파스칼 삼각형 계산기

C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k); C(n, 0) = C(n, n) = 1; 행의 합 = 2^n

n

인쇄할 줄 수이고, 맨 위의 1 하나를 0번째 줄로 셉니다. 그래서 n줄을 요청하면 0번째부터 n - 1번째 줄까지 나오고, 마지막으로 인쇄되는 줄에는 항이 n개 있습니다. 입력은 1에서 53까지이고, 이 상한은 화면 크기 때문이 아닙니다. 실제로 먼저 자리가 모자라는 양은 아래의 행의 합 항목입니다

k

줄 안에서의 자리이고 왼쪽 끝을 0으로 셉니다. n번째 줄에는 k = 0부터 k = n까지, 곧 n + 1개의 수가 있습니다. 양 끝 두 자리는 특별합니다. C(n, 0)과 C(n, n)이 모두 1이고, 그것이 삼각형의 양옆을 따라 내려가는 1의 쌍입니다. 그 사이에 있는 모든 수는 위 줄의 두 항을 더한 값입니다

C(n-1, k-1) + C(n-1, k)

전체를 만들어 내는 규칙이고 이 페이지가 따르는 규칙입니다. n번째 줄의 k번째 항은 바로 위 두 항, 곧 왼쪽 위와 오른쪽 위에 있는 수의 합입니다. 가장자리가 늘 1로 남는 것도 위에 이웃이 하나뿐이기 때문입니다. 이 페이지는 계승 공식이 아니라 이 덧셈으로 계산하므로 모든 중간값이 정확하고, 화면에 보이는 삼각형은 페이지가 실제로 수행한 덧셈을 그대로 적은 것입니다

C(n, k) = n! / (k! (n-k)!)

같은 수의 다른 얼굴입니다. 순서를 따지지 않고 n개에서 k개를 고르는 경우의 수이고, 덧셈 규칙과 같은 값을 줍니다. 삼각형을 대수가 아니라 세는 데 쓸 때 그 줄의 수들이 뜻하는 바가 이것입니다. 이 페이지는 이 식으로 계산하지 않습니다. 그러면 페이지가 가르치는 규칙과 페이지가 실제로 쓰는 규칙이 서로 어긋날 수 있기 때문입니다

2^n

n번째 줄의 합이고, 입력이 왜 그 자리에서 멈추는지를 설명하는 양입니다. 어떤 줄이든 더해 보면 언제나 2의 거듭제곱입니다. 0번째 줄은 1, 1번째 줄은 2, 2번째 줄은 4, 6번째 줄은 64입니다. 줄마다 두 배가 되기 때문에 낱개 계수보다 행의 합이 먼저 정확히 표현할 수 있는 범위를 벗어납니다. 52번째 줄의 합이 4503599627370496이고 53번째 줄의 합이 9007199254740992인데, 이 둘째 값은 컴퓨터가 정수 하나를 정확히 담는 마지막 한계를 하나 넘어선 수입니다

1, 6, 15, 20, 15, 6, 1

기본값 일곱 줄의 마지막인 6번째 줄을 그대로 적은 것입니다. 바로 위 줄과 견주어 읽으면 모든 항이 이웃 둘의 합입니다. 6은 1 + 5, 15는 5 + 10, 20은 10 + 10이고 그 뒤로는 거울처럼 대칭입니다. 줄은 언제나 가운데를 기준으로 대칭인데, 남길 k개를 고르는 것과 버릴 n - k개를 고르는 것이 같은 선택을 두 번 센 것이기 때문입니다

이항 정리를 손으로 전개할 때 가장 빠른 길이 이 삼각형입니다. (x + y)를 여섯 제곱으로 전개하려면 6번째 줄을 그대로 읽어 1x⁶ + 6x⁵y + 15x⁴y² + 20x³y³ + 15x²y⁴ + 6xy⁵ + 1y⁶이라고 적으면 되고, 다항식을 하나도 곱할 필요가 없습니다. 계수 하나만 필요할 때는 조합 페이지가 n과 k에서 그것을 바로 계산하며 줄을 쌓지 않습니다. 결과가 둘뿐인 확률 문제도 같은 수를 씁니다. 동전을 열 번 던져 앞면이 꼭 네 번 나올 확률은 C(10, 4)를 2¹⁰으로 나눈 값이고, 그 분모의 1024가 10번째 줄의 합입니다. 격자를 한 모서리에서 반대 모서리까지 가는 길의 수, 오른쪽과 아래로만 움직일 때 특정한 칸에 닿는 방법의 수, 크기가 정해진 부분집합의 개수도 이 삼각형이 답합니다. 수가 무엇인지가 질문이면 이 페이지가 그것을 인쇄하고, 어떤 일이 몇 가지로 일어나는지가 질문이면 조합 페이지가 더 짧은 길이며, 대각선에 숨은 피보나치 수가 궁금하면 피보나치 페이지가 그 수열을 직접 다룹니다.

1. 일곱 줄, 1 6 15 20 15 6 1로 끝납니다

   1. 0번째 줄은 1이고 1번째 줄은 1, 1입니다. 모든 줄의 양 끝은 언제나 1입니다
   2. 2번째 줄: 가운데가 1 + 1 = 2이므로 1, 2, 1입니다
   3. 3번째 줄: 1 + 2 = 3이 두 번 나와 1, 3, 3, 1이고, 4번째 줄: 1 + 3 = 4와 3 + 3 = 6이므로 1, 4, 6, 4, 1입니다
   4. 5번째 줄과 6번째 줄도 같은 방식으로 이어져 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1로 끝납니다
   5. 6번째 줄을 더합니다. 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64이고 이는 2의 여섯 제곱입니다

   기본값입니다. 화면과 견주어 볼 것이 두 가지 있습니다. 첫째, 각 수는 위에 있는 두 수의 합입니다. 15는 5 + 10, 20은 10 + 10이고, 일곱 항 가운데 20이 가운데 자리를 차지해 좌우가 대칭입니다. 둘째, 행의 합은 매번 두 배가 됩니다. 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64이므로, 바로 위 줄이 32라는 것을 아는 독자는 이 줄을 더해 보기 전에 64를 예상할 수 있습니다. 그 두 배가 양 끝의 1과 같은 사실이라는 점도 눈여겨보십시오. 위 줄 전체가 아랫줄에 두 번, 왼쪽 절반과 오른쪽 절반으로 한 번씩 들어갑니다.

2. 네 줄, 가장 짧은 쓸모 있는 삼각형

   1. 0번째 줄은 1이고 1번째 줄은 1, 1입니다
   2. 2번째 줄은 1, 2, 1이고 가운데 2는 1 + 1에서 나옵니다
   3. 3번째 줄은 1, 3, 3, 1이고 두 개의 3은 각각 1 + 2에서 나옵니다
   4. 마지막 줄을 더합니다. 1 + 3 + 3 + 1 = 8이고 이는 2의 세제곱입니다

   여기서는 3번째 줄이 마지막이고, 삼각형이 흥미로워지는 자리가 바로 이 줄입니다. 1, 3, 3, 1은 (x + y)³의 계수이므로, 아무것도 곱하지 않고 x³ + 3x²y + 3xy² + y³을 그대로 적을 수 있습니다. 손으로 몇 초 만에 확인할 수 있는 마지막 줄이기도 해서, 더 긴 줄을 보기 전에 한 번 짚어 볼 만합니다. 네 줄이라고 적었을 때 0번째부터 3번째 줄까지 나온다는 점도 보십시오. 입력하는 수는 줄의 개수이고 가장 큰 줄의 번호가 아닙니다.

3. 한 줄, 가장 작은 경우

   1. 0번째 줄은 1 하나이고, 위에 더할 것이 없습니다
   2. 한 줄을 요청했고 한 줄이 인쇄됩니다
   3. 행의 합은 1이고 이는 2의 0제곱입니다

   이 페이지가 받는 가장 작은 입력이고, 빈 입력으로 취급하지 않고 그대로 받습니다. 한 줄짜리 삼각형은 퇴화한 것이 아니라 이후의 모든 줄이 세워지는 시작점입니다. 세는 방법도 여기서 확인됩니다. 한 줄을 요청하면 1번째 줄이 아니라 0번째 줄이 나오고, 이는 삼각형을 이항 전개와 견줄 때 곧바로 문제가 됩니다. 합이 0이 아니라 1이라는 것은 삼각형의 꼭대기가 1 하나라는 사실을 산술로 다시 말한 것입니다.

줄 수는 1에서 53까지의 정수여야 합니다. 이 상한이 있는 이유는 인쇄되는 모든 수가 컴퓨터가 아직 정확히 표현하는 정수여야 하기 때문이고, 그 선을 넘으면 이웃한 두 정수가 같은 값으로 붙어 버립니다. 인쇄된 숫자는 여전히 멀쩡해 보이지만 더 이상 그것이 주장하는 수를 나타내지 않습니다. 먼저 한계에 닿는 것은 행의 합입니다. 52번째 줄의 합은 4503599627370496이고 53번째 줄의 합은 9007199254740992인데, 이 둘째 값이 배정도 수가 정확히 담는 마지막 정수를 하나 넘습니다. 낱개 계수는 57번째 줄까지 버티지만 삼각형은 한 줄씩 인쇄되므로 행의 합이 결정합니다. 0줄은 거부합니다. 빈 삼각형은 아무것도 인쇄하지 않으므로 내놓을 답이 없습니다. 소수점이 붙은 줄 수도 반올림하지 않고 거부합니다. 두 줄 반이라는 것은 없기 때문입니다. 결과는 줄이 세미콜론으로, 항이 쉼표로 나뉜 한 줄짜리 문자열이고 천 단위 구분 기호가 없어서, 큰 계수는 184,756이 아니라 184756으로 인쇄됩니다. 넓은 삼각형에서는 그만큼 길게 스크롤해야 합니다. 아래 참고표는 입력을 따라가지 않고 처음 일곱 줄을 보여 주며, 특정한 줄만 골라 요청할 수는 없습니다. 페이지는 언제나 맨 위에서 아래로 인쇄합니다.

파스칼 삼각형은 어디에 쓰나요?

주로 이항식을 전개할 때 씁니다. n번째 줄의 항들이 (x + y)를 n제곱으로 전개한 계수이므로, 6번째 줄만 있으면 (x + y)⁶의 일곱 항을 다항식을 곱하지 않고 바로 적을 수 있습니다. 같은 수가 경우의 수를 세기도 합니다. C(n, k)가 n번째 줄의 k번째 항이므로, 10명 중에서 4명을 고르는 방법이 몇 가지인지 같은 질문에 답합니다. 확률에서도 나타납니다. 동전을 열 번 던져 앞면이 꼭 네 번 나올 확률은 2¹⁰ 가운데 C(10, 4)이고, 그 1024가 10번째 줄의 합입니다. 격자에서 길을 세는 데도 씁니다. 오른쪽과 아래로만 움직이며 한 모서리에서 반대 모서리로 가는 길의 수가 삼각형의 한 항입니다.

줄 수가 왜 53에서 멈추나요?

행의 합이 더 이상 컴퓨터가 정확히 표현하는 정수가 아니게 되기 때문입니다. 52번째 줄의 합은 4503599627370496이고 53번째 줄의 합은 9007199254740992인데, 그 둘째 값이 배정도 수가 정확히 담는 마지막 값을 하나 넘습니다. 그 뒤로는 이웃한 두 정수가 같은 값이 되어, 인쇄된 숫자는 평범해 보이면서도 더 이상 자기가 주장하는 수가 아닙니다. 낱개 계수는 더 오래갑니다. 선을 넘는 첫 계수는 57번째 줄에 있지만, 삼각형은 한 줄씩 인쇄되므로 행의 합이 결정합니다. 합은 틀렸는데 낱개 항은 맞는 줄을 내보내는 것은 몹시 헷갈리는 일이었을 것입니다.

마지막 줄은 왜 두 번 인쇄되나요?

큰 삼각형에서 마지막 줄이 대부분의 독자가 원하는 유일한 부분인데, 긴 숫자 더미 속에서 그것을 찾아내는 것은 일이기 때문입니다. 40줄을 요청하면 삼각형 출력은 숫자로 된 벽이 되고 정작 필요한 줄은 맨 오른쪽 끝에 있습니다. 마지막 줄 출력은 그 줄만 따로 읽을 만한 크기로 보여 줍니다. 둘은 같은 계산에서 나오므로 서로 어긋날 수 없습니다. 행의 합이 세 번째로 인쇄되는 이유도 같습니다. 그것은 숫자 더미만으로는 한눈에 답이 되지 않는 질문에 답하는 수 하나이기 때문입니다.

줄은 0부터 시작하나요, 1부터 시작하나요?

0부터 시작합니다. 계수에 번호를 매길 때 흔히 쓰는 관례입니다. C(n, k)가 n번째 줄의 k번째 항을 뜻하므로 맨 위의 1 하나가 0번째 줄이고, 일곱 줄을 요청하면 0번째부터 6번째 줄까지, 곧 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1로 끝나는 일곱 개의 수가 나옵니다. n번째 줄에는 언제나 n + 1개의 항이 있기 때문입니다. 이 점은 삼각형을 이항 전개와 견줄 때 중요합니다. (x + y)⁶의 계수 줄은 7번째 줄이 아니라 6번째 줄입니다. 입력하는 수는 줄의 개수이고 가장 큰 줄의 번호가 아닙니다.

행의 합은 무엇이고 왜 언제나 2의 거듭제곱인가요?

어떤 줄이든 더해 보면 2를 그 줄의 번호만큼 거듭제곱한 값이 나옵니다. 0번째 줄은 1, 6번째 줄은 64, 10번째 줄은 1024입니다. 이유는 삼각형을 만드는 규칙에 있습니다. 각 줄은 위 줄을 한 칸 밀어 자기 자신과 더한 것이라, 위 줄의 모든 수가 아랫줄에서 두 번, 왼쪽에서 한 번과 오른쪽에서 한 번 세어집니다. 합계가 매번 두 배가 되므로 2의 거듭제곱이 나옵니다. 같은 사실을 다르게 읽으면, n번째 줄의 합은 원소가 n개인 집합의 부분집합을 모두 세는 것이고 원소가 n개인 집합에는 부분집합이 2ⁿ개 있습니다. 동전 열 번 던지기 확률의 분모에 있는 1024가 10번째 줄에서 곧바로 나오는 이유가 이것입니다.

이 삼각형에서 피보나치 수는 어디에서 나오나요?

얕은 대각선에서 나옵니다. 왼쪽 위로 비스듬히 올라가는 선을 따라 수를 더해 가면, 예를 들어 1, 그다음 4, 그다음 3을 더하면 누계가 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13으로 나옵니다. 이것이 피보나치 수이고 각 항이 앞의 두 항을 더한 값입니다. 대각선에 있는 각 항이 자기 위의 두 항에서 만들어지는데 그 둘 중 하나는 같은 대각선에 있고 다른 하나는 옆 대각선에 있으므로, 대각선이 피보나치의 점화식을 그대로 물려받기 때문입니다. 그 수열을 더 따라가고 싶다면 피보나치 계산기가 그것을 따로 다룹니다.

• Pascal's Triangle — 이항 계수를 늘어놓은 배열, 그것을 만드는 덧셈 규칙, 그리고 거기서 따라 나오는 여러 항등식 — Wolfram MathWorld (United States)
• Binomial Coefficient — C(n, k)가 세는 것, 계승으로 적는 공식, 그리고 덧셈 규칙이 같은 값을 주는 이유 — Wolfram MathWorld (United States)
• Binomial Theorem — (x + y)^n의 전개이고, 그 계수가 바로 이 삼각형의 각 줄입니다 — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准(2022年版)的通知 — 이 통지의 첨부 목록 제5항이 《义务教育数学课程标准(2022年版)》에 해당하며, 이항 계수와 이항 정리, 그리고 삼각형 모양으로 늘어놓는 규칙은 이 교육과정의 수와 대수 영역 내용이므로 원문과 학년군 요구는 이 첨부를 기준으로 합니다 — 中华人民共和国教育部