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z점수 계산기

계산 결과

1.00표준편차 1개 이내

z점수

평균과의 거리
10.00

z점수는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 위나 아래에 있는지를 말해 줍니다. 그래서 눈금이 다른 값들을 나란히 놓고 견줄 수 있게 됩니다. 시험 점수도, 측정값도, 계측기가 뱉은 눈금도 이 자리에 올려놓으면 숫자 하나가 됩니다. 값과 그 값이 속한 집단의 평균, 그리고 그 집단의 표준편차를 넣으면 이 계산기가 평균을 빼고 표준편차로 나눈 뒤, z점수와 평균에서의 거리를 함께 보여 줍니다. 그 값이 어느 구간에 드는지도 알려 주며, 평범한 쪽부터 이상치 후보까지 네 단계로 나눠 짚어 줍니다.

네 구간과 그 크기의 z점수가 뜻하는 것

|z| 범위이렇게 읽습니다
|z| ≤ 1흔합니다. 정규분포라면 값의 약 68%가 평균에서 이만큼 안에 들어옵니다.
1 < |z| ≤ 2아직 평범합니다. 정규분포의 약 95%가 표준편차 두 개 안에 있으므로, 가운데에서 멀찍이 떨어진 값은 대개 여기에 옵니다.
2 < |z| ≤ 3드뭅니다. 정규분포의 약 5%가 이만큼 밖에 있고 그보다 더 나가는 값은 0.3%쯤뿐입니다. 측정값 자체를 한 번 살펴볼 만합니다.
|z| > 3정규분포에서는 드물어서 이상치 후보가 됩니다. 믿기 전에 측정값을 확인하세요. 표 아래 주의사항에서 작은 표본의 함정도 함께 보세요.

이 구간들은 경험 규칙, 즉 68-95-99.7 규칙을 곡선 아래의 넓이가 아니라 z점수의 범위로 다시 적은 것입니다. 쓰기 전에 두 가지를 짚어 둡니다. 백분율은 정규분포의 성질입니다. z점수는 모양이 어떻든 모든 데이터에 대해 정의되지만, 위의 비율들은 정규분포만을 설명합니다. 그래서 꼬리가 긴 데이터는 전혀 드물지 않은 값에도 큰 z점수를 붙여 줍니다. 그리고 경계는 위쪽이 닫혀 있습니다. 평균에서 정확히 표준편차 세 개만큼 떨어진 값은 세 번째 구간 안쪽으로 세어지는데, 규칙이 말하는 것이 세 개를 넘어선 값이기 때문입니다. 계산기도 같은 경계를 쓰므로, 결과 옆의 배지와 이 표가 어긋날 수 없습니다.

공식

z = (x − μ) ÷ σ

x
자리를 잡으려는 값, 즉 눈금 위에 올려놓고 싶은 측정값이나 점수, 계기 판독값입니다
μ
그 값이 속한 집단의 평균입니다. 이 뺄셈이 절대적인 값을 가운데로부터의 거리로 바꿔 줍니다
σ
같은 집단의 표준편차입니다. 이것으로 나누는 것이 답을 눈금 사이에서 견줄 수 있게 만듭니다. z점수 1.5는 데이터가 점수였든 밀리미터였든 같은 뜻입니다. 0보다 커야 합니다
x − μ
평균에서의 거리이고, 절댓값으로 따로 인쇄됩니다. 눈금이 바뀌기 전에 그 간격을 원래 단위로 읽을 수 있게 하기 위해서입니다
z
z점수입니다. 값이 평균보다 아래면 음수, 위면 양수입니다. 부호가 방향을 나르고 크기가 그 값이 얼마나 드문지를 나릅니다

눈금이 다른 값들을 견주어야 할 때마다 씁니다. 이 측도가 존재하는 이유가 그것입니다. 평균이 75인 반에서의 85점과 평균이 90인 반에서의 85점은 같은 성취가 아니고, z점수는 그 차이를 곧바로 말해 줍니다. 하나의 판독값을 참조 집단 위에 놓는 표준적인 방법이기도 하고, 대부분의 이상치 규칙에서 첫 단계이기도 합니다. 평균과 표준편차가 아니라 날 데이터를 갖고 있다면 표준편차 페이지에서 그 둘을 먼저 구해 오세요. 이 페이지는 그것을 대신 추정해 주지 않습니다. 구간 라벨이 무슨 뜻인지도 염두에 두세요. 그 뒤에 있는 백분율은 경험 규칙, 즉 68-95-99.7 규칙에서 나오고 그 규칙은 정규분포를 설명합니다. 어떤 값이든 z점수는 가질 수 있지만, 정규분포만이 값의 68%를 표준편차 하나 안에 담습니다.

계산 예시

  1. 반 평균보다 표준편차 하나 위인 점수

    1. 평균에서의 거리: 85 − 75 = 10점
    2. 표준편차로 나누기: 10 ÷ 10 = 1
    3. 85가 75보다 위에 있으므로 부호는 양수이고 z점수는 1

    정확히 1인 z점수는 두 번째가 아니라 첫 번째 구간에 들어갑니다. 경험 규칙은 표준편차 하나 안에 들어오는 값의 비율에 대한 진술이므로, 그 경계는 안쪽으로 세어지고 68%라는 수가 거기에 붙습니다. 10점이라는 거리와 1이라는 z점수는 같은 사실이고, 하나는 시험의 단위로 하나는 흩어짐의 단위로 적힌 것입니다. 나눗셈이 사 주는 것이 바로 그것입니다.

  2. 정확히 표준편차 세 개만큼 떨어진 값

    1. 거리: 105 − 75 = 30
    2. 나누기: 30 ÷ 10 = 3
    3. 3에서 끝나는 구간에 들어갑니다. 규칙이 말하는 것은 표준편차 세 개를 넘어선 값이기 때문입니다

    가장 중요한 경계이고 가장 자주 틀리는 자리이기도 합니다. 평균에서 정확히 표준편차 세 개만큼 떨어진 것과 세 개를 넘어선 것은 다르고, 0.3%라는 수는 넘어선 쪽에 붙습니다. 실제로는 학술적인 구분에 가깝습니다. 진짜 측정값이 정확히 그 위에 떨어지는 일은 드물기 때문입니다. 그래도 두 구간을 가르는 차이이고, 아래 표가 각 경계가 어디에 놓이는지 적어 두었습니다.

  3. 평균 아래쪽, 부호가 뒤집히는 자리

    1. 거리: 65 − 75 = −10이므로 값은 평균보다 10점 아래에 있습니다
    2. 나누기: −10 ÷ 10 = −1
    3. z점수는 음수이고, 크기는 첫 번째 예와 같습니다. 평균에서 같은 만큼 떨어져 있기 때문입니다

    부호는 방향이고 크기는 크기입니다. 평균보다 10점 아래에 있는 값과 10점 위에 있는 값의 z점수는 −1과 +1이고, 둘은 똑같이 드뭅니다. 구간을 z의 절댓값으로 고르는 이유가 그것이고, 패널이 거리를 양수로 인쇄하는 이유도 그것입니다. 두 수를 함께 읽으세요. 부호는 어느 쪽인지를, 거리는 얼마나 먼지를 말합니다.

한계

z점수는 넣어 준 평균과 표준편차만큼만 좋습니다. 이 페이지는 둘 다 주어진 것으로 받고 확인할 방법이 없으므로, 엉뚱한 열에서 옮겨 적은 평균 하나가 아무 징후 없이 모든 답을 틀리게 만듭니다. 구간 뒤에 있는 백분율은 정규분포를 설명하는 수이고, 실제 데이터는 정규분포가 아닌 경우가 많습니다. 데이터가 한쪽으로 치우쳐 있다면 큰 z점수는 값이 이상치라는 뜻이 아니라 그 분포에 긴 꼬리가 있다는 뜻일 수 있습니다. 알아 둘 만한 작은 표본의 함정도 있습니다. NIST의 이상치 탐지 문서는 n개 값으로 이루어진 표본에서 나올 수 있는 가장 큰 z점수가 (n − 1) ÷ √n을 넘지 못한다고 짚습니다. 값이 열한 개쯤 안 되면 z점수는 3에 아예 닿을 수 없고, 표준편차 세 개를 선으로 그은 경험 규칙은 결코 울리지 않습니다. 마지막으로 표준편차는 0보다 커야 합니다. 모든 값이 똑같은 집단에는 견줄 흩어짐이 없고, 이 페이지는 답 대신 계산 실패를 알립니다.

자주 묻는 질문

z점수 공식은 무엇인가요?
z = (x − μ) ÷ σ입니다. 값에서 평균을 빼고 표준편차로 나눕니다. 평균이 75이고 표준편차가 10인 집단에서 85점을 받았다면 (85 − 75) ÷ 10 = 1입니다. 뺄셈이 값을 0을 중심으로 한 눈금 위에 올려놓고, 나눗셈이 그것을 흩어짐의 단위로 다시 재어 줍니다. 서로 다른 두 눈금을 견줄 수 있게 되는 것이 바로 그 덕분입니다.
내 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있나요?
그것이 바로 z점수가 말해 주는 것입니다. 크기가 표준편차의 개수이고, 부호가 값이 평균의 어느 쪽에 있는지를 알려 줍니다. z점수가 2.5라는 것은 평균보다 표준편차 두 개 반만큼 위에 있다는 뜻이고, −0.4는 표준편차의 10분의 4만큼 아래라는 뜻입니다. 패널이 원래 단위의 거리도 함께 인쇄하므로, 다시 잰 값 옆에서 원래 눈금의 간격을 읽을 수 있습니다.
z점수가 어느 정도면 높은 건가요?
정규분포에서는 값의 약 68%가 표준편차 하나 안에, 95%가 둘 안에, 99.7%가 셋 안에 들어옵니다. 경험 규칙입니다. 그래서 z점수 2를 넘으면 흔치 않고 3을 넘으면 드물며, 표준편차 세 개가 이상치 후보를 가르는 관례적인 선이 되는 것입니다. 다만 이 수들은 판정이 아니라 읽을거리로 다루세요. 정규분포를 설명하는 수이고, 한쪽으로 치우친 분포는 지극히 평범한 값에도 큰 z점수를 붙여 줍니다.
z점수는 백분위수와 같은 것인가요?
아닙니다. 서로 이어져 있기는 합니다. z점수는 표준편차를 단위로 한 거리이고, 백분위수는 값들을 줄 세운 목록 위의 위치입니다. 둘을 서로 바꾸려면 분포의 모양이 필요합니다. 정규분포에서는 z점수 1.645가 95번째 백분위수에 놓이지만, 그 대응은 정규분포에서만 성립합니다. z점수 자체는 아무 가정도 필요로 하지 않고, 그것이 이 페이지가 z점수를 보여 주고 백분위수는 보여 주지 않는 이유입니다.
표준편차가 0이면 어떻게 되나요?
나눌 것이 없어지므로, 이 페이지는 수 대신 계산 실패를 알립니다. 표준편차가 0이라는 것은 그 집단의 모든 값이 똑같다는 뜻이므로 어떤 값도 평균에서 떨어져 있지 않고, 질문 자체가 답을 갖지 못합니다. 무한대나 오류를 결과로 인쇄하는 것은 그렇다고 말해 주는 것보다 나쁩니다. 여기서 0으로 나누기는 뜻 있는 판독값을 만들어 내지 못하고, 이 페이지는 차라리 그 사실을 알려 주는 쪽을 택합니다.
정규분포가 아닌 데이터에도 쓸 수 있나요?
z점수 자체는 됩니다. 평균을 빼고 표준편차로 나누면 데이터의 모양이 어떻든 상대적 위치를 재는 유효한 측도가 됩니다. 조심할 부분은 구간 라벨입니다. 68-95-99.7이라는 백분율은 정규분포의 성질이고, 꼬리가 긴 데이터는 그 분포에서는 전혀 드물지 않은 값에도 3을 훌쩍 넘는 z점수를 내놓습니다. 구간은 그 값을 한 번 들여다보라는 신호로 쓰고, 판정으로 쓰지 마세요.

참고 문헌

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