표본 크기 계산기

n₀ = z² · p (1 − p) / e² 작은 모집단: n = n₀ / ( 1 + (n₀ − 1) / N )

z

신뢰수준에 대응하는 임계값입니다. 95%에서 1.9600, 90%에서 1.6449, 99%에서 2.5758입니다. 자기 줄에 따로 인쇄되는 이유는, 이 식에서 모집단에 대한 가정이 아니라 신뢰수준에서 나오는 유일한 숫자이기 때문입니다

p

찾게 될 것으로 예상하는 비율이며 소수로 넣습니다. 유일하게 어림값인 입력이고, p(1 − p)의 형태로 들어가는데 이 값은 p = 0.5에서 가장 큽니다. 그래서 50%를 넣는 것이 가장 큰 표본을 요구하는 가정이자 가장 안전한 가정입니다

e

오차 범위이며 소수로, 비율과 같은 단위로 적은 반너비입니다. 분모에서 제곱되므로 이것을 절반으로 줄이면 표본은 대략 네 배가 됩니다

n₀

모집단이 충분히 커서 그 크기가 문제되지 않을 때의 표본 크기입니다. 모집단을 모를 때의 답이 이 값이고, 모를 때가 아닐 때는 최종 답이 아니라 수정에 들어가는 입력이 됩니다

N

모집단의 크기이며, 모르거나 사실상 무한하면 0을 넣습니다. 수정은 n₀를 n₀/N이라는 몫보다 큰 수로 나누므로, 수정된 표본은 항상 N보다 작게 나옵니다. 실제로 있는 사람보다 많이 요구하는 일은 이 식이 만들어 낼 수 있는 위험이 아닙니다

표본의 비용이 실제로 발생할 때, 데이터를 모으기 전에 씁니다. 응답마다 사례금이 나가는 설문, 표본마다 값이 붙는 실험실 측정, 모집단 모집 목표가 있는 임상 연구가 그렇습니다. 결정의 순서는 이렇습니다. 감당할 수 있는 오차 범위를 정하고, 신뢰수준을 정하고, 비율을 어림하고, 표본 크기를 읽습니다. 이 가운데 연구에 대한 판단인 것은 첫 번째뿐이고 나머지 둘은 관례거나 어림값입니다. 답이 감당이 안 되면 정직한 처리는 오차 범위를 넓히고 그렇게 보고하는 것입니다. 돈을 댈 수 없는 오차 범위는 목표가 아니기 때문입니다. 모집단이 정말로 작을 때 — 수천 명 아래일 때 — 는 모집단 크기를 꼭 넣으세요. 그 구간에서는 수정이 상당하고, 빠뜨리면 연구에 필요한 것보다 훨씬 많은 사람을 모집하게 됩니다.

1. 95% 신뢰수준, ±5포인트의 전국 설문

   1. 95% 신뢰수준에서 임계값은 1.96
   2. p = 0.5일 때 곱 p(1 − p)는 0.25로, 가능한 값 가운데 가장 큼
   3. n₀ = 1.96² × 0.25 / 0.05² = 3.8416 × 0.25 / 0.0025 = 384.1459
   4. 사람 수는 정수여야 하므로 올림: 응답 385건

   1,000명쯤 조사하면 오차가 3포인트 안쪽이라는 익숙한 말 뒤에 있는 숫자가 385입니다. 오차를 ±3으로 좁히면 답이 1,068이 되는데, 그 유명한 숫자가 여기서 나옵니다. 모집단 크기를 0으로 둔 것은 전국 설문이 나라 전체의 무시할 만한 비율이고, 그 비율에서는 수정이 답을 한 명도 못 바꾸기 때문입니다.

2. 같은 설문을 더 좁은 ±3포인트로

   1. 신뢰수준이 그대로이므로 임계값도 1.96 그대로
   2. n₀ = 1.96² × 0.25 / 0.03² = 0.9604 / 0.0009 = 1067.0719
   3. 올림: 응답 1,068건
   4. 385와 비교: 오차 범위는 1.667분의 1로 줄었는데 표본은 2.78배가 되었고, 2.78은 1.667²

   정밀도는 제곱으로 값을 치릅니다. ±5포인트에서 ±3포인트로 가는 것은 일이 67% 늘어나는 것이 아니라 178% 늘어나는 일입니다. 오차 범위가 분모에서 제곱되기 때문입니다. 실무적으로 따라 나오는 결론은 설문이 값싸게 도달할 수 있는 정밀도에는 바닥이 있다는 것이고, ±3포인트보다 좁은 오차를 광고하려면 표본이 수천 건이 되어야 한다는 것입니다. 그 규모는 무응답 편향이, 식이 통제하고 있는 표집오차보다 더 중요해지기 시작하는 바로 그 구간입니다.

3. 직원 1,000명인 회사의 사내 설문

   1. 아직 모집단을 모르므로 수정 전 값은 여전히 384.1459
   2. 수정: 384.1459 / ( 1 + 383.1459 / 1000 ) = 384.1459 / 1.3831459 = 277.73
   3. 올림: 직원 278명
   4. 수정 전 값이 시사했을 38%가 아니라 전체의 28%

   수정이 작은 모집단의 설문을 감당 가능하게 만드는 부분입니다. 385가 아니라 278이니, 같은 오차를 보고하면서 인터뷰 백 건 이상을 아끼는 셈입니다. 표본이 모집단에서 차지하는 몫이 커질수록 효과도 커집니다. 직원이 100명이면 답은 80이고, 있는 사람보다 많이 표본으로 뽑을 수는 없습니다. 직원이 100만 명이면 수정이 겨우 한 명어치라, 모르는 모집단에 0을 넣는 것이 요령이 아니라 합리적인 기본값이 되는 것입니다.

이 식은 응답의 표본을 정하지, 초청 명단을 정하지 않습니다. 물어본 사람 중 3분의 1이 답하지 않으면 응답 385건은 580명에게 물어야 한다는 뜻이고, 답한 사람들이 답하지 않은 사람들과 체계적으로 다르면 어떤 표본 크기도 그 편향을 고쳐 주지 못합니다. 표집오차만 총오차보다 작게 만들 뿐입니다. 또 각 응답이 모집단에서 독립적으로 뽑힌 것이라고 가정하는데, 이는 군집 설계에서 깨집니다. 8개 학급에서 뽑은 학생 400명 설문의 유효 표본은 8에 훨씬 가깝고, 이 페이지가 내준 수에 설계효과를 곱한 뒤에 써야 합니다. 추정은 비율 하나에 대한 것이고, 평균이 필요하면 표준편차가 있어야 하는데 이 페이지는 그것을 받지 않습니다. 하위 집단으로 나눠 볼 설문이라면 전체가 아니라 가장 작은 하위 집단을 기준으로 표본을 정해야 합니다. 마지막으로 여기서 제공하는 세 신뢰수준은 모두 관례일 뿐이고, 실제 분석이 보통 하게 되는 여러 번의 비교는 어느 것도 감안하지 않습니다.

설문 응답이 몇 건 있어야 하나요?

95% 신뢰수준에서 관례적인 ±5퍼센트포인트면 385건이고, ±3포인트를 원하면 1,068건입니다. 이 두 숫자가 발표된 설문의 대부분을 덮고, 모집단 크기가 무의미할 만큼 크다는 가정을 깔고 있습니다. 모집단이 작아서 그중 상당 부분을 조사할 수 있겠다 싶으면 크기를 넣으세요. 수정이 값을 낮춰 줍니다. 직원 1,000명이면 385가 아니라 278건이고, 200명이면 132건입니다. 오차 범위를 먼저 붙잡으세요. 독자가 실제로 읽게 되는 숫자가 그것입니다.

예상 비율의 기본값이 왜 50%인가요?

p(1 − p)가 p = 0.5에서 가장 크고 표본 크기는 그 값에 비례하므로, 50%를 넣으면 어떤 비율이 요구할 수 있는 최대의 답이 나오기 때문입니다. 정말로 모를 때 안전한 가정이 되는 것입니다. 설문 결과가 60%로 나오면 계획했던 것보다 오차 범위가 조금 더 좋아집니다. 더 구체적으로 넣는 것이 이득이기도 합니다. p = 90%이면 그 항이 0.25에서 0.09로 떨어져, 같은 오차 범위에 표본의 36%만 필요합니다. 50%가 아닌 값을 쓰려면 같은 설문의 이전 회차처럼 방어할 수 있는 사전 근거가 있을 때만 쓰세요.

유한모집단 수정은 무엇을 하나요?

모집단이 작아서 되돌려 놓지 않고 뽑는 것이 불확실성을 눈에 띄게 줄여 줄 때 표본을 줄여 줍니다. 효과의 크기는 모집단에서 표본이 차지하는 몫에 달려 있습니다. 10%일 때는 표본의 몇 퍼센트어치이고, 28%일 때는 약 4분의 1어치, 50%일 때는 거의 3분의 1어치입니다. 모집단 크기를 모르거나 아주 크면 0을 넣고, 수천 명 아래면 실제 값을 넣으세요. 이미 계산해 둔 답을 가장 자주 바꾸는 칸이 이 칸입니다.

오차 범위와 신뢰수준은 어느 정도를 노려야 하나요?

발표되는 연구에서는 ±5포인트 95%가 기본이고, 결정이 접전 결과에 달려 있을 때는 ±3포인트, 큰 차이만 문제 되는 탐색적 작업에는 ±10포인트입니다. 신뢰수준은 95%가 관례이고, 99%는 구간이 3분의 1만 넓어지는데 표본은 약 73% 더 듭니다. 둘 중 무엇을 좁히든 그 답의 값을 먼저 확인하세요. 99% 신뢰수준에서 ±3포인트는 응답 1,843건으로, 기본값의 대략 다섯 배입니다. 감당이 안 되면 표본을 억지로 채우는 대신 더 넓은 오차 범위를 보고하세요.

답이 왜 올림해서 정수가 되나요?

소수점이 붙은 값이 정확한 산수이고 정수는 실제로 모집할 수 있는 수인데, 둘을 잇는 두 관례가 서로 반대 방향을 가리키기 때문입니다. 반올림하면 384.1459가 384로 내려가 목표 오차 범위를 아슬아슬하게 놓칩니다. 목표는 요청한 바로 그 값입니다. 올림하면 오차 범위가 달성되거나 그보다 좋아지고, 비용은 많아야 인터뷰 한 건이며, 연구 계획서에 표본 크기를 적는 방식과도 맞습니다. 계획서에서 385는 약속이고 384.1459는 중간값입니다.

이 페이지에는 왜 표본 크기 표가 없나요?

여기서 사람들이 원하는 표는 신뢰수준과 오차 범위의 격자인데, 그 격자가 바로 위 패널이 계산하는 것이기 때문입니다. 95%로 고정해 인쇄한 표는 99%로 바꾸는 순간 패널과 어긋나고, 페이지가 자기 자신과 어긋나는 것은 표가 없는 것보다 나쁩니다. 어느 쪽 숫자를 믿어야 할지 독자가 판단해야 하기 때문입니다. 두 번째 이유는 그 표가 비율까지 골라야 한다는 것이고, 50%는 안전한 기본값인 동안에만 옳은 선택입니다. 신뢰수준, 오차 범위, 비율, 모집단 크기 중 무엇을 바꾸든 답이 다시 계산되는데, 그것이 사람들이 찾는 그 표의 내용 전부입니다.

• 3.1 Terminology — Introductory Statistics 2e — 표본이 커질수록 상대도수가 확률에 다가가는 성질이며, 목표 오차 범위를 미리 말할 수 있게 해 주는 근거 — OpenStax (Rice University)
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods — 추정값의 분포이며, 오차 범위가 그 분포의 분위수인 이유 — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 1.3.6.7.1. Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods — 임계값이 나오는 누적함수. 같은 값들을 여기서는 추정값을 묶는 대신 표본 크기를 정하는 데 거꾸로 씁니다 — National Institute of Standards and Technology (NIST)