Calculadora de valor crítico

Φ(z) = 1 − α/2 T(t, df) = 1 − α/2 P(χ² > x, df) = α P(F > f, df₁, df₂) = α

α

O nível de significância — a área de cauda em que a fronteira é traçada, e a mesma grandeza que o seletor acima chama de nível de confiança. Os dois vocabulários estão a uma subtração de distância: um nível de confiança de 95% é α = 0,05, e um nível de 99% é α = 0,01. A distinção importa, porque a página precisa saber se esses 5% ficam em uma cauda ou são divididos entre duas, e só a leitura em α deixa isso visível

Φ⁻¹

A inversa da função de distribuição acumulada normal padrão — a mesma curva de onde a tabela z é lida, percorrida ao contrário. A tabela dá uma área para um z dado; um valor crítico é o z para uma área dada, que é exatamente por que a resposta tem de vir de uma aproximação e não de aritmética

df

Os graus de liberdade — o parâmetro de forma das distribuições t e qui-quadrado. É ele que faz o mesmo nível de confiança dar respostas diferentes em páginas diferentes: a 95% e duas caudas a fronteira é 12,7062 com um grau de liberdade, 2,2281 com dez, e 1,9600 quando a amostra já é grande o bastante para a t e a normal serem indistinguíveis

df₁, df₂

Os dois graus de liberdade da distribuição F — o do numerador e o do denominador. Um teste F compara duas variâncias ou várias médias de grupo ao mesmo tempo, então precisa dos dois, e o campo Graus de liberdade do denominador (somente F) só é lido neste modo. Digitá-los na ordem trocada é um deslize comum e dá uma resposta diferente

caudas

De que lado da distribuição a fronteira fica. Duas caudas dividem α pela metade e põem α/2 em cada ponta, então o z de duas caudas a 95% é 1,9600 enquanto o de uma cauda a 95% é 1,6449 — a mesma confiança, uma barreira mais baixa, porque agora os 5% inteiros estão de um só lado. Para o qui-quadrado e para o F não existe leitura de duas caudas: essas distribuições são assimétricas, então uma fronteira inferior é um número totalmente separado em vez do negativo da superior

Use esta página quando tiver um nível de confiança ou um nível de significância e precisar do número com que comparar uma estatística de teste — para terminar uma conta à mão, para conferir o que um software usou, ou para ver o quanto a barreira se move quando o tamanho da amostra muda. É também a página que resolve a confusão mais comum da área: 1,96 e 1,6449 não são duas convenções do mesmo teste, são as fronteiras de duas caudas e de uma cauda no mesmo nível de 5%, e qual delas se aplica é decidido por a hipótese ter nomeado uma direção antes de os dados serem vistos. Lida ao contrário, a página responde à pergunta inversa também — uma estatística relatada de 2,3 ao lado de uma fronteira de 2,2281 é significativa a 5% com duas caudas, e ao lado de 2,5706 com cinco graus de liberdade não é. O que a página não decide é qual distribuição você deveria ter usado. Essa é uma pergunta sobre o estudo: um z se aplica quando o desvio padrão é uma constante conhecida, um t quando ele foi estimado a partir dos mesmos dados, o qui-quadrado a contagens e variâncias, e o F a razões de variâncias. O seletor é decisão de quem usa a página, e as perguntas frequentes abaixo explicam as partes em que é fácil errar.

1. O padrão: a fronteira z de duas caudas a 95%

   1. Um nível de confiança de 95% é α = 0,05
   2. Duas caudas significam 0,025 em cada uma, então a fronteira superior é onde a curva normal padrão deixa 0,975 abaixo de si
   3. Φ⁻¹(0,975) = 1,9600
   4. A fronteira inferior é a sua imagem espelhada em −1,9600, e é por isso que um teste de duas caudas compara |z| com este único número

   Este é o número mais citado da estatística e o lugar certo para começar, porque pode ser conferido contra a memória antes de se confiar em qualquer outra coisa na página. Repare no que a leitura de duas caudas faz com o problema: ela pede o z que deixa metade dos 5% acima dele, e não os 5% inteiros, e essa divisão por dois é toda a diferença entre 1,9600 e 1,6449. Os dois campos de graus de liberdade estão na tela e não são usados neste modo — um teste z não tem graus de liberdade, e a página diz isso por não lê-los, em vez de desativá-los.

2. Os mesmos 95%, mas o desvio padrão veio da amostra

   1. Mesmo nível de confiança e mesmo número de caudas, então o mesmo α/2 = 0,025
   2. A distribuição muda da normal para a t com 10 graus de liberdade, cujas caudas são mais pesadas
   3. T⁻¹(0,975, 10) = 2,2281
   4. A mesma fronteira com 5 graus de liberdade seria 2,5706, e com 50 é 2,0086 — ela desce em direção a 1,9600 conforme a amostra cresce

   A distância entre 1,9600 e 2,2281 é o preço de não conhecer o desvio padrão da população, e é a razão de as duas distribuições serem mantidas separadas em vez de tratadas como intercambiáveis. Não é uma correção pequena: uma estatística de 2,1 passa a barreira do z e não passa a da t com dez graus de liberdade. Os três valores de t citados aqui — 2,5706, 2,2281 e 2,0086 — são a mesma conta em três graus de liberdade, e lê-los em sequência é a maneira mais clara de ver que a t não é uma regra diferente, e sim a mesma regra com uma penalidade que se desvanece.

3. Uma fronteira de qui-quadrado não tem versão de duas caudas

   1. O qui-quadrado é uma soma de quadrados, então nunca é negativo e a sua curva é assimétrica para a direita
   2. Um teste pergunta se o desvio observado é grande demais, então a fronteira é a superior: onde a curva deixa 0,95 abaixo de si
   3. P(χ² > x, df = 3) = 0,05 dá x = 7,8147
   4. Escolher duas caudas aqui é recusado, e não aproximado

   Pedir um qui-quadrado de duas caudas é a única entrada que a página recusa, e a recusa é a parte informativa: em uma distribuição simétrica as duas fronteiras são uma o negativo da outra, então um único número serve às duas pontas. Em uma assimétrica elas são valores sem relação entre si, e o ponto superior de 5% de um qui-quadrado com 3 graus de liberdade é 7,8147 enquanto o ponto inferior de 5% é 0,3518. Imprimir qualquer um dos dois como a fronteira de duas caudas seria um erro silencioso, então a página para. A fronteira inferior está disponível a pedido e é a que os testes de aderência usam quando rejeitam por variação pequena demais.

4. A fronteira inferior não é o negativo da superior

   1. Uma estatística F é uma razão de variâncias, então, como o qui-quadrado, ela não pode ser negativa e a sua curva é assimétrica
   2. A fronteira superior de 5% com 10 e 20 graus de liberdade é 2,3479
   3. A fronteira inferior de 5% é o valor que deixa 0,05 abaixo de si: 0,3605
   4. As duas não mantêm uma relação de sinal — são dois pontos independentes da mesma curva assimétrica

   Este par é a razão de a página pedir uma cauda mesmo nas distribuições assimétricas. Como o F é uma razão, a sua cauda inferior pertence às razões incomumente pequenas — que é justamente o que um teste de igualdade de variâncias observa quando o segundo grupo acaba sendo o mais variável. A identidade recíproca F(1−α, df₁, df₂) = 1 / F(α, df₂, df₁) é como esses valores eram lidos antigamente em uma única tabela impressa só para a cauda superior, que é exatamente a aritmética que a página faz por você.

A página devolve uma fronteira e para por aí. Ela não compara nada com essa fronteira, porque não tem o que comparar — a estatística de teste vem de dados que a página nunca vê. Essa separação é deliberada e é também a razão de a página pedir que você nomeie uma distribuição em vez de deduzi-la: uma fronteira só significa alguma coisa depois que se sabe qual grandeza está sendo medida contra ela, e a aritmética não distingue um z de um t. A segunda coisa que ela não faz é avaliar os graus de liberdade com bom senso. Uma t com um grau de liberdade dá uma resposta perfeitamente correta de 12,7062, e em um estudo com cinco pessoas essa resposta também é quase inútil — a fronteira é larga porque a estimativa do desvio padrão repousa sobre um único grau de liberdade. Nada no fluxo de entrada distingue um teste de estresse deliberado de um engano, então o número é devolvido nos dois casos. Por fim, as quatro distribuições supõem observações independentes e, no caso do F, que as populações de origem são normais; um valor crítico calculado corretamente a partir da distribuição errada continua sendo a barreira errada a cruzar.

Qual é a diferença entre um valor crítico e um valor p?

São o mesmo fato lido pelas duas pontas. Um valor crítico parte do nível de significância que você escolheu e devolve a fronteira; um valor p parte da estatística que você observou e devolve a área de cauda além dela. Como os dois são inversos, comparar uma estatística com uma fronteira e comparar um valor p com α dão sempre o mesmo veredito — e é por isso que um software pode relatar qualquer um dos dois. A diferença prática está em quando a escolha é feita: um valor crítico é fixado antes de os dados serem vistos e é o mesmo para todo estudo rodado naquele nível, enquanto um valor p é propriedade da amostra particular e não pode ser citado de antemão. Esta página é a metade da fronteira; a página de valor p é a outra.

Devo usar 1,96 ou 1,6449?

Essa é uma pergunta sobre caudas, não sobre convenções. 1,9600 é a fronteira de duas caudas no nível de 5% e 1,6449 é a de uma cauda no mesmo nível — a primeira divide os 5% entre as duas pontas, a segunda põe todos eles acima. Use o valor de duas caudas, a menos que uma direção tenha sido especificada antes da coleta dos dados, porque um teste de uma cauda compra uma barreira mais baixa abrindo mão da capacidade de detectar uma diferença no outro sentido. A tabela acima mostra o padrão diretamente: cada α tem as duas leituras, e a coluna de uma cauda em um α é a coluna de duas caudas no α dobrado.

Qual distribuição devo escolher?

Isso decorre de como o desvio padrão foi obtido e do que está sendo comparado. Use z quando o desvio padrão for uma constante conhecida e não algo estimado — incluindo os casos de amostra grande, em que a estimativa é estável o suficiente para não importar. Use t quando o desvio padrão vier da mesma amostra da média, que é a situação usual e a razão de a t ser bem mais comum na prática. Use qui-quadrado para contagens e variâncias: aderência, independência em uma tabela de contingência, um intervalo de confiança para uma variância. Use F quando a estatística for uma razão de duas variâncias, ou quando várias médias de grupo forem comparadas ao mesmo tempo em uma análise de variância. A página não consegue deduzir isso dos seus números, e é por isso que a escolha é um campo e não um passo automático.

Por que não posso pedir um valor crítico de duas caudas para qui-quadrado ou F?

Porque essas distribuições são assimétricas e as duas caudas não são imagens espelhadas uma da outra. Em uma curva normal ou t a fronteira inferior é exatamente o negativo da superior, então um único número descreve as duas pontas e pedir duas caudas é uma coisa bem definida. O qui-quadrado e o F começam em zero e se estendem para a direita, então as fronteiras superior e inferior são dois valores sem relação — para um qui-quadrado com 3 graus de liberdade o ponto superior de 5% é 7,8147 e o ponto inferior de 5% é 0,3518. Relatar qualquer um dos dois como a resposta de duas caudas seria um número silenciosamente errado, então a página recusa a combinação e pergunta qual cauda você quis dizer.

Por que o valor crítico muda quando eu mudo os graus de liberdade?

Porque os graus de liberdade definem a forma das distribuições t, qui-quadrado e F, e uma fronteira é uma posição sobre essa forma. Amostras pequenas dão uma t mais larga: a 95% e duas caudas a fronteira é 12,7062 com um grau de liberdade, 2,2281 com dez e 2,0086 com cinquenta, aproximando-se de 1,9600 conforme os graus de liberdade crescem. Essa convergência não é coincidência — a t é o que se obtém quando se divide uma normal por uma dispersão estimada, e a estimativa para de acrescentar incerteza quando a amostra é grande. O mesmo mecanismo faz as fronteiras do qui-quadrado e do F se moverem com os seus graus de liberdade, e é por isso que nenhuma das duas pode ser tabelada como a normal.

Um valor crítico é a mesma coisa que o intervalo de confiança?

Não, embora o intervalo de confiança seja construído a partir dele. A largura de um intervalo é o valor crítico multiplicado por um erro padrão, então a fronteira é um dos dois ingredientes e a dispersão dos dados é o outro. Essa divisão de trabalho é o que permite a esta página responder sem dado nenhum: a fronteira depende só do nível de confiança e dos graus de liberdade, enquanto o intervalo precisa também da amostra. Ela explica ainda por que dois estudos com o mesmo nível de confiança têm intervalos diferentes — eles compartilham o valor crítico e diferem no erro padrão. Se você quer o intervalo em si e não o multiplicador, a página de intervalo de confiança é a que tem a média e a dispersão como entradas.

• 1.3.6.7.1. Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the cumulative function whose inverse the z boundary is, and the table it is normally read from) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 6.2 Using the Normal Distribution — Introductory Statistics 2e (how the middle of the curve is cut off at a stated confidence level, and what the two tail areas add up to) — OpenStax (Rice University)
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (a test statistic as a quantity with its own distribution, which is what makes a boundary on that distribution mean anything) — National Institute of Standards and Technology (NIST)