경험적 법칙 계산기

1σ: 평균 ± 1σ · 2σ: 평균 ± 2σ · 3σ: 평균 ± 3σ · kσ 안의 비율 = 2Φ(k) − 1, 여기서 Φ는 표준정규분포의 누적분포함수

mean

분포의 중심입니다. 여섯 끝점이 이 값을 기준으로 대칭이므로, 평균을 옮기면 구간 전체가 함께 미끄러질 뿐 세 비율 가운데 어느 것도 바뀌지 않습니다

standardDeviation

분포가 얼마나 퍼져 있는지이며, 법칙을 세는 단위입니다. 1σ, 2σ, 3σ가 그것입니다. 양수여야 합니다. 표준편차가 0인 정규분포는 한 점이고, 법칙이 그 점에 대해 할 말이 없습니다

kσ

표준편차의 개수이며 1, 2, 3입니다. 구간 안의 비율은 k에만 달려 있어서, 평균과 표준편차가 무엇이든 결과 화면 어디에서나 세 비율이 같습니다

2Φ(k) − 1

−kσ와 +kσ 사이의 정확한 비율입니다. 경험적 법칙은 이것을 읽기 좋게 68 / 95 / 99.7로 반올림하고, 페이지는 반올림하지 않은 값을 찍습니다. 반올림한 값이 그 값을 줄여 부르는 이름입니다

평균과 표준편차를 가리킬 수 있는 구간으로 바꿀 때 쓰세요. 경험적 법칙은 보통 비율에 대한 문장으로 만나는데, 그대로는 특정 측정값에 적용하기 어렵습니다. 같은 문장을 130 위는 2σ 밖이라는 형태로 두면 그렇지 않습니다. 표준편차 자체를 빠르게 점검하는 데도 씁니다. 평균에서 표준편차 하나 안쪽이 데이터의 68%를 담을 수 없는 범위라면, 딱딱한 한계를 넘어서거나 데이터가 눈에 띄게 한쪽으로 쏠려 있다면, 정규 모형은 그 데이터에 맞지 않는 것이고 이 점검에는 드는 비용이 없습니다. 이 페이지는 처음부터 끝까지 정규분포를 가정합니다. 데이터에 분포를 적합시키지도 않고, 그 가정이 성립하는지 알려 주지도 않습니다.

1. 평균 100, 표준편차 15

   1. 100에서 표준편차 하나씩은 100 − 15 = 85에서 100 + 15 = 115입니다
   2. 표준편차 둘은 100 − 30 = 70에서 100 + 30 = 130입니다
   3. 표준편차 셋은 100 − 45 = 55에서 100 + 45 = 145입니다
   4. 비율에는 평균도 표준편차도 쓰이지 않습니다. 1σ 안이 68.27%, 2σ 안이 95.45%, 3σ 안이 99.73%입니다

   이 페이지의 모든 예에서 세 비율이 똑같은 것은 이 예의 우연이 아니라 법칙의 내용 자체입니다. 정규분포는 중심과 퍼짐 두 수로 완전히 서술되고, 중심에서 표준편차 k배 안에 드는 비율은 k에만 달려 있습니다. 그래서 평균과 표준편차는 끝점을 옮길 뿐 비율은 건드리지 않습니다. 어느 결과에서 비율이 평균을 따라 움직였다면 그 비율은 잘못된 양에서 계산된 것이고, 세 비율을 같은 세 줄에 나란히 찍는 것이 바로 그것을 눈에 띄게 만듭니다.

2. 표준정규분포: 평균 0, 표준편차 1

   1. 0에서 표준편차 하나씩은 −1에서 1입니다
   2. 표준편차 둘은 −2에서 2, 셋은 −3에서 3입니다
   3. 비율은 68.27%, 95.45%, 99.73%로 그대로입니다

   평균이 0이고 표준편차가 1이면 끝점이 곧 시그마 개수라서, 이 형태가 외워 둘 만한 버전입니다. −1, −2, −3과 그 양수가 곧 z점수이고, 다른 모든 정규분포는 이것을 늘리고 옮긴 것입니다. 비율이 입력에 달릴 수 없는 이유도 여기서 보입니다. 여기서는 끝점이 문자 그대로 k의 값인데, 그 옆의 비율은 평균이 100일 때와 같습니다.

3. 표준편차가 작을 때: 평균 500, 표준편차 0.5

   1. 표준편차 하나가 0.5이므로 첫 구간은 499.5에서 500.5입니다
   2. 표준편차 둘은 499에서 501, 셋은 498.5에서 501.5입니다
   3. 비율은 여전히 68.27%, 95.45%, 99.73%입니다

   법칙 가운데 표준편차가 둥근 수이거나 커야 한다는 조건은 없고, 분포가 좁을 때가 오히려 구간을 한눈에 읽기 어려워지는 자리입니다. 가공 부품의 공차 대역이 보통 이렇게 적히는데, 목표값과 그보다 훨씬 작은 퍼짐으로 쓰이고, 쓸모 있는 출력은 비율 줄이 아니라 끝점 줄입니다. 99.7 구간이 거의 전부를 덮는 것은 분포가 정말 정규일 때뿐이라는 점도 일러 줍니다. 여기서 표준편차 셋은 절대값으로 작은 폭이고, 꼬리가 더 두꺼운 실제 공정이라면 그 밖에 0.27%보다 훨씬 많은 값이 놓입니다.

4. 평균이 음수일 때: −2.5, 표준편차 1.25

   1. −2.5에서 표준편차 하나씩은 −3.75에서 −1.25입니다
   2. 표준편차 둘은 −5에서 0이고, 위 끝이 정확히 0에 닿습니다
   3. 표준편차 셋은 −6.25에서 1.25로 0을 지납니다
   4. 비율은 68.27%, 95.45%, 99.73%로 그대로입니다

   평균이 0 아래인 것은 흔한 일이며 기온 편차, 로그 수익률, 두 측정값의 차이가 그렇습니다. 구간이 0을 지나는 자리이기도 해서, 부호를 잘못 다루는 구현이 양수 예제에서는 멀쩡해 보일 수 있습니다. 여기서 2σ 위 끝이 정확히 0에 닿는 것은 틀린 답을 의도된 값처럼 보이게 만드는 종류의 우연이고, 그래서 이 경우를 우연에 맡기지 않고 테스트로 못 박아 둡니다. 표준편차는 어느 경우에도 양수입니다. 그것은 폭이지 좌표가 아니며, 부호를 지니는 것은 평균뿐입니다.

이 법칙은 정규분포의 것이고 다른 어떤 것의 것도 아닙니다. 68%가 데이터 일반에 대한 사실인 양 되풀이되곤 하지만, 그것은 특정한 곡선 하나의 성질입니다. 모양이 다른 분포는 1σ·2σ·3σ에서 다른 비율을 갖고, 한쪽으로 쏠린 분포는 평균 양옆의 비율이 아주 다를 수 있습니다. 그래서 이 페이지는 정규성을 점검하는 것이 아니라 가정하고, 여기서 나온 결과는 그 가정만큼만 의미가 있습니다. 한계가 셋 더 있습니다. 표준편차는 양수여야 합니다. 0이면 분포가 한 점으로 무너지고 평균에서 0 안에 무엇이 얼마나 드는지라는 질문에 쓸모 있는 답이 없으므로, 페이지는 답을 하나 고르는 대신 입력을 거부합니다. 세 비율은 정규분포함수의 정확한 값이라서, 법칙이 보통 인용되는 68, 95, 99.7과 소수 둘째 자리에서 다릅니다. 페이지는 이름에 맞추어 반올림하지 않습니다. 반올림은 줄임말이고 찍히는 수가 그것이 가리키는 값이기 때문입니다. 그리고 이 페이지는 데이터에 분포를 적합시키지도, 어떤 분포가 맞는지 시험하지도 않습니다. 평균과 표준편차를 주어진 것으로 받아 그로부터 따라 나오는 것을 보고할 뿐입니다.

법칙은 68%라고 하는데 페이지는 왜 68.27%라고 하나요?

이름에 있는 68이 반올림한 값이고 68.27%가 그것이 반올림해 온 값이기 때문입니다. 경험적 법칙은 세 수를 외우는 방법이고, 약 68%, 95%, 99.7%가 사람들이 머릿속에 담을 수 있는 형태입니다. 정규분포의 평균에서 표준편차 하나, 둘, 셋 안에 드는 정확한 비율은 68.27%, 95.45%, 99.73%이고, 페이지는 그것을 인용하지 않고 계산합니다. 이 수 가운데 하나 위에 계산을 얹을 생각이라면 반올림하지 않은 쪽에 얹어야 합니다. 반올림한 값을 입력으로 쓰면 그 반올림까지 거슬러 추적할 수 없는 방식으로 어긋난 답이 나옵니다.

평균이나 표준편차를 바꾸면 비율도 바뀌나요?

아니요. 그것이 법칙의 내용 전부입니다. 정규분포는 중심과 퍼짐 두 수로 정해지고, 중심에서 표준편차 k배 안에 드는 비율은 k에만 달려 있습니다. 하나, 둘, 셋입니다. 그래서 평균을 바꾸면 여섯 끝점이 수직선 위를 함께 미끄러지고 표준편차를 바꾸면 그것들이 늘어나거나 줄어들 뿐, 세 비율은 있던 자리에 그대로 있습니다. 결과에서 비율이 입력을 따라 움직였다면 그 비율은 시그마 개수가 아니라 끝점에서 계산된 것이고, 그것은 데이터의 성질이 아니라 오류입니다.

이 구간은 실제로 무엇을 알려 주나요? 확률인가요?

확률이며, 분포에서 차지하는 비율로 읽습니다. 어떤 양이 정말로 입력한 평균과 표준편차를 갖는 정규분포를 따른다면, 거기서 뽑은 값 하나가 1σ 구간 안에 들 확률이 68.27%입니다. 그리고 이 구간들은 표준편차를 여러분이 재는 단위로 옮겨 주므로 그 문장을 특정한 수에 적용할 수 있습니다. 다만 여러분의 그 표본에 대한 진술은 아닙니다. 분포는 한 구간에 확률의 68%를 담을 수 있으면서도 눈앞의 데이터는 다른 비율일 수 있고, 이 페이지에는 데이터가 없습니다. 여러분이 입력한 모수 두 개만 있습니다.

정규분포가 맞는 모형인지 어떻게 알 수 있나요?

이 페이지는 알려 줄 수 없습니다. 데이터를 보지 않기 때문입니다. 대신 모형의 그럴듯함을 빠르게 점검할 거리를 줍니다. 평균에서 표준편차 하나 안쪽이 값의 약 3분의 2를 담을 수 없는 범위라면, 하한이나 상한을 넘어서거나 0 아래로 갈 수 없는 계수이거나 분포가 눈에 띄게 쏠려 있다면, 정규 가정이 실제로 해를 끼치고 있는 것이고 여기 비율들은 데이터가 따르지 않는 곡선을 서술하는 것입니다. 이 물음에 제대로 답하는 방법은 보통 히스토그램이나 정규확률그림이고, 여기 산수는 그 답의 하류이지 그 답을 대신하는 것이 아닙니다.

표준편차가 0이면 왜 안 되나요?

표준편차가 0인 정규분포는 한 점으로 무너져서 법칙이 아무 뜻도 갖지 못하기 때문입니다. 모든 값이 정확히 평균 위에 있으므로 폭이 1σ·2σ·3σ인 구간들이 모두 폭 0이 되고, 그 안에 분포의 몇 %가 드는지 묻는 데는 변호할 만한 답이 둘 나옵니다. 전부라 해도 되고 없음이라 해도 되는데, 모든 것이 평균에 있으므로 전부이고 구간에 넓이가 없으므로 없음입니다. 둘 중 하나를 고를 근거가 없습니다. 페이지는 조용히 하나를 고르는 대신 입력을 거부하고 표준편차가 양수여야 한다고 말합니다. 실제 계산에서 표준편차가 0으로 나오는 것은 거의 언제나 관측이 하나뿐이거나 입력에 문제가 있다는 뜻이지, 진짜 분포라는 뜻이 아닙니다.

z점수로 확률을 주는 계산기와 같은 것인가요?

같은 정규분포로 들어가는 두 개의 입구입니다. z점수 쪽은 값을 받아 그것이 어디에 놓이는지와 그 아래의 확률이 얼마인지 알려 주고, 이 페이지는 평균과 표준편차를 받아 세 개의 표준 구간과 각각이 덮는 비율을 펼쳐 놓습니다. 다른 것은 물음의 방향입니다. 하나는 측정값에서 시작하고 다른 하나는 법칙 자체에서 시작합니다. 입력은 일부러 똑같이 맞춰 두었습니다. 평균과 표준편차가 같은 두 칸에 있으므로 두 페이지를 오갈 때 다시 입력할 것이 없고, 바탕 분포를 같은 방식으로 계산하므로 둘이 어긋날 수 없습니다.

• 68-95-99.7 Rule — from Wolfram MathWorld — 법칙을 약 68%, 95%, 99.7%로 적은 형태와 더 정확한 확률, 그리고 이 법칙이 임의의 분포에 대한 일반 명제가 아니라 정규분포에만 해당한다는 단서 — Wolfram MathWorld
• 6.1 The Standard Normal Distribution — Introductory Statistics 2e — 정규분포를 따르는 변수에 대한 경험적 법칙: 값의 약 68%가 평균에서 표준편차 하나 안에, 95%가 둘 안에, 99.7%가 셋 안에 — OpenStax (Rice University)
• 1.3.6.6.1. Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods — 정규분포와 그 모수, 그리고 이 페이지의 세 비율을 계산해 내는 누적분포함수 — National Institute of Standards and Technology (NIST)