Calculatrice de valeur critique

Φ(z) = 1 − α/2 ; T(t, ddl) = 1 − α/2 ; P(χ² > x, ddl) = α ; P(F > f, ddl₁, ddl₂) = α

α

Le seuil de signification — l’aire de queue à laquelle la frontière est tracée, et la même grandeur que le menu déroulant ci-dessus appelle un niveau de confiance. Les deux vocabulaires sont séparés par une soustraction : un niveau de confiance de 95 % est α = 0,05, un niveau de 99 % est α = 0,01. Cette distinction compte, parce que la page a besoin de savoir si ces 5 % tiennent dans une seule queue ou se partagent entre deux, et seule la lecture en α rend cela visible

Φ⁻¹

La réciproque de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite — la même courbe que celle dont on lit la table de z, parcourue à l’envers. La table donne une aire pour un z donné ; une valeur critique est le z pour une aire donnée, et c’est exactement pourquoi la réponse doit venir d’une approximation et non d’une arithmétique exacte

ddl

Les degrés de liberté — le paramètre de forme des lois de Student et du khi-deux. C’est ce qui fait qu’un même niveau de confiance donne des réponses différentes d’une page à l’autre : à 95 % bilatéral, la frontière vaut 12,7062 à un degré de liberté, 2,2281 à dix, et 1,9600 dès que l’échantillon est assez grand pour que Student et la normale soient indistinguables

ddl₁, ddl₂

Les deux degrés de liberté de la loi de Fisher — le numérateur et le dénominateur. Un test de Fisher compare deux variances ou plusieurs moyennes de groupe à la fois, il a donc besoin des deux, et le second champ de la page n’est lu que dans ce mode. Les saisir dans l’autre ordre est une confusion fréquente et donne une autre réponse

queues

Le côté de la loi où se situe la frontière. Deux queues coupent α en deux et placent α/2 à chaque extrémité, si bien que le z bilatéral à 95 % vaut 1,9600 tandis que le z unilatéral à 95 % vaut 1,6449 — même confiance, barre plus basse, parce que les 5 % entiers sont désormais d’un seul côté. Pour le khi-deux et la loi de Fisher, il n’existe aucune lecture bilatérale : ces lois sont dissymétriques, une frontière basse y est donc une valeur entièrement distincte et non l’opposée de la frontière haute

Servez-vous de cette page quand vous disposez d’un niveau de confiance ou d’un seuil de signification et qu’il vous manque le nombre auquel comparer une statistique de test — pour terminer un calcul à la main, pour vérifier ce qu’un logiciel a utilisé, ou pour voir de combien la barre se déplace quand la taille d’échantillon change. C’est aussi la page qui règle la confusion la plus répandue du domaine : 1,96 et 1,645 ne sont pas deux conventions du même test, ce sont les frontières bilatérale et unilatérale au seuil de 5 %, et celle qui s’applique est décidée par le fait que l’hypothèse ait nommé ou non une direction avant que les données soient vues. Lue dans l’autre sens, la page répond aussi à la question inverse — une statistique rapportée de 2,3 face à une frontière de 2,2281 est significative à 5 % bilatéral, et face à 2,5706 à cinq degrés de liberté elle ne l’est pas. Ce que la page ne décide pas, c’est quelle loi vous auriez dû employer. Cela relève de l’étude : un z s’applique quand l’écart type est une constante connue, un t quand il a été estimé sur les mêmes données, le khi-deux aux effectifs et aux variances, Fisher aux rapports de variances. Le menu déroulant appartient à l’utilisateur, et la FAQ ci-dessous explique les points de ce choix qui se trompent facilement.

1. Le cas par défaut : la frontière z bilatérale à 95 %

   1. Un niveau de confiance de 95 % correspond à α = 0,05
   2. Deux queues signifient 0,025 de chaque côté, la frontière haute est donc le point où la loi normale centrée réduite laisse 0,975 en dessous d’elle
   3. Φ⁻¹(0,975) = 1,9600
   4. La frontière basse est son image symétrique en −1,9600, et c’est pourquoi un test bilatéral compare |z| à ce seul nombre

   C’est le nombre le plus cité de toute la statistique et le bon point de départ, parce qu’il se vérifie de mémoire avant que l’on se fie au reste de la page. Notez ce que la lecture bilatérale fait au problème : elle demande le z qui laisse la moitié des 5 % au-dessus de lui, et non la totalité, et ce partage en deux est toute la différence entre 1,9600 et 1,6449. Les deux champs de degrés de liberté sont à l’écran et inutilisés dans ce mode — un test z n’a pas de degrés de liberté, et la page le dit en ne les lisant pas plutôt qu’en les grisant.

2. Le même 95 %, mais l’écart type vient de l’échantillon

   1. Même niveau de confiance et même nombre de queues, donc même α/2 = 0,025
   2. La loi passe de la normale à celle de Student à 10 degrés de liberté, dont les queues sont plus épaisses
   3. T⁻¹(0,975, 10) = 2,2281
   4. La même frontière vaudrait 2,5706 à 5 degrés de liberté et 2,0086 à 50 — elle descend vers 1,9600 à mesure que l’échantillon grandit

   L’écart entre 1,9600 et 2,2281 est le prix du fait de ne pas connaître l’écart type de la population, et c’est la raison pour laquelle les deux lois sont tenues séparées au lieu d’être traitées comme interchangeables. Ce n’est pas une petite correction : une statistique de 2,1 franchit la barre du z et échoue à celle du t à dix degrés de liberté. Les trois valeurs de Student citées ici — 2,5706, 2,2281, 2,0086 — sont le même calcul à trois degrés de liberté, et les lire à la suite est la façon la plus claire de voir que la loi de Student n’est pas une autre règle mais la même règle avec une pénalité qui s’estompe.

3. Une frontière du khi-deux n’a pas de version bilatérale

   1. Le khi-deux est une somme de carrés, il n’est donc jamais négatif et sa courbe est dissymétrique vers la droite
   2. Un test demande si l’écart observé est trop grand, la frontière est donc la haute : celle où la courbe laisse 0,95 en dessous d’elle
   3. P(χ² > x, ddl = 3) = 0,05 donne x = 7,8147
   4. Choisir deux queues ici est refusé plutôt qu’approximé

   Demander un khi-deux bilatéral est la seule entrée que la page refuse, et ce refus est la partie instructive : sur une loi symétrique, les deux frontières sont opposées l’une à l’autre, un seul nombre sert donc aux deux extrémités. Sur une loi dissymétrique, ce sont deux valeurs sans rapport, et le point à 5 % supérieur d’un khi-deux à 3 degrés de liberté vaut 7,8147 tandis que le point à 5 % inférieur vaut 0,3518. Imprimer l’un ou l’autre comme « la valeur critique bilatérale » serait une erreur silencieuse, la page s’arrête donc. La frontière basse est disponible sur demande et c’est celle qu’utilisent les tests d’adéquation qui rejettent sur un trop faible écart.

4. La frontière basse n’est pas l’opposée de la haute

   1. Une statistique de Fisher est un rapport de variances, elle ne peut donc pas être négative et sa courbe est dissymétrique, comme celle du khi-deux
   2. La frontière à 5 % supérieur avec 10 et 20 degrés de liberté vaut 2,3479
   3. La frontière à 5 % inférieur est la valeur qui laisse 0,05 en dessous d’elle : 0,3605
   4. Les deux ne sont pas liées par un signe moins — ce sont deux points indépendants de la même courbe dissymétrique

   Cette paire est la raison pour laquelle la page demande une queue même sur les lois asymétriques. Parce que Fisher est un rapport, sa queue basse appartient aux rapports inhabituellement petits — ce que regarde un test d’égalité des variances lorsque le second groupe s’avère le plus variable. L’identité de réciprocité F(1−α, ddl₁, ddl₂) = 1 / F(α, ddl₂, ddl₁) est la façon dont on lisait autrefois ces valeurs sur une table unique imprimée pour la seule queue supérieure, et c’est exactement l’arithmétique que la page fait pour vous.

La page renvoie une frontière et s’arrête là. Elle ne compare rien à cette frontière, parce qu’elle n’a rien à comparer — la statistique de test vient de données que la page ne voit jamais. Cette séparation est délibérée, et c’est aussi la raison pour laquelle la page vous demande de nommer une loi au lieu de la déduire : une frontière n’a de sens qu’une fois connue la grandeur qui sera mesurée contre elle, et l’arithmétique ne sait pas distinguer un z d’un t. La seconde chose qu’elle ne fait pas est de contrôler les degrés de liberté. Une loi de Student à un degré de liberté donne une réponse parfaitement correcte de 12,7062, et sur une étude portant sur cinq personnes cette réponse est aussi à peu près inutilisable — la frontière est large parce que l’estimation de l’écart type ne repose que sur un seul degré de liberté. Rien dans les entrées ne distingue un test de résistance délibéré d’une erreur, le nombre est donc renvoyé dans les deux cas. Enfin, les quatre lois supposent des observations indépendantes et, pour Fisher, que les populations sous-jacentes sont normales ; une valeur critique calculée correctement à partir de la mauvaise loi reste la mauvaise barre à franchir.

Quelle différence entre une valeur critique et une valeur p ?

C’est le même fait lu par les deux bouts. Une valeur critique part du seuil de signification que vous avez choisi et renvoie la frontière ; une valeur p part de la statistique que vous avez observée et renvoie l’aire de queue au-delà. Comme les deux sont réciproques, comparer une statistique à une frontière et comparer une valeur p à α donnent toujours le même verdict — c’est pourquoi un logiciel peut rapporter l’une ou l’autre. La différence pratique est le moment du choix : une valeur critique est fixée avant que les données soient vues et est la même pour toutes les études menées à ce seuil, tandis qu’une valeur p est une propriété de l’échantillon particulier et ne peut pas être annoncée d’avance. Cette page est la moitié frontière ; la page de la valeur p est l’autre.

Faut-il utiliser 1,96 ou 1,645 ?

C’est une question de queues, pas de conventions. 1,9600 est la frontière bilatérale au seuil de 5 % et 1,6449 la frontière unilatérale au même seuil — la première partage les 5 % entre les deux extrémités, la seconde les place entièrement au-dessus. Utilisez la valeur bilatérale sauf si une direction a été précisée avant la collecte des données, parce qu’un test unilatéral achète une barre plus basse en renonçant à détecter une différence dans l’autre sens. La table ci-dessus montre directement la régularité : chaque α a ses deux lectures, et la colonne unilatérale au seuil α est la colonne bilatérale au seuil 2α.

Quelle loi dois-je choisir ?

Cela découle de la façon dont l’écart type a été obtenu et de ce qui est comparé. Prenez z quand l’écart type est une constante connue plutôt qu’une valeur estimée — y compris les cas de grand échantillon où l’estimation est assez stable pour ne plus rien changer. Prenez t quand l’écart type provient du même échantillon que la moyenne, ce qui est la situation habituelle et la raison pour laquelle Student est bien plus fréquent en pratique. Prenez le khi-deux pour les effectifs et les variances : adéquation à une loi, indépendance dans un tableau de contingence, intervalle de confiance d’une variance. Prenez Fisher quand la statistique est un rapport de deux variances, ou quand plusieurs moyennes de groupe sont comparées simultanément dans une analyse de la variance. La page ne peut pas déduire cela de vos nombres, c’est pourquoi le choix est un champ et non une étape automatique.

Pourquoi ne puis-je pas demander une valeur critique bilatérale pour le khi-deux ou Fisher ?

Parce que ces lois sont dissymétriques et que leurs deux queues ne sont pas des images miroir. Sur une courbe normale ou de Student, la frontière basse est exactement l’opposée de la haute, un seul nombre décrit donc les deux extrémités et « bilatéral » est une demande bien définie. Le khi-deux et Fisher partent de zéro et s’étalent vers la droite, leurs frontières haute et basse sont donc deux valeurs sans rapport — pour un khi-deux à 3 degrés de liberté, le point à 5 % supérieur vaut 7,8147 et le point à 5 % inférieur vaut 0,3518. Rapporter l’un ou l’autre comme réponse bilatérale serait un nombre discrètement faux, la page rejette donc cette combinaison et demande quelle queue vous visiez.

Pourquoi la valeur critique change-t-elle quand je change les degrés de liberté ?

Parce que les degrés de liberté fixent la forme des lois de Student, du khi-deux et de Fisher, et qu’une frontière est une position sur cette forme. Les petits échantillons donnent un Student plus large : à 95 % bilatéral, la frontière vaut 12,7062 à un degré de liberté, 2,2281 à dix et 2,0086 à cinquante, en s’approchant de 1,9600 à mesure que les degrés de liberté augmentent. Cette convergence n’est pas une coïncidence — la loi de Student est ce que l’on obtient quand on divise une normale par une dispersion estimée, et l’estimation cesse d’ajouter de l’incertitude dès que l’échantillon est grand. Le même mécanisme fait bouger les frontières du khi-deux et de Fisher avec leurs degrés de liberté, et c’est pourquoi ni l’une ni l’autre ne peut être tabulée comme la normale.

La valeur critique est-elle la même chose que l’intervalle de confiance ?

Non, même si l’intervalle de confiance est construit à partir d’elle. La largeur d’un intervalle est la valeur critique multipliée par une erreur type, la frontière est donc l’un des deux ingrédients et la dispersion des données l’autre. Cette répartition des rôles explique pourquoi cette page peut répondre sans aucune donnée : la frontière ne dépend que du niveau de confiance et des degrés de liberté, tandis que l’intervalle a en plus besoin de l’échantillon. Elle explique aussi pourquoi deux études menées au même niveau de confiance ont des intervalles différents — elles partagent la valeur critique et diffèrent par l’erreur type. Si vous voulez l’intervalle lui-même plutôt que le multiplicateur, c’est la page de l’intervalle de confiance qui prend la moyenne et la dispersion en entrées.

• 1.3.6.7.1. Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the cumulative function whose inverse the z boundary is, and the table it is normally read from) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 6.2 Using the Normal Distribution — Introductory Statistics 2e (how the middle of the curve is cut off at a stated confidence level, and what the two tail areas add up to) — OpenStax (Rice University)
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (a test statistic as a quantity with its own distribution, which is what makes a boundary on that distribution mean anything) — National Institute of Standards and Technology (NIST)