Генератор подбрасывания монеты

heads = сколько H встречается в последовательности · tails = flips − heads · longest run = самый длинный блок одинаковых исходов · split chance = C(n, heads) / 2ⁿ

flips

Сколько раз подбрасывать монету. В последовательности на каждый бросок приходится один H или T, и все остальные выходные значения считаются ровно по этому числу бросков

seed

Какую последовательность взять из генератора. Одно и то же случайное зерно всегда даёт одних и тех же орлов и тех же решек, поэтому прогон можно повторить в точности; ни одну из сторон оно вероятнее не делает

H

Орёл, одна из двух равновероятных сторон. Последовательность печатает H и T, а не слова, потому что эти буквы — нотация, которой пользуется вся остальная страница, и они одинаковы в любом языке

T

Решка, вторая сторона. У честной монеты нет памяти, поэтому серия одной стороны — совпадение в последовательности, а не наклон монеты в какую-либо сторону

split chance

Вероятность такого распределения: шанс, что честная монета даст ровно столько орлов за столько бросков. Это вероятность именно такого разделения, и это другой вопрос, нежели доля, которая фактически выпала

Берите его, когда хочется увидеть серию бросков без монеты или когда последовательность орлов и решек нужно посчитать, а не оценить на глаз. Самая длинная серия — та часть, которую нельзя прочитать по последовательности глазами, и одновременно та, которую чаще всего оценивают неверно: серия из семи на двести бросков обычна и не доказывает, что монета нечестная. Вероятность такого распределения отвечает на смежный вопрос: не какую долю орлов дал этот прогон, а насколько вероятно было честной монете дать такое разделение вообще. Страница не проверяет монету на честность; она предполагает её честной и показывает, как честность выглядит.

1. Десять бросков: семь орлов, три решки, самая длинная серия — три

   1. Вытянем десять результатов из генератора: H, T, H, H, H, T, H, H, T, H
   2. Сосчитаем H: их 7, значит решек 10 − 7 = 3
   3. Доля орлов равна 7 / 10 = 70 %
   4. Пройдём последовательность один раз в поисках самого длинного блока одной стороны: HHH на позициях с 3 по 5 и ещё H H на 7–8, — самый длинный равен 3
   5. Вероятность ровно 7 орлов за 10 честных бросков равна C(10,7) / 2¹⁰ = 120 / 1024 = 11,72 %

   Прочитайте два последних числа рядом — именно на этой паре страницу чаще всего понимают неправильно. 70 % — это то, что выпало в этот раз; 11,72 % — то, как часто честная монета даёт разделение 7–3 вообще. Одно другому не противоречит, и 70 % не является пересказом 11,72 %: первое описывает этот прогон, второе — всё семейство прогонов по десять бросков, в которых семь орлов.

2. Те же десять бросков с другим зерном: пять и пять

   1. Зерно 7 вытягивает другую последовательность: T, T, H, H, H, T, T, T, H, H
   2. Пять орлов и пять решек, значит доля орлов равна 50 %
   3. Самый длинный блок снова равен 3: TTT на позициях с 6 по 8 и HHH на 3–5
   4. Разделение 5–5 имеет вероятность C(10,5) / 2¹⁰ = 252 / 1024 = 24,61 %

   Оба прогона дали самый длинный блок, равный 3, и при десяти бросках это обычный исход, а не совпадение, в которое стоит вчитываться. Изменилось другое — вероятность такого распределения: 5–5 более чем вдвое вероятнее, чем 7–3, потому что пять орлов можно расставить по десяти позициям куда большим числом способов, чем семь. Поэтому зерно и является полем, а не скрытой деталью: одно и то же нажатие не должно молча давать другой ответ, а прогон, о котором стоит говорить, должен повторяться.

3. Один бросок, нижняя граница

   1. Вытянем единственный результат: H
   2. Один орёл, ни одной решки, значит доля орлов равна 1 / 1 = 100 %
   3. Самый длинный блок одинаковых исходов — это сам единственный бросок, то есть 1
   4. Вероятность одного орла за один честный бросок равна C(1,1) / 2¹ = 1/2, или 50 %

   Один бросок — наименьший допустимый вход на этой странице, и он показывает, почему доля орлов и вероятность такого распределения обязаны быть отдельными строками. Один бросок падает одной стороной, поэтому доля равна 100 % — числу, которое о монете не говорит ничего. Вероятность такого распределения равна 50 %, и вот она говорит. При одном броске две строки выглядят почти противоречивыми; при двухстах они сходятся, а весь разрыв между ними при малых числах и есть предмет статистики выборки.

4. Двести бросков и серия из девяти

   1. Вытянем двести результатов из генератора — в строке последовательности лежат все они
   2. Сосчитаем орлов: 95, значит решек 200 − 95 = 105
   3. Доля орлов равна 95 / 200 = 47,5 %, то есть отличается от равного деления на 2,5 пункта
   4. Самый длинный блок одной стороны равен 9 — девять одинаковых исходов подряд
   5. Вероятность ровно 95 орлов за 200 честных бросков равна примерно 4,39 %

   Серия из девяти — то число, над которым стоит задержаться. Люди читают её как доказательство, что с монетой что-то не так, а на двухстах честных бросках она ничем не примечательна: самый длинный блок растёт вместе с длиной последовательности — медленно, но без потолка. Заметьте и то, куда тянут две строки: доля орлов комфортно равна 47,5 %, достаточно близко к равному делению, чтобы выглядеть правильно, а вероятность такого распределения всего 4,39 %, потому что попадание ровно в 95 — один конкретный исход среди многих, которые на вид примерно одинаковы.

Броски не физические. Каждый из них вытягивается из генератора со случайным зерном, поэтому страница показывает последовательность, которая ведёт себя как честная монета, а не запись настоящей, — и одно и то же зерно даёт одну и ту же последовательность каждый раз, в чём и смысл этого поля, и его ограничение. Стоит назвать ещё три ограничения. Первое: страница никогда не проверяет монету на честность; она предполагает вероятность одной второй на каждом броске и сообщает следствия, поэтому по-настоящему нечестная монета дала бы последовательность, которую страница всё равно описала бы как честную. Второе: двести бросков — это предел, унаследованный от ограничения выборки общего случайного ядра, а не выбранный для этой страницы, и при двухстах строка последовательности достаточно длинная, чтобы переноситься на несколько строк. Третье: страница показывает результат, но не судит о нём — самая длинная серия из девяти или доля орлов в 70 % печатаются без комментария о том, удивительно ли это, и судить предлагается, читая рядом вероятность такого распределения.

Почему одно и то же зерно всегда даёт одну и ту же последовательность?

Потому что броски берутся из генератора со случайным зерном, а не из настоящей монеты, и зерно решает, какая последовательность будет вытянута из его потока. Введите зерно 1 дважды — и получите одних и тех же десять орлов и решек; смените на 7 — и получите другой прогон той же длины. Это сделано намеренно: страница, которая перерисовывала бы ответ при каждом заходе, не поддавалась бы проверке, результат нельзя было бы процитировать, а автоматические тесты за ней не имели бы с чем сравнивать. Поэтому же зерно — единственный вход здесь, который не является количеством: оно выбирает последовательность, а не взвешивает стороны, так что ни одно зерно не делает орлов вероятнее.

В чём разница между долей орлов и вероятностью такого распределения?

Доля орлов описывает прогон, который перед вами; вероятность такого распределения описывает все прогоны такой длины, дающие такое разделение. Десять бросков, давшие семь орлов, дают долю 70 %, а вероятность честной монете выдать ровно семь орлов за десять бросков равна 11,72 %. Это не два способа сказать одно и то же, и они могут расходиться: при 200 бросках доля орлов может спокойно стоять около 50 %, а вероятность такого распределения быть ниже 5 %, потому что попасть в одно точное число — узкая цель, даже когда окрестность вокруг неё плотная. Читайте долю как результат, а вероятность такого распределения — как бюджет удивления.

Серия из девяти орлов подряд — признак того, что монета нечестная?

Нет, и при 200 бросках это даже не редкость. Самый длинный блок одинаковых исходов растёт вместе с длиной последовательности — медленно, но без потолка, — поэтому длинная серия это то, что честная монета рано или поздно и должна выдать. Чего честная монета не делает, так это не помнит: после восьми орлов девятый бросок всё ещё равен одной второй, и именно поэтому серии такой длины и появляются на таких длинных последовательностях. Читать серию как доказательство смещения — значит читать ту часть последовательности, которая растёт вместе с длиной, как если бы она была постоянной; строка с самой длинной серией и печатается ровно для того, чтобы эту интуицию можно было проверить, а не доверять ей.

Почему нельзя подбросить больше 200 раз?

Потому что 200 — это ограничение выборки общего случайного ядра, которое используют и эта страница, и генератор бросков кубиков, и генератор случайных чисел. Оно унаследовано, а не выбрано здесь, и его сохранение означает, что одно зерно значит одно и то же на всех трёх страницах. Следствие видно глазом: при 200 бросках строка последовательности достаточно длинная, чтобы занять несколько строк, и это прямое следствие предела, а не ошибка отрисовки. Если нужна последовательность длиннее, честный ответ таков: эта страница не тот инструмент, вам нужна программа, а не напечатанная последовательность, которую пришлось бы считать глазами.

Почему под калькулятором нет таблицы результатов?

Потому что нужная здесь таблица — это ваша собственная последовательность, а код, строящий справочные таблицы, не видит того, что вы ввели: он работает во время сборки по одной лишь структуре калькулятора, без доступа к входным данным. Таблица общих шансов и вероятностей стояла бы под панелью, выглядя ответом на ваш вопрос, а отвечала бы на другой. Поэтому страница вместо таблицы печатает саму последовательность — в последней строке панели — и оставляет таблицы тем страницам, чей предмет действительно фиксированный набор чисел, а не один прогон.

Что означают буквы H и T и почему не слова?

H — это орёл, T — решка; они печатаются по одной на бросок в том порядке, в котором выпали. Во всех языках они остаются буквами, потому что последовательность — это нотация, а не текст: один и тот же прогон должен читаться как одна и та же строка независимо от языка страницы, а переведённую последовательность ещё и нельзя было бы сравнить с числами рядом. Эта строка существует для того, чтобы счёт, долю и особенно самую длинную серию можно было проверить вручную: самую длинную серию по последовательности иначе никак не прочитать.

• Coin Tossing — from Wolfram MathWorld (the idealised coin: two sides with equal probability, written H and T) — Wolfram MathWorld
• Run — from Wolfram MathWorld (a run as a sequence of consecutive identical outcomes, and the probability that a run of a given length appears in a given number of tosses) — Wolfram MathWorld
• 3.1 Terminology — Introductory Statistics 2e (the law of large numbers: the relative frequency of heads on a fair coin approaches one half as the number of tosses grows) — OpenStax (Rice University)