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CalcMax

Convertisseur d’hexadécimal en binaire

Résultat

10101000111111

Binaire

Groupés par quatre
0010 1010 0011 1111

Un convertisseur d’hexadécimal en binaire réécrit un nombre de la base seize dans la base deux, et de toutes les conversions de ce site c’est la seule qui ne demande aucun calcul. Un chiffre hexadécimal fait exactement quatre chiffres binaires — ce n’est la coïncidence d’aucun nombre en particulier, c’est la raison d’être de l’hexadécimal — donc chaque caractère est remplacé par ses propres quatre bits et rien n’est retenu entre eux. 2 devient 0010, A devient 1010, 3 devient 0011 et F devient 1111, donc 2A3F devient 10101000111111 en binaire. La table de substitution compte seize entrées et ne grandit jamais : 0 vaut 0000, 1 vaut 0001, et la suite compte en binaire jusqu’à F, qui vaut 1111. Chaque caractère vaut quatre chiffres binaires quelle que soit sa position, contrairement au décimal où le poids d’un chiffre dépend de l’endroit où il se trouve. Un détail est facile à trébucher. Les chiffres de la réponse sont imprimés deux fois, une fois en une suite continue et une fois découpés en groupes de quatre, et la ligne groupée est plus longue parce que son premier groupe a été complété par des zéros de tête. 2A3F fait quatorze bits, sa forme groupée est donc 0010 1010 0011 1111 — seize caractères, avec trois zéros ajoutés devant. Ces zéros ne changent pas la valeur ; ils existent pour que la frontière entre le deuxième et le troisième groupe soit visible plutôt que quelque chose qu’il faut compter. Une saisie en minuscules est acceptée et normalisée : 2a3f et 2A3F sont le même nombre et produisent la même réponse, ce qui compte parce que les chaînes hexadécimales rencontrées dans la nature — valeurs de couleur, empreintes, identifiants — s’écrivent le plus souvent en minuscules.

Chaque caractère de 2A3F développé en ses quatre chiffres binaires

Chiffre hexadécimalQuartetDécimal
200102
A101010
300113
F111115

Quatre lignes, une par caractère, et c’est toute la méthode — il n’y a pas de cinquième ligne à ajouter ni de retenue à expliquer. La troisième colonne est le caractère lu comme un nombre, c’est-à-dire la valeur que les quatre bits de la deuxième colonne additionnent : A vaut dix parce que 1010 est 8 + 2, et F vaut quinze parce que 1111 est 8 + 4 + 2 + 1. Lire la deuxième colonne vers le bas et la réunir donne la réponse binaire, et lire la troisième colonne est ce que vous feriez à la place si la question avait demandé le décimal. La première ligne est celle qu’il faut regarder pour la règle du complément : 2 vaut 0010, avec un zéro de tête dont le nombre lui-même n’a pas besoin, et ce zéro est là pour que cette ligne fasse quatre caractères de large comme les trois autres. Le tableau est fixé sur 2A3F tandis que le panneau du dessus convertit ce que vous avez tapé.

Formule

2A3F ⇒ 2 → 0010, A → 1010, 3 → 0011, F → 1111 ⇒ 10101000111111 en binaire, groupé en 0010 1010 0011 1111

2A3F
Le nombre hexadécimal à convertir. Les lettres ne sont pas sensibles à la casse, donc 2a3f et 2A3F sont la même valeur ; la réponse est toujours imprimée en majuscules, qui est la convention des notations binaire et hexadécimale sur ce site
un caractère
L’unité dans laquelle travaille cette conversion. Chaque caractère est traité pour lui-même et rien n’est reporté de l’un au suivant — c’est pourquoi convertir un hexadécimal en binaire se fait de gauche à droite, dans n’importe quel ordre, sans tenir de total courant
4 bits
Le nombre de chiffres binaires que chaque caractère développe, sans exception. Seize caractères possibles et seize motifs de quatre bits possibles, c’est toute la raison pour laquelle les deux bases s’apparient, et cela veut dire que la longueur de la réponse binaire vaut toujours exactement quatre fois le nombre de caractères
0000 — 1111
L’ensemble complet que chaque caractère peut produire, en comptant en binaire de 0 à 15. C’est la table de substitution écrite en clair : 0 vaut 0000, 1 vaut 0001, le comptage continue jusqu’à 9 qui vaut 1001, puis de A à F qui valent 1010 à 1111
⇒ 10101000111111
Les chiffres réunis sans rien entre eux. C’est la forme binaire du nombre lui-même, et elle n’est pas complétée : les zéros de tête tombent, donc une valeur dont les bits de tête sont nuls ressort plus courte que quatre fois ses caractères
0010 1010 0011 1111
Les mêmes chiffres découpés en quatre, et celle-ci est complétée — le premier groupe est 0010 plutôt que 10, avec trois zéros de tête ajoutés pour que chaque groupe fasse quatre caractères et que les frontières s’alignent sur les caractères hexadécimaux
2⁵³ − 1
Le plafond de la saisie, et il arrive ici sous une forme inhabituelle : quatorze caractères hexadécimaux, soit 1FFFFFFFFFFFFF, soit cinquante-trois chiffres binaires, soit 9 007 199 254 740 991 en décimal. Une saisie plus longue est refusée plutôt que convertie

L’hexadécimal est ce que les gens écrivent et le binaire ce que les machines exécutent, passer de l’un à l’autre est donc une étape quotidienne pour qui travaille près du matériel. Un code de couleur comme 2A3F fait quatre caractères hexadécimaux, et lire quels bits y sont allumés — ce que demande en réalité un masque de bits, un indicateur de permission ou un réglage de registre — suppose de le voir en binaire. Les empreintes, les sommes de contrôle et les indicateurs imprimés en hexadécimal se lisent de la même façon, et les adresses d’un débogueur ou les drapeaux d’une capture de paquets aussi. La conversion vaut aussi la peine dans l’autre sens, et c’est pourquoi elle a une page à part : le binaire est illisible au-delà de quelques chiffres, donc une valeur trouvée en binaire s’écrit normalement en hexadécimal avant d’être transmise. Dans un exercice, la tâche apparaît sous la forme convertir un hexadécimal en binaire, et il n’y a rien à montrer comme travail au-delà d’une substitution — mais le complément vaut la peine d’être écrit, parce qu’une réponse comme 10101000111111 en binaire et une réponse comme 0010 1010 0011 1111 sont le même nombre avec des quantités différentes de structure visible, et celle qu’on veut dépend de ce dont le lecteur a besoin : la valeur ou la disposition des octets.

Exemples détaillés

  1. Convertir 2A3F

    1. Prenez les caractères un par un : 2, A, 3, F
    2. Remplacez chacun par ses quatre bits : 2 vaut 0010, A vaut 1010, 3 vaut 0011, F vaut 1111
    3. Réunissez les quatre groupes sans rien entre eux : 10101000111111 en binaire
    4. Découpez les mêmes chiffres en quatre et complétez le premier groupe : 0010 1010 0011 1111

    Le cas par défaut, et l’exemple qui montre le complément. Les deux lignes de sortie n’ont pas la même longueur — quatorze chiffres contre seize espaces comprises — et c’est attendu : la première ligne est le nombre, la seconde est le nombre avec ses frontières de caractères rendues visibles. À noter aussi que A et F sont substitués et non convertis ; aucune de ces étapes ne contient d’arithmétique.

  2. Un octet, B2

    1. B vaut 11, soit 1011 sur quatre bits
    2. 2 vaut 0010 sur quatre bits
    3. Réunissez-les : 10110010 en binaire — huit chiffres, deux groupes, un octet

    Deux caractères hexadécimaux font toujours huit bits, c’est-à-dire un octet, et c’est pourquoi le couple vaut la peine d’être connu : la largeur d’une valeur se lit directement, sans rien compter. Les frontières de groupe tombent ici sur l’octet d’une façon utile, ce qui est une propriété de deux caractères plutôt que de cette valeur en particulier.

  3. Une saisie en minuscules, 2a3f

    1. Le a minuscule compte comme le A majuscule : les deux valent dix
    2. Le f minuscule compte comme le F majuscule : les deux valent quinze
    3. La conversion se déroule exactement comme pour 2A3F et donne la même réponse

    Les deux sorties ressortent mot pour mot identiques à celles du premier exemple. Les chaînes hexadécimales copiées depuis une page web, une feuille de style ou un journal sont le plus souvent en minuscules, accepter l’une ou l’autre casse n’est donc pas une commodité — refuser les minuscules rendrait la page inutilisable précisément sur les saisies que les gens y apportent.

  4. La plus grande saisie, 1FFFFFFFFFFFFF

    1. Quatorze caractères, donc la réponse fait cinquante-six bits une fois le premier groupe complété
    2. Le 1 de tête vaut 0001 dans un groupe de quatre bits, et c’est là que le complément se voit
    3. Les treize caractères F valent chacun 1111, la réponse complétée est donc cinquante-trois uns précédés de trois zéros
    4. Sans complément, le nombre lui-même fait cinquante-trois uns

    Le plafond, et le cas le plus net de la règle du complément : le premier groupe est 0001 plutôt que 1, la ligne groupée porte donc trois zéros de tête que la ligne continue n’a pas. La même limite apparaît sur les pages décimales comme 9 007 199 254 740 991 et sur les pages de lecture comme cinquante-trois chiffres — c’est une seule frontière écrite dans trois bases.

Limites

Cette page ne convertit que des nombres entiers, et la saisie est une chaîne hexadécimale plutôt qu’un nombre décimal, il n’y a donc pas de virgule décimale à refuser : les caractères en dehors de 0 à 9 et de A à F sont refusés à la place. La saisie peut faire au plus quatorze caractères hexadécimaux, soit 1FFFFFFFFFFFFF, et une chaîne plus longue est refusée avec un message plutôt que tronquée — une réponse tronquée aurait l’air d’une réponse. Les zéros de tête sont acceptés et ne changent rien ; un signe moins placé devant est accepté, et là le complément s’applique aux chiffres avant que le signe soit rattaché, la ligne groupée se lit donc moins 0010 plutôt que moins 1010 avec un signe au milieu. La réponse est toujours imprimée en majuscules quelle que soit la façon dont la saisie a été écrite. Le tableau plus bas développe la valeur par défaut 2A3F et ne suit pas ce que vous avez tapé. Le sens inverse, du binaire vers l’hexadécimal, est une page à part, et celle-ci ne fait aucune arithmétique sur le résultat.

Questions fréquentes

Pourquoi un chiffre hexadécimal vaut-il toujours quatre bits binaires ?
Parce que quatre et seize sont tous les deux des puissances de deux, et que seize vaut quatre fois deux multiplié. Quatre chiffres binaires peuvent s’arranger en deux puissance quatre, soit seize, motifs différents — exactement le nombre de caractères que la base seize a à offrir. Les deux ensembles s’alignent donc parfaitement : chaque caractère a un motif de quatre bits et chaque motif de quatre bits a un caractère, sans rien qui dépasse d’un côté ni de l’autre. C’est pourquoi on utilise l’hexadécimal plutôt que, disons, la base dix, qui ne se divise pas en bits de façon exacte.
Pourquoi la réponse groupée est-elle plus longue que la réponse continue ?
Parce que la ligne groupée est complétée et que la ligne continue ne l’est pas. La ligne continue est la forme binaire du nombre lui-même, elle laisse donc tomber les zéros de tête ; la ligne groupée doit faire un nombre entier de groupes de quatre bits, elle remplit donc le groupe du haut avec des zéros. Pour 2A3F cela veut dire trois zéros de plus devant — quatorze chiffres sur une ligne, seize sur l’autre. Ni l’une ni l’autre n’est fausse, et elles valent la même chose. Si vous voulez la valeur, prenez la première ; si vous voulez voir où tombent les caractères, prenez la seconde.
Comment convertir un hexadécimal en binaire à la main ?
Remplacez chaque caractère par ses quatre bits et réunissez-les, en travaillant de gauche à droite. Les quatre bits des dix chiffres se comptent en binaire — 0 vaut 0000, 1 vaut 0001, 2 vaut 0010, jusqu’à 9 qui vaut 1001 — puis A vaut 1010, B vaut 1011, C vaut 1100, D vaut 1101, E vaut 1110 et F vaut 1111. Il n’y a rien à retenir et aucun total courant à tenir, les caractères peuvent donc être traités dans n’importe quel ordre.
Cela change-t-il quelque chose que je tape les lettres en majuscules ou en minuscules ?
Non. 2a3f et 2A3F sont le même nombre et se convertissent tous les deux en 10101000111111. La réponse est toujours imprimée en majuscules, ce qui est la convention habituelle pour les deux bases dans les textes techniques. Accepter les minuscules vaut la peine parce que la plupart des chaînes hexadécimales que les gens copient — une valeur de couleur prise dans une feuille de style, une empreinte, un identifiant tiré d’un journal — s’écrivent ainsi.
Quel est le plus grand nombre hexadécimal que je peux convertir ici ?
Quatorze caractères : 1FFFFFFFFFFFFF est le plafond, et il se convertit en cinquante-trois uns. Les chaînes plus longues sont refusées avec un message plutôt que raccourcies, et la limite n’est pas propre à cette page — c’est la même frontière que les pages décimales expriment comme 9 007 199 254 740 991 et les pages de lecture comme cinquante-trois chiffres. À une valeur plus large, une machine ne peut plus tenir deux entiers voisins à l’écart, une réponse au-delà ne serait donc pas fiable.
Convertir un hexadécimal en binaire est-il la même chose que le convertir en décimal ?
Non, même si les deux sont faciles à confondre parce qu’ils partent de la même chaîne. Convertir en binaire est une substitution : chaque caractère devient quatre bits et aucune arithmétique n’a lieu. Convertir en décimal est une somme : chaque caractère est multiplié par la puissance de seize que vaut sa position — 2A3F vaut 2×4 096 + 10×256 + 3×16 + 15 — et les termes sont additionnés. La page binaire va plus vite parce que sa base est une puissance de deux et que l’autre ne l’est pas.

Références

Calculatrices liées

Convertisseur de binaire en hexadécimalConvertit un binaire en hexadécimal, par groupes de quatre.Convertisseur d’hexadécimal en décimalAdditionne les puissances de seize d’un nombre hexadécimal.Calculatrice de nombres binairesAdditionne, soustrait, multiplie et divise des binaires.Calculatrice de nombres hexadécimauxAdditionne, soustrait, multiplie et divise en hexadécimal.