободы t даёт совершенно правильный ответ 12,7062, и на исследовании из пяти человек этот ответ почти бесполезен: граница широка потому, что оценка стандартного отклонения опирается на одну-единственную степень свободы. Отличить намеренную проверку на прочность от ошибки по входным данным невозможно, поэтому число возвращается в обоих случаях. И последнее: все четыре распределения предполагают независимые наблюдения, а для F — ещё и нормальность сравниваемых совокупностей; критическое значение, посчитанное правильно, но не по тому распределению, всё равно даёт не ту планку.

Чем критическое значение отличается от p-значения?

Это один и тот же факт, прочитанный с двух концов. Критическое значение отталкивается от выбранного уровня значимости и возвращает границу; p-значение отталкивается от наблюдённой статистики и возвращает площадь хвоста за ней. Одно обратно другому, поэтому сравнение статистики с границей и сравнение p-значения с α всегда дают один и тот же вердикт — оттого программа и может напечатать любое из двух. Разница практическая: граница фиксируется до того, как увидели данные, и одинакова для всех исследований на этом уровне, а p-значение принадлежит конкретной выборке и заранее его не назовёшь. Эта страница про границу, а соседняя — про p-значение.

Что использовать — 1,96 или 1,645?

Это вопрос о хвостах, а не о соглашениях. 1,9600 — двусторонняя граница на уровне 5 %, а 1,6449 — односторонняя на том же уровне: первая делит 5 % между двумя концами, вторая кладёт всё сверху. Берите двустороннее значение, если направление не было задано до сбора данных: односторонний критерий покупает низкую планку ценой возможности заметить различие в другую сторону. В таблице выше это видно прямо: у каждого α есть оба прочтения, а односторонний столбец при α — это двусторонний столбец при 2α.

Какое распределение выбрать?

Оно следует из того, как получено стандартное отклонение, и из того, что с чем сравнивают. Берите z, когда стандартное отклонение — известная постоянная, а не оценка; сюда же попадают большие выборки, где оценка достаточно устойчива. Берите t, когда стандартное отклонение посчитано по той же выборке, что и среднее, — это обычная ситуация, и потому t встречается на практике куда чаще. Берите хи-квадрат для частот и дисперсий: согласие, независимость в таблице сопряжённости, доверительный интервал для дисперсии. Берите F, когда статистика — отношение двух дисперсий или когда сразу несколько средних групп сравнивают в дисперсионном анализе. По вашим числам страница этого не определит, поэтому выбор здесь поле, а не автоматический шаг.

Почему нельзя запросить двустороннее критическое значение для хи-квадрата или F?

Потому что эти распределения скошены, и их хвосты не зеркальны. На нормальной кривой и на кривой t нижняя граница в точности минус верхняя, поэтому одно число описывает оба конца и вопрос о двух сторонах осмыслен. Хи-квадрат и F начинаются от нуля и уходят вправо, поэтому верхняя и нижняя границы здесь два несвязанных числа: у хи-квадрата с тремя степенями свободы верхняя точка 5 % равна 7,8147, а нижняя — 0,3518. Напечатать любую из них как двусторонний ответ значило бы выдать тихо неверное число, поэтому страница такую комбинацию отклоняет и спрашивает, какой хвост имелся в виду.

Почему критическое значение меняется при изменении степеней свободы?

Потому что степени свободы задают форму распределений t, хи-квадрат и F, а граница — это положение на этой форме. Малые выборки дают более широкое t: при 95 % и двух сторонах граница равна 12,7062 при одной степени свободы, 2,2281 при десяти и 2,0086 при пятидесяти, приближаясь к 1,9600 по мере роста степеней свободы. Это сближение не совпадение: t получается, когда нормальную величину делят на оценённый разброс, а оценка перестаёт добавлять неопределённость, когда выборка становится большой. Тот же механизм сдвигает границы хи-квадрата и F вместе с их степенями свободы, поэтому ни ту, ни другую нельзя свести в таблицу так, как сводят нормальную.

Критическое значение и доверительный интервал — это одно и то же?

Нет, хотя интервал из него и строится. Ширина интервала — это критическое значение, умноженное на стандартную ошибку, поэтому граница здесь один из двух множителей, а разброс данных — второй. Из этого разделения труда и следует, что страница может ответить вообще без данных: граница зависит только от доверительного уровня и степеней свободы, а интервалу нужна ещё и выборка. Отсюда же и то, почему два исследования с одним доверительным уровнем имеют разные интервалы: критическое значение у них общее, а стандартная ошибка разная. Если нужен сам интервал, а не множитель, — это на страницу доверительного интервала, где входными данными служат среднее и разброс.

• 1.3.6.7.1. Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the cumulative function whose inverse the z boundary is, and the table it is normally read from) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 6.2 Using the Normal Distribution — Introductory Statistics 2e (how the middle of the curve is cut off at a stated confidence level, and what the two tail areas add up to) — OpenStax (Rice University)
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (a test statistic as a quantity with its own distribution, which is what makes a boundary on that distribution mean anything) — National Institute of Standards and Technology (NIST)